基于新课程理念的概念课教学——以“充分条件、必要条件、充要条件”为例

江苏省苏州工业园区星海实验中学 (215021) 梅滋亚

2013年，教育部启动了普通高中课程修订工作．“研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准”，成为课程标准修订的重要要求．《普通高中数学课程标准(2017年版)解读》(下称《课标解读》)希望教科书的编写和教师的教学，能够把数学内容教学与相应的数学学科核心素养有机结合，在关注学生掌握知识与技能的同时，关注学生相应数学学科核心素养的达成[1]．笔者尝试以此为指导，以2019版苏教版(下称新教材)《普通高中教科书·数学》(必修第一册)第2.2节“充分条件、必要条件、充要条件”为例进行设计和分析，把其中的一些想法整理成文，供同行参考．

1 教学目标及重难点

教学目标：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义；理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系、数学定义与充要条件的关系；(2)结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件；(3)在师生、生生间交流和思考中感悟、提升数学抽象和逻辑推理素养．

教学重点：在具体的问题情境中抽象、概括出充分条件和必要条件的概念．

教学难点：对必要条件概念的理解．

2 教学过程设计

2.1 创设情境，提出问题

一般地，当命题“若p，则q”为真命题时，我们就说“由p可以推出q成立”，记作“p⟹q”，读作“p推出q”；如果命题“若p，则q”为假命题，就说“由p不能推出q成立”，记作“p?q”，读作“p不能推出q”．

问题情境观察下列命题，脱离具体背景，大家能否抽象概括出这些命题的条件和结论之间有何共同特点？

(1)x=y⟹x2=y2；

(2)x>1⟹x2>1；

(3)△ABC≌△A′B′C′⟹S△ABC=S△A′B′C′．

师生活动：在教师的启发和引导下，让学生经历问题的发现和提出过程，初步感受命题的条件与结论之间的关系．同学们可以畅所欲言，谈谈自己的看法，比如：这三个命题的条件都能推出结论成立；这三个命题的条件都只是结论成立的一种情况；这三个命题的结论都是条件成立的前提等等．讨论之后，激发同学们学习本节课的兴趣，促进学生主动参与，教师引出本节课要研究的主题：如果“p⟹q”，那么p，q之间有怎样的关系？

设计意图：相对于义务教育阶段的数学知识，高中阶段的数学知识较为抽象．抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程，是形成概念的必要手段[2]．前面集合的学习就是在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，进而抽象出数学概念．设置同学们所熟悉的三个数学命题，分别与等式、不等式、三角形问题相关，脱离具体背景，抽象、归纳出它们之间的关系，在体会和感悟的过程中慢慢培养数学抽象的能力．

2.2 新知探求，建构数学

问题1 分析(1)(2)(3)，命题中的条件是否可以“充分保证”结论成立？

师生活动：同学们自主探究后交流，上述命题中的条件都可以“充分保证”结论成立．教师点评：“p⟹q”的含义是：一旦p成立，q一定也成立，即p对q的成立是充分的．类似于这样的关系，可表述如下：如果“p⟹q”，那么称p是q的充分条件(板书)．

问题2 分析(1)(2)(3)，命题中的结论如果不成立，条件还成立吗？结论是条件成立“必不可少”的条件吗？

师生活动：这个问题比上个问题稍难理解，让同学们思考后交流讨论，上述命题中的结论如果不成立，条件一定不成立，也就是说结论都是条件成立“必不可少”的条件．教师引导、点评：“p⟹q”也可以这样理解：如果q不成立，那么p一定不成立，即q对p的成立是必要的．板书“必要条件”的概念，并强调充分条件和必要条件的关系是同时存在的．

设计意图：通过以上两个问题的分析，从特殊到一般，发现数学规律，同学们可以很自然地自己总结出概念，理解定义的必要性和合理性．其实，这里面所蕴含的逻辑关系，在平时的学习中都在用，这里只是通过教师的引导和同学们的感受，把这种关系抽象出来，从数学的角度给出了定义．

