剖析错解 揭秘错因

章薇薇

初中数学的“数与代数”部分由数与式、方程与不等式、函数三部分组成。而函数作为重要的组成部分，总会出现在各类考题中。有的题明明会做，可还是错了;有的题看着挺眼熟，就是不知如何下手;有的题看了好多遍都不知所云……同学们，如果你也有这样的困惑，请跟着老师，一起来揭秘这些函数易错题背后的错因。

例1 （2020·江苏南京）下列关于二次函数y=-（x-m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图像与函数y=-x2的图像形状相同;②该函数的图像一定经过点（0，1）;③当x>0时，y随x的增大而减小;④该函数的图像的顶点在函数y=x2+1的图像上。其中所有正确结论的序号是。

【错因剖析】

典型错误1：对二次函数的三种表达式没有真正掌握，不能正确解读二次函数顶点式。

剖析点评：从二次函数顶点式中，我们可以得到顶点坐标为（m，m2+1），对称轴为直线x=m，结合a=-1，其开口方向向下，得到它有最大值。

典型错误2：不喜欢画图，对于二次函数的性质掌握不到位。

剖析点评：解决函数类问题，要会画草图，并借助图形进行增减性分析。本题图像开口向下，对称轴为直线x=m，则对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小。

【正确解答】①两个函数的二次项系数都为-1，则两个函数图像形状相同;②把（0，1）代入函数表达式即可;③函数二次项系数为-1，抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，画出草图即可;④根据表达式可得顶点坐标为（m，m2+1），代入y=x2+1验证即可。故答案为①②④。

例2 （2020·江苏苏州）如图1，平行四边形OABC顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=[kx]（k>0，x>0）的图像经过C、D两点。已知平行四边形OABC的面积是[152]，则点B的坐标为（）。

A.（4，[83]）B.（[92]，3）

C.（5，[103]）D.（[245]，[165]）

【错因剖析】

典型错误1：对反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数表达式等知识与技能掌握不到位。

剖析点评：做题前，我们先要理解概念，掌握知识要点，知道两点在同一个反比例函数图像上的意义;能将一个点在某条直线上转化成点坐标满足的一次函数表达式。

典型错误2：图中除了已知点D的坐标外，其他点的坐标都未知，有些同学不会结合条件对点的坐标进行设元。

剖析点评：用含字母的表达式来表示点的坐标是必备技能。首先，利用点D既在反比例函数图像上，也在对角线OB上，可求出反比例函数与正比例函数的表达式;然后，利用BC∥OA，得到点B、点C纵坐标相等，把点B纵坐标代入直线OB的表达式，得点B的坐标，求出BC的长度;最后，结合平行四边形OABC的面积是[152]，列出方程求解。

典型错误3：在解答过程中，需要进行运算。求两个函数的表达式;设点C或点B坐標后，再表示另一个点的坐标;利用面积求出a，在某个环节出现计算错误。

剖析点评：（1）在直线OB表达式的求解过程中，有的同学会得到y=[32x];（2）设C为（a，[6a]），则B坐标为（x，[6a]），代入OB的表达式y=[23x]，得到[6a]=[23x]后，有的同学不知道是用a表示x，还是用x表示a;（3）有的同学将平行四边形的面积转化成S△OBC=[154]，但在计算过程中，忘记了三角形面积公式要除以2。

【正确解答】根据点D坐标为（3，2），易得反比例函数为y=[6x]。设OB的表达式为y=mx，由OB经过点D（3，2），得出OB的表达式为y=[23x]。设点C坐标为（a，[6a]），且a>0，由平行四边形的性质，得BC∥OA，点B与点C的纵坐标相等。

（方法一）由S平行四边形OABC=[152]，得BC=[54a]，即B（[94a]，[6a]），代入OB表达式，可得a的值，再代入点B的坐标表达式即可得点B坐标为（[92]，3）。

（方法二）由点B与点C的纵坐标相同，且点B又在直线OB上，得点B（[9a]，[6a]），所以BC=[9a]-a。再根据平行四边形面积公式即可得出结果。

（方法三）延长BC交y轴于点G，由反比例函数的几何意义，得S△OGC=3，则S△OGB=3+[154]=[274]，即点B的横纵坐标积的一半等于[274]，设点B坐标继续计算即可。

（作者单位：江苏省无锡市梅里中学）