网格中锐角三角函数问题解题策略研究

张月 汤强

【摘要】锐角三角函数是初中阶段学习的一个重要知识点，将网格与锐角三角函数相结合是考试命题的一个方向.学生对此类锐角三角函数问题往往抓不住关键点，构造、面积、转化等解题策略将有助于此类问题的解决.

【关键词】锐角三角函数;网格;构造策略;面积策略;转化策略

锐角三角函数问题的解决需要“直角三角形”，同样地，解决网格中的锐角三角函数问题的关键也是如何将所求角或所求角的等角放到一个直角三角形中.将角放到网格中有两个天然的优势：①每一个小方格为一个正方形，其对角线可以形成45°角;②两个端点均在格点上时，线段的长度可以直接利用勾股定理进行求解.网格为构造直角三角形提供了便利.

1 构造策略

“构造策略”是解网格中的锐角三角函数问题常用的策略之一，基本思路是以已知条件为原料，以所求结论为方向，应用数学知识，构造一种辅助形式，从而使问题在新形势中简捷地得到解决.

1.1 直接构造

我们通过观察找到角所在的直角三角形，然后利用勾股定理求出角所在的直角三角形的三边长，并根据锐角三角函数的定义进行求解.

例1 如图1所示，△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格格点上，则tan∠BAC=.

【方法探究】

由图1可观察知，AB由长为2、宽为1的长方形的对角线组成;AC由边长为1的小正方形的对角线组成;线段AC与网格边夹角为45°.因此，有两种构造思路：①从AC上选一个格点，使其与AB边的一格点构成正方形的对角线;②在AC上选一格点G，使得BG⊥AB.如图2所示.

【过程展示】（以思路①为例）

连接HI，则∠AHI=90°，所以∠BAC在Rt△AHI中.

AI=2× 22+12=25，AH=3× 12+12=32，HI=2，所以tan∠BAC=232=13.

1.2 间接构造

我们通过直接观察，找不出直角三角形时，可以通过作高线构造两个共边的直角三角形，然后利用勾股定理求出公共边，这种方法既体现了对勾股定理的灵活运用，也锻炼了学生的方程思想.

例2 如图3，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格线的交点处，则sin∠A=.

【方法探究】

如图4所示，构造两个有公共边的直角三角形，利用公共边建立方程，由此解出两直角三角形的各边，sin∠A也随即可求.

【过程展示】

过点C作CM⊥AB交AB于点M，

在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2，且AC=25，

在Rt△BCM中，CM2=BC2-BM2，且BC=22，

所以有AC2-AM2=BC2-BM2

设BM长为x，则AM=25-x，

故（25）2-（25-x）2=（22）2-x2，

解得x=255，所以CM=655，所以sin∠A=CMAC=35.

2 面积策略

我们通过观察找不出直角三角形时，可以通过在三角形内部作高（若是求钝角三角形中锐角的三角函数值，则是外部作高），用等面积法得出三角形的高，然后求解.

如上例2，如图5所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都

在网格线的交点处，则sin∠A=.

【方法探究】

因为通过观察，∠A不在直角三角形中，而要求一个锐角的三角函数值，必须要把这个角放到直角三角形中，所以在此应该构造一个包含∠A的直角三角形，故过点C作CM⊥AB交AB于点M，即需求出CM与AC的长度.

【过程展示】

如图6，过点C作CM⊥AB交AB于点M.

利用三角形面积公式可知S△ABC=12AB·CM.

利用割补法得：S△ABC=S四边形ADEF-S△ADC-S△EBC-S△ABF，

所以12AB·CM=S四边形ADEF-S△ADC-S△EBC-S△ABF，即12·25·CM=16-4-2-4，

解得CM=655，所以sin∠A=CMAC=35.

3 转化策略

对于顶点不在格点上的角，如果求其三角函数，最通用的作法是将角转化成顶点在格点上的角，然后根据顶点在格点上的三角形的解法，解出其锐角三角函数.在遇到这类题时其求解方法有以下三种：①平移法;②相似三角形法.

3.1 平移法

将角所在的边进行平移使得角的顶点在格点上，在平移的过程中利用平行线的性质定理易知平行后的

角和原来的角是一对同位角，故角的大小一样.通过角的转化使问题得到求解，在这个过程中学生体会到转化思想在解三角函数题中的应用.

例3 在如图7的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形且边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于.

【过程展示】

如图8，平移AB至A1B1，连接A1C，

则得到等腰三角形A1CO1，过A1作A1M⊥CO1，交CO1于一点M.

因為A1B1∥AB，所以∠AOC=∠A1O1C，

由勾股定理可知：MO1=12CO1=22，A1O1=5，

进而求得A1M=A1O21-MO21=322.

所以，tan∠BOD=tan∠COA=tan∠A1O1C=A1MMO1=3.

3.2 相似三角形法

对于部分特殊的角（如一边为方格对角线的角）可以在角所在的网格内构造直角，并利用三

角形相似求解相关线段长.

如上例3，在如图9所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形且边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于 .

【过程展示】

如图10，过A作AM⊥CD，交CD于点M，过E（E为AB上一点，且为格点）作EN⊥CD于点N，显然M，N为格点.

因为∠OMA=∠ONE=90°，∠COA=∠BOD，

所以△AMO∽△ENO，所以AMEN=MOON，

设ON=x，则OM=MN-x=2-x，代入上式

得222=2-xx，解得x=23.所以tan∠BOD=ENON=3.

【注释】相似三角形的选取不是任意的，需使得新构成的两个三角形除了公共点外其余点均在格点上，而且这两个三角形必须是直角三角形.

以上三种解题策略不仅有助于网格中锐角三角函数问题的求解，而且对于其他锐角三角函数问题的解决也具有参考价值，比如，对于两角差或和的锐角三角函数问题的解决，有兴趣的研究者可以进行更深入的探究.

【参考文献】

[1]叶留青.中学数学解题的“构造”策略[J].数学通报，2000（12）：19-21.