为了更好地理解充分条件和必要条件的概念，下面再从反面思考两个问题．我们知道：

(4)x2=y2⟹x=y；

(5)x2>1⟹x>1；

(6)S△ABC=S△A′B′C′⟹△ABC≌△A′B′C′．

问题3 分析(4)(5)(6)，命题中的条件是否可以“充分保证”结论成立？

师生活动：同学们讨论交流，上述命题中的条件不能“充分保证”结论成立，比如命题(4)中，x2=y2不能保证x=y，还有可能x=-y．教师点评：如果p⟹q，那么p不是q的充分条件．

问题4 分析(4)(5)(6)，命题中的结论如果不成立，条件还成立吗？结论是条件成立“必不可少”的条件吗？

师生活动：同学们独立思考后分组讨论，教师恰当引导，上述命题中的结论不是条件成立“必不可少”的条件，比如命题(4)中，x=y就不是x2=y2成立“必不可少”的条件，因为x=-y也有x2=y2成立．教师点评：如果p⟹q，那么q不是p的必要条件．

设计意图：有关逻辑的内容，本身就比较复杂，因此为了凸显要表达的数学概念，选用简洁的数学背景．在以上两个问题中，通过分析三个命题，体会不充分条件和不必要条件的含义．

至此为止，教师可以完成如下板书内容的讲解：

p⇒qp⇒qp是q的充分条件p不是q的充分条件q是p的必要条件q不是p的必要条件

理解了充分条件和必要条件概念的内涵之后，同学们还要掌握快速判断充要性的方法：若前面可以推出后面，则前面是后面的充分条件，同时称后面是前面的必要条件；若前面不能推出后面，则前面不是后面的充分条件，同时称后面不是前面的必要条件．对于充分条件和必要条件的学习应该再通过讨论一些数学命题逐步体会，通过实际例子来学习和理解，教材也循序渐进地给出了如下例题．

2.3 数学运用，深化理解

例1 下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？

(1)p：x=2，q：x2-x-2=0；

(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；

(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；

(4)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是平行四边形．

例2 下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？

(1)p：|x|=1，q：x=1；

(2)p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等；

(3)p：同位角相等，q：两条直线平行；

(4)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是平行四边形．

设计意图：通过例1和例2，进一步理解充分条件和必要条件概念的内涵，让学生体会分析问题、解决问题的过程．值得注意的是：要判断p是否为q的充分条件，只需判断p能否推出q?要判断p是否为q的必要条件，只需判断q能否推出p?举反例是判断一个命题是假命题的重要方法．观察例1(3)和例2(3)、例1(4)和例2(4)，可以发现，其中既有p⟹q，也有q⟹p．教师板书充分且必要条件的概念，并介绍形式逻辑里最常用的推理规则：传递性．

例3 指出下列命题中，p是q的什么条件？

(1)p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等；

(2)p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形；

(3)p：a2=b2，q：a=b；

(4)p：x>y，q：x2>y2．

设计意图：例3是例1和例2的综合应用，通过例3，深化对充分条件和必要条件概念的理解．新教材并没有像2004版苏教版(下称旧教材)中直接给出充分不必要条件、必要不充分条件和既不充分又不必要条件的概念，而是出现在本例题中．笔者认为，新教材的设置更加合理，因为四大充要关系其实就是核心概念“充分条件”和“必要条件”的综合应用．新教材表述也不太一样，比如：新教材中对本例题(1)的表述是：p是q的充分条件，但p不是q的必要条件．

思考1：例1(4)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的对角线互相平分”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，你能再给出其它充分条件吗？

思考2：例2(4)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的对角线互相平分”．这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，你能再给出其它必要条件吗？

思考3：容易发现，“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件．因此“对角线互相平分的四边形”也可以作为“平行四边形”的定义．大家还能举出其它例子吗？

