利用GeoGebra软件揭示彩虹和霓的成因

申强强

阜阳市红旗中学，安徽 阜阳 236000

雨后的天空有时会出现彩虹或霓，这美丽的天象其实是一种光的反射和折射现象。在学习了光的反射和折射定律后，学生可以对霓虹的成因做简要分析，但是对于“为何霓会出现在彩虹的上方”“彩虹的颜色排布顺序是外红内紫，而霓的颜色排布顺序则刚好相反”等问题难以准确解答。

GeoGebra是一款优秀的动态数学软件，它拥有强大的数学运算和图形处理能力。利用GeoGebra可以动态演示彩虹和霓形成过程的光路，更加方便、直观地揭示彩虹和霓的形成原理。

1 彩虹的形成原理

1.1 彩虹形成原理的GeoGebra演示

在雨后或者其他合适的气象条件下，空气中悬浮着大量的小水滴，阳光照射到水滴上，经过两次反射和一次折射，形成我们看到的彩虹。下面我们将结合光的反射和折射定律，利用GeoGebra软件演示光线在水滴中的传播过程。

（1）任取一点O作为圆心，作一个半径为1的圆代表小水滴。在圆上任取一动点A作为入射点，在指令栏输入：射线（A，向量(-方向向量(x轴)))，即可得到以A为入射点的一条入射光线。

（3）在指令栏输入：射线（C，向量（旋转（方向向量（直线（O，C）），-α））），得到出射光线，如图1所示。

图1 GeoGebra演示的光线在水滴中的折射和反射光路图

至此，我们得到了某一条入射光线在水滴中经过两次折射和一次反射的光路图。设置线径、颜色和线型等参数可以使效果更美观。

众所周知，不同单色光的折射率不同，拖动滑动条n，会发现不同折射率的单色光偏折的情况略有不同。当取n=1.33时，演示的是红光的折射和反射光路图A→B→C。再按照上面的步骤，将n替换为1.34，即可作出紫光的折射和反射光路图A→D→E，如图2所示。

图2 一条红色和紫色单色光的反射和折射光路图

我们可以看到由于红光和紫光折射率不同，二者的出射光线并不重合，且紫光在红光的上方，这似乎与我们日常观察到的彩虹上红下紫的顺序恰好相反。图2只展示了一条入射光线的情况，实际上，阳光可以视为一束平行入射光线。下面以红光为例，演示一束平行光照射到水滴表面后的传播情况。

选中设置好的四条光线，右键选择跟踪功能，再选中A点，右键选择启动动画，A点开始移动，左下角出现开关键，当A点移动到适当位置点击暂停（图 3）。

从图3可以看出，当一束平行光入射到水滴表面后，经过折射和反射，在出射光线中，一部分光线折射后的角度较大，如图中C点；还有一部分光线比较集中地出现在某一条光线的出射点附近，即图中出射光线较密集处（如图中D点），此处光强相对较大，被称为彩虹线。我们看到的彩虹某一颜色的光主要来源于这密集处的光。不同颜色单色光的彩虹线所在位置不同，从而形成了彩虹外红内紫的颜色排布。

图3 一束平行光入射到水滴表面的折射和反射光路图

1.2 彩虹中不同色光的彩虹角

根据光的折射和反射定律，我们可以计算出不同单色光彩虹线的位置。由图4所示的几何角度关系图可以得到偏转角

图4 光路图中的几何角度关系

下面我们直接用GeoGebra画出函数图像，从图像当中观察偏转角随着入射角的变化有怎样的规律，给学生更加直观、深刻的印象。在指令栏输入函数表达式，设置相关参数，即可得到偏转角与入射角的函数图像（图5）。

图5 彩虹中红光偏转角与入射角的函数关系图

由图5可知，在最小偏转角附近，当入射角在较大范围内变化时，偏转角变化较小，此处光线较密集，光强较大，这就是我们要找的彩虹线的位置。严格的数学证明过程较繁杂，本文不再赘述，有兴趣的读者可自行验证。

利用极值点工具可以找出当n=1.33时，红光的最小偏转角为137.48°（图5），这就是红光彩虹线的位置。当取n=1.34，可以得到紫光的最小偏转角为138.93°，也就是紫光彩虹线的位置。我们也可以利用求导数找极值的方法求出（4）式所代表函数的极值点，找到对应的最小偏转角，其结果与我们利用图像得到的结果是一致的。

最终，我们可以得到出射光线反向延长线与入射光线方向的夹角，对于红光是180°-137.48°=42.52°。这就是人眼对于彩虹的仰角，称为红光的彩虹角（图6）。我们所看到的彩虹中红色部分均来自于这一角度附近。同理，紫光的彩虹角为180°-138.93°=41.07°。 可见，紫光的彩虹角小于红光的彩虹角，这就是彩虹颜色排布的顺序是外红内紫的原因。

图6 红光的彩虹角

2 霓形成的原理

2.1 霓形成原理的GeoGebra演示

在彩虹的上方，我们有时还能看到另一条与彩虹颜色顺序相反的“副虹”，即我们常说的“霓”。彩虹是光在水滴中经过两次折射和一次反射的结果，而霓的形成则是入射光线在水滴内多发生了一次反射，导致它的颜色排布顺序与彩虹恰好相反。霓形成原理的GeoGebra演示在彩虹的基础上增加以下步骤：

（1）在指令栏输入：交点(c，射线(C，旋转(旋转(旋转(O，β，A)，2β，B)，2β，C))，2)，得到出射点F，连接 CF。

（2）再输入：射线(F，向量(旋转(方向向量(直线(O，F))，-α)))，得到出射光线。

（3）设置好相关光线的颜色和样式使界面更美观。如图7所示，仍以红光为例，取n=1.33，拖动A点，即可观察到不同角度入射光线的偏转情况。

图7 GeoGebra演示霓形成原理的光路图

2.2 霓中不同单色光的彩虹角

与彩虹类似，我们也可以求出霓中不同单色光的彩虹角。由几何关系可得偏转角

我们仍用GeoGebra画出函数图像，与彩虹类似，在霓中各单色光偏转角的极大值附近，入射角在较大范围内变化时，偏转角变化较小，意味着此处光线密集，光强较大，这就是霓中各单色光彩虹线的位置。

利用极值点工具可找出红光偏转角的最大值为129.9°，如图8所示。当n=1.34时，可以得到紫光偏转角的最大值为127.29°。由此可以计算出霓中红光的彩虹角为 180°-129.9°=50.1°，紫光的彩虹角为 180°-127.29°=52.71°。 所以，在霓中不同单色光的排布顺序是外紫内红，与彩虹的颜色排布顺序相反，且由于霓中各单色光的彩虹角均比彩虹中同一单色光的彩虹角大，所以它在彩虹的上方出现。

图8 霓中红光偏转角与入射角的函数关系图

以前对于彩虹和霓成因的解释，学生往往只能画出某一条单色光线在水滴表面折射和反射的光路图，难以做出更深入的分析。而利用GeoGebra软件可以动态演示彩虹和霓的形成原理，并且可利用GeoGebra绘制图像，找出彩虹和霓中不同单色光的彩虹角，更直观地解释了彩虹和霓中单色光排布顺序等问题。GeoGebra软件功能强大，除了光学问题，它还能帮助我们动态、直观地演示其他很多物理问题，如带电粒子在磁场中的偏转问题以及演示简谐振动和机械波等物理问题[1]。