一道高考压轴小题的多解探究与反思

云南大学附属中学星耀学校 (650092) 黄 波

一、试题呈现

(2020年全国Ⅲ卷理12)已知55<84，134<85，设a=log53,b=log85,c=log138，则( ).

A.a

C.b

二、试题分析

本题结构较为简洁，以指对数为载体考查比大小问题，综合考查了指对数运算，比较大小的常规思路与方法，在考查通性通法的同时，对学生的数学思维能力提出了更高的要求，重点考查逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.

三、解法赏析

下面例举几种常用比较a,b大小关系的解法.

评析：比较两数的大小关系，作差法是常见的方法，属于通性通法.本题作差法容易想到，但使用基本不等式难易想到，此时就需要学生要有逻辑推理能力，并对对数运算法则要有深刻的认识.对数运算法则的基本法则是加法与减法，在乘积运算lg3·lg8时需考虑转化为加法与减法运算，需要构建加减与乘积的关系，进而联想到基本不等式.学生在学习过程中要重视逻辑推理思维能力的培养，步步要有章可循，有理可讲.

评析：比较两数的大小关系，作商法是常见的方法，属于通性通法.使用作商法也会涉及乘积运算lg3·lg8的处理，方法与上述相同.

解法四：(同倍放大)4a=log534=log581log883=3.故4a<4b，即a

评析：一般比较大小问题数与数差异性都不大，此题a,b的值差异很小，很难发现a,b的大小关系，为了容易发现差异性，可以同倍放大，直到具有明显差异并能够比较大小为止.所以，在两数值差异性较小的情况下，同倍放大是一种十分直观而又有效的方法.

评析：由于此题属于函数模块，所以解决问题要有函数的观点，函数的思想.比较大小要联想到函数的单调性，选择构造合适的函数，通过函数的单调性比较大小，该思想在2020年全国Ⅰ,Ⅱ卷中都有明显的体现.此题由于对数的底数和真数都在变，所以对数的底数与真数都要有自变量，但是通过观察很难构造函数，所以可以选择待定系数法，设f(x)=logkx+mx，利用两组数据求出解析式，由于无法直接判断函数的单调性，可以采取求导的方式判断函数的单调性，再通过单调性比较大小.

四、方法归纳

对于比较大小问题，常用的方法有作差法、作商法、直接法、间接法、二分法、同倍放大、构造函数等方法，要掌握住核心知识和知识的核心，同时需要重视同性通法，逻辑思维能力培养，加强数学运算，形成模块观点，数学学习要以提升数学思维能力为目标.