抓住“三类角” 解题任逍遥

颜哲宇

学习了第七章“平面图形的认识（二）”之后，我觉得最主要的还是要抓住角与角之间的关系。怎样抓住角与角之间的关系呢？让我们一起来看两道例题。

例1 如图1，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数。

【解析】从表面上看∠ABC、∠CDE、∠BCD这三个角很难有联系，但是，已知条件中有平行，立刻联想到“三类角”（同位角、内错角和同旁内角）。可是图中没有“三类角”，为了出现“三类角”，我们可以尝试过点C作CF∥DE，如图2。这样，原来没有联系的三个角，就会分别构成内错角、同旁内角，问题就迎刃而解了。过点C作CF∥DE，则∠EDC+∠DCF=180°，所以∠DCF=40°;由CF∥AB可得∠ABC=∠BCF=80°，∴∠BCD=40°。这里，要提醒同学们注意，思路理顺后，就要用规范的表达有条理地书写，别忘记根据CF∥DE、AB∥DE，说明CF∥AB。我在第一次碰到这种类型的题目时，就没有注意。后来在老师的提醒下才明白所作的CF只是平行于DE，它与AB平行不是已知的，要进行说明。当然过点C往左作平行线、延长ED等都可以解决问题，构造平行线是通用方法。

【感悟】解决此题的关键是已知角和要求角之间的关系，平行的最大作用就是提供了“三类角”之间的关系。本题通过添加辅助线——平行线，提供了内错角、同旁内角之间的关系，建立了已知角和要求角之间的关系。

例2 如图3，已知∠BFM=∠1+∠2，求证：AB∥CD。

【解析】已知条件提供了∠1、∠2、∠BFM之间的数量关系，图形位置上却看似毫无关系，怎样和平行联系上呢？老师告诉我们，平行的判定本质上是“三类角”的数量關系决定两条被截线的位置关系;平行的性质本质上是两条被截线的位置关系决定“三类角”的数量关系。要证平行，就要找某类角。与已知条件中∠BFM构成内错角的是∠FGN（也可以找其同位角∠DGM），而∠FGN恰好等于∠1+∠2。再结合已知条件，就可以得到一对内错角（同位角）相等，两直线平行，得证。当然，也可以找∠BFM的同旁内角∠FGD，利用“三角形内角和为180°”证明。

【感悟】“三类角”的数量关系与被截线的位置关系相互决定，“数”与“形”就这样紧密地联系在一起。就像老师所说：“数形结合既是本章的重要知识，也是本章的重要思想方法。”例1通过添加辅助线构造三类角，由平行得到三类角之间的关系;例2通过选择恰当的三类角，结合已知条件推断其数量关系，从而判定两条直线的位置关系。

有的同学说本章难学，其实不然。静下心来，细心观察，把观察到的特征与题目的条件结合起来，作为大脑联想和思维运行的线索，抓住“三类角”的数量关系与被截线的位置关系的根本联系，灵活转化，在解决本章问题时就能够游刃有余、任意逍遥。同学们，你们学会了吗？

教师点评

“数形结合既是本章的重要知识，也是本章的重要思想方法。”小作者在学习中深刻地领悟了这一内容的精髓，形成了自己的独到认识，认识到平行知识的本质，洞察了数学不难的秘密，享受了解题顺畅的惬意。他的这种学习，一方面深入到知识的本质，另一方面悟到了学习的方法，值得同学们借鉴。

（指导教师：钟 鸣）