热流温度场下功能梯度板的热问题研究

2021-05-14刘文光

工程设计学报 2021年2期

刘超，刘文光

（南昌航空大学航空制造工程学院，江西南昌330063）

高超音速飞行器飞行时会遇到恶劣的热环境。当高超音速飞行器以36马赫（12 250 m/s）的速度返回大气层时，其机翼前缘驻点的温度高达11 000 K左右［1］。高温恶劣环境会对飞行器的可靠性、安全性及整体性能产生严重的影响。因此，热防护系统是高超音速飞行器设计的重要内容之一。

为了改善高超音速飞行器的热防护性能，选用合理的复合材料或涂层材料来设计热防护系统极为重要［2］。然而，传统的复合材料或涂层材料由于内部组分不连续变化，存在明显的界面失配问题。其在宏观力学性能上表现为应力集中和突变等问题。尤其是表层热防护材料，当气动加热达到几千摄氏度时，材料内部会出现严重的热应力集中等现象，导致表层材料脱落，影响飞行器的飞行安全。功能梯度材料（functionally graded material，FGM）由于材料组分连续变化，能弱化甚至完全消除不同界面处的失配问题，对缓解结构热应力集中等问题很有效［3］，因此可以应用在高超音速飞行器的热防护系统中。

针对FGM结构的力学问题，学者们开展了大量的研究。Ma等研究了功能梯度梁在热载荷作用下的非线性力学行为［4］；Nami等研究了在热机械载荷作用下空心FGM圆柱壳的裂纹尺寸、裂纹形状等对裂纹尖端应力强度因子的影响［5］；杨欢欢利用线弹性断裂力学理论研究了FGM结构在动静态载荷作用下裂纹尖端应力强度因子的变化规律［6］；Zhou等开发了虚拟节点断裂单元，求解了含裂纹的FGM板的能量释放率［7］；邓昊等求得了沿轴向的指数分布的FGM梁的传递矩阵，并推导了在复杂边界条件下多跨FGM梁的理论模型［8］；杜长城等通过数值积分和Poincaré映射研究了FGM圆柱壳在非线性自由振动时模态相互作用和能量交换的现象［9］；刘文光等通过建立FGM圆柱壳的动力学方程研究了热应力、壳体厚度和材料组分含量对FGM热防护壳振动模态的影响［10］；陈金晓等通过改进的傅里叶级数建立了FGM圆柱壳的振动方程，并探讨了在弹性边界条件下壳体尺寸、材料组分的体积分数等对结构模态频率的影响［11］。

由于气动加热会导致FGM结构表面产生巨大的温差，严重影响结构的正常运行，很多学者对FGM热问题展开了研究。基于一阶剪切变形理论和von‐Karman几何非线性，Lee等研究了高超音速气流中FGM板的热变形，探究了FGM板的热屈曲行为［12］；Nazargah利用等几何有限元模型分析了双向FGM梁的完全耦合热机械行为［13］；Duc等研究了在热环境下具有温度依赖性的偏心加筋S‐FGM圆柱壳的非线性静态屈曲行为［14］；针对FGM板的热传导问题，Zhou等按照给定的目标函数和边界条件提出了FGM体积分布指数的优化方法［15］；基于平面稳态热传导基本方程，许杨健等探索了FGM板梯度参数和几何组成对温度场的影响［16］；Bouchafa等研究了温度梯度对FGM结构残余应力的影响［17］；Chen等分析了FGM夹芯板在热环境中在任意周期载荷作用下的动态失稳区域［18］。

尽管研究者对FGM结构的热机械行为开展了系统研究，但是很少有学者深入讨论FGM在热防护系统中的应用，也未见基于结构参数等的调控来提高FGM热防护性能的相关报道。笔者以FGM板为研究对象，讨论了在线性温度场、正弦温度场、热流温度场和非线性温度场下FGM的物理特性，重点分析了板厚、陶瓷体积分数指数和热流密度等参数对FGM板热传导、热变形和热应力的影响，以探究一种基于多参数调控的有效缓解结构热应力集中观象的方法，以促进FGM在高超音速飞行器热防护系统中的应用。

1 FGM板的物理特性

非均质矩形截面FGM板如图1所示。板的长、宽、厚分别为a、b和h，板的材料属性只沿厚度方向连续变化，由底部纯钛合金Ti‐6Al‐4V连续变化到顶部纯陶瓷ZrO2。在FGM板的中性面建立如图1（a）所示的直角坐标系o-xyz。在中性面内金属含量和陶瓷含量相等。