设计意图：为学生提供用逻辑用语梳理初中典型命题的机会，理解充分条件和必要条件的不唯一性；理解数学中的每一条判定定理都具有“充分性”；每一条性质定理都具有“必要性”，而数学定义具有“充要性”．让学生体会用新语言表述旧知识的简洁性、严谨性和统一性，数学学科中大量的命题都是用它们来表述的，在后续的学习中要习惯并自觉地运用这些语言表达和交流，逐步提升数学素养．

2.4 回顾反思，提升素养

问题5 通过这节课的学习，大家有哪些收获和感悟？

设计意图：比获得知识更重要的是感悟获得这些知识的方法以及蕴含在其中的数学素养．观察实例、抽象概括、实例体会，这个过程可以很好地培养学生的数学抽象和逻辑推理素养，在思考中积累经验、学会学习．

2.5 课外作业，巩固练习

P33：习题2.2第1，2，3题．

3 教学设计反思

3.1 对情境引入的认识

《课标解读》指出：基于核心素养的教学，要特别重视情境的创设和问题的提出．核心素养是在特定情境中表现出来的知识、能力和态度，只有通过合适的情境才有利于学生感悟和形成．笔者在思考这节课的导入部分时，有两个方案备选：一个是从生活事例出发，引入充分条件与必要条件的概念；一个是从数学实例出发，抽象出充分条件与必要条件的概念．可能从生活的角度出发，可以使得数学更加生动、离我们更近，而且能够很好地活跃课堂气氛，但是容易产生歧义和误解．笔者认为，情境导入合理与否的一个标准是它能否很好地服务数学课堂、能否给学生提供探索的平台，让学生心无旁骛、自然地进行新知探求．所以，再三斟酌，选择了后者，通过具体数学命题的考察和分析，让同学们来领会和理解严谨的数学概念，潜移默化中提升数学素养．

3.2 对概念生成的思考

笔者在教学设计时注重概念的生成．本节课，最重要的核心概念是“充分条件”和“必要条件”．和旧教材开门见山地给出充分条件和必要条件的概念相比，新教材增加了两句话做铺垫，使得概念的出现更加自然，显然教材编写组的专家认为对概念的生成部分有必要放慢节奏，给同学们思考和感悟的空间．所以，笔者通过问题1至问题4的设置，启发学生思考，通过归纳、抽象和概括，自然形成数学概念，理解定义“充分条件”和“必要条件”这两个概念的必要性和合理性，注重揭示数学本质，引导学生进行数学思维．课堂的情境引入部分和例题深化部分关注学生的认知基础，引用了大量的同学们初中时所熟知的内容，这样既体现了《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(下称《课标》)对预备知识的要求：以义务教育阶段数学课程内容为主要载体，也方便了师生的教和学．数学家迪里满说：“数学是语言的语言”．通过这节课的学习，让同学们体会到逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具．学习常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容．这些感觉和体会可能还会随着同学们后续的学习逐步加深，数学学习最重要的是理性思维的培养．一次次的概念生成过程体验，就是一次次的思维锻炼提升，这也是本节课的设计初衷．

3.3 对能力素养的关注

《课标》指出：碎片化的数学内容，无法把数学的本质表述清楚，更无法体现数学学科核心素养，应该把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计．新教材必修第一册的前三章承载了《课标》中主题一预备知识的内容．通过对这些知识的学习，要为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡，在掌握知识的同时重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养[3]．本节课作为其中一部分，作用当然不可忽视．以数学学习中常遇到的表述为背景，按照“问题—分析—抽象—应用”的程序设计教学活动，通过对典型数学命题的分析，抽象出命题中条件与结论之间一般化的关系，形成本节课的概念，然后通过具体的实例进一步体会．教学设计中有意识让学生独立自主地“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”，经历数学探究的完整过程，渗透研究数学问题的一般方法，感悟数学抽象和逻辑推理能力的提升．问题的设置由浅入深，将核心素养蕴含于教学内容的逻辑体系之中，在关注知识与技能的同时，思考知识与技能所蕴含的数学本质、数学思想，最终实现发展学生学科核心素养的目标．