图1 非均质矩形截面FGM板Fig.1 FGM plate with heterogeneous rectangular section

FGM板最大的特点在于其物理特性参数可视为空间位置（用z表示）和温度T的连续函数。在已有文献中，研究者对多种不同的材料物理特性的数学模型进行了描述［19］。笔者采用常用的幂律分布模型。FGM板的物理特性可表示为［20］：

式中：ξ代表密度ρ、弹性模量E、泊松比v、热膨胀系数α和热传导系数β等材料本身的物理特性参数；下标c和m分别代表纯陶瓷和纯金属；ηc为陶瓷的体积分数；k为陶瓷的体积分数指数，0≤k<∞。

FGM板的物理特性参数与温度之间的非线性关系为：

式中：T=T0+ΔT（z），ΔT（z）为沿厚度方向的温度梯度，T0为环境温度；ψ0、ψ-1、ψ1、ψ2和ψ3均为材料的温敏特性参数，其取值见表1［21］。

表1 ZrO2和Ti-6Al-4V的温敏特性系数Table 1 Temperature‐dependent coefficients for ZrO2and Ti‐6Al‐4V

2 热环境描述

高超音速飞行器的飞行空域是复杂多变的温度场，所以探讨不同温度场对FGM物理特性的影响十分必要。温度场的描述如下。

2.1 线性温度场T1和正弦温度场T2

设施加在FGM板底部和顶部的温度载荷分别为Tb和Tt，则沿厚度方向按线性和正弦升高的温度场可分别表示为：

2.2 热流温度场T3

在热流温度场下，材料组分之间由温度不均匀引起的内能交换遵循傅里叶定律。设热流密度为q，则沿厚度方向的温度场可表示为：

式中：βcm=βc-βm。

2.3 非线性温度场T4

在非线性温度场下，沿厚度方向的温度场主要由一维稳态热传导方程解得。一维稳态热传导方程和温度场可分别表示为：

3 热环境对FGM板物理特性的影响

在讨论FGM板的热传导、热变形和热应力之前，先研究在不同温度场下FGM板的组分含量和弹性模量的变化趋势。计算时，取T0=300 K；在线性温度场和非线性温度场下，取Tb=0 K，Tt=600 K；在正弦温度场下，取Tb=200 K，Tt=500 K；在热流温度场下，取Tb=0 K，q=100 mW/mm2。

FGM板的陶瓷体积分数ηc随陶瓷体积分数指数k的变化曲线如图2所示。由图2可知：ηc随k的增大而逐渐减小；当k=1.0时，ηc与z/h呈线性递增关系；当k≥5.0，-0.5≤z/h≤-0.1 时，ηc的变化很小。因此，用FGM设计热防护结构时应取k<5.0。

图2 FGM板的陶瓷体积分数ηc随陶瓷体积分数指数k的变化曲线Fig.2 Changing curve of ceramic volume fraction ηcof FGM plate with ceramic volume fraction index k

在不同温度场下FGM板的弹性模量E沿厚度方向的变化规律如图3所示。

由图3可知：k一定时，温度场对E的影响非常明显；在线性温度场下，当k≥1.0时，E基本呈线性变化趋势；在正弦温度场下，板底部的E值总是大于板顶部的E值；在热流温度场下，当k>1.0时，靠近板底部时E随k的增大而减小，而在靠近板顶部时其变化趋势则完全相反；在非线性温度场下，当k≥1.0时，E近似呈二次函数变化趋势。

图3表明，热流温度场对E的影响最为显著。而热流温度场最接近工程的实际状态，因此下面主要分析在热流温度场下FGM板的热传导、热变形和热应力。

图3 不同温度场下FGM板的弹性模量E沿厚度方向的变化规律Fig.3 Changing rules of elastic modulus E along thickness di‐rection of FGM plate under different temperature fields

4 FGM板热问题的仿真分析

4.1 FGM板有限元模型的建立

取 FGM 板的几何尺寸为：a×b×h=40 mm×20 mm×1.8 mm。结合分层建模思想和Python编程，建立如图4所示的有限元模型。模型分为25层，采用C3D8T六面体单元，共有31 250个单元。模型边界条件设置为一端固支、一端自由。在FGM板的顶部（z/h=0.5）施加0.2 MPa的均匀外载荷。

图4 FGM板的有限元模型Fig.4 Finite element model of FGM plate

基于所建立的FGM板的有限元模型，分析板厚h、陶瓷体积分数指数k和热流密度q等参量对FGM板热传导、热变形和热应力的影响。

4.2 FGM板的热传导分析

由于内热源对FGM板热传导的影响比外热源小，本文只分析外热源对FGM板热传导的影响。假设FGM沿厚度方向的比热c=0.69×103J/（kg⋅°C），q的变化范围为5～50 mW/mm2。当q=5 mW/mm2时，FGM板厚h和陶瓷体积分数指数k对板热传导的影响如图5和图6所示。

图6 陶瓷体积分数指数k对板热传导的影响Fig.6 Effect of ceramic volume fraction index k on the heat conduction of plate

由图5可知：随着h的增大，FGM板底部温度降低，板的热防护性能增强；特别地，当h=7.2，9.0 mm时，在800 s的工作时间内板底部温度不超过450 K，这说明适当增大h可以提高飞行器内部的抗热性；当h从3.6 mm增大到9.0 mm时，温度下降率从20%下降到8%，可见，随着h的逐渐增大，降温的速率变低。因此，热防护材料无需太厚，选用7.2～9.0 mm厚的FGM板足以起到热防护作用，也不会使板的质量过大。

图5 FGM板厚h对板热传导的影响Fig.5 Effect of FGM plate thickness h on the heat conduc‐tion of plate

由图6可知，k对热传导的影响非常小。因此，通过调节k值来减缓热传导并非最佳方案。

综合图2、图5和图6可知，当7.2≤h≤9.0 mm和1.0≤k≤2.5时，可实现FGM板的轻质和高效隔热。

当h=7.2 mm，k=1.5时，热流密度q对热传导的影响如图7所示。

图7 热流密度q对板热传导的影响Fig.7 Effect of heat flux density q on the heat conduction of plate

由图7可知：FGM板底部温度随q的增大而逐渐升高，且随t的增加呈线性递增的趋势；当q=5 mW/mm2，t=800 s时，板底部温度为450 K；当q=40 mW/mm2，t=800 s时，板底部温度为1 800 K。因此，当q一定时，为确保FGM板底部温度在某个安全范围内，控制飞行时间对飞行器的安全至关重要。

4.3 FGM板的热变形分析

当k=0.2，q=5 mW/mm2时，h对板自由端变形量ε的影响如图8所示；当h=7.2 mm时，热流密度q对板自由端变形量ε的影响如图9所示。

图8 FGM板厚h对板自由端变形量ε的影响Fig.8 Effect of FGM plate thickness h on the deformation of plate free‐end ε

图9 热流密度q对板自由端变形量ε的影响Fig.9 Effect of heat flux density q on the deformation of plate free‐end ε

由图8可知：随着t的增加，ε先快速增大后基本保持不变；当h=1.8 mm时，ε约为同一时刻其他板厚的5倍；当h≥5.4 mm时，随着t的增加，ε的变化非常小。因此，为控制ε足够小，保证飞行器长时间安全飞行，应取h≥5.4 mm。

由图9可知：当q一定时，k对ε的影响很小；ε随q的增大而逐渐增大，当q=30 mW/mm2时，ε约为q=5 mW/mm2时的5倍。因此，从控制ε的角度出发，应取5≤q≤10 mW/mm2。

4.4 FGM板的热应力分析

按上文建立的FGM板模型的坐标系，分析FGM板底部节点（4 mm，8 mm，-h/2）处的von‐Mises热应力。当k=5.0时，q对FGM板底部节点热应力σ的影响如图10所示；当h=7.2 mm时，k对FGM板底部节点热应力σ的影响如图11所示。

图10 热流密度q对FGM板底部节点热应力的影响Fig.10 Effect of heat flux density q on thermal stress of FGM plate bottom node

图11 陶瓷体积分数指数k对FGM板底部节点热应力的影响Fig.11 Effect of ceramic volume fraction index k on thermal stress of FGM plate bottom node

由图10可知：当q一定时，增大h有利于减小σ，当h=0.9，7.2 mm时尤为明显；当h>7.2 mm时，增加h几乎不能有效减小σ；当h一定时，增大q会使σ逐渐增大。因此，为保证飞行器在不同的热流密度场下安全运行，应取h>3.6 mm；当h<2 mm时，应取q<10 mW/mm2，以保证FGM板的节点应力小于其抗弯强度1 018 MPa。

由图11可知：k对σ的影响非常小；随着q的增大，σ呈线性递增的趋势。

因此，k对FGM板的热传导、热变形、热应力的影响较小，而h、q和t对FGM板热防护效果的影响较为明显。