解三角形最值问题中的几种主要模型研究

贵州省实验中学(550000) 刘朝海 夏学超

贵州师范大学数学科学学(550000) 王宽明

一、问题提出

解三角形问题主要涉及正弦定理、余弦定理以及面积公式.由三个公式的结构知,倘如已知三角形的3 个边角信息(至少1 个与边有关信息),即可确定该三角形的其他边角信息.见下表:

表1: 解三角形中已知3 个边角信息的解题策略

解三角形问题是高中数学的一个重要内容.一直以来,解三角形就颇受高考命题和数学研究者青睐.诸多研究者就解三角形的教材价值的挖掘[1]、探索解三角形的课堂教学[2]以及解三角形的解题方法和题目变式[3]等内容进行思考.在解题方法上看,多居于利用代数方法进行求解,而“高考命题是借助解三角形内容,体现三角函数的工具作用”[4],而对其几何价值并未深入思考和利用.

统计近10年的全国高考数学试卷发现,在对解三角形问题的各类型问题考查中, 关于求最值问题约占四分之一.这表明,三角形求最值问题,是考查高中生数学核心素养的重要载体,也是高中数学教学需要着力的地方.而解三角形中的最值问题的形成往往由于题干所给条件的数量不够所造成,若题干中只给出2 个边角信息(至少1 个与边有关的信息), 则该三角形往往存在不确定性, 进而出现边角最值.因此,研究通过对解三角形最值问题模型的归纳与挖掘,以期为一线教师在解三角形最值问题的教学提供参考.

二、解三角形问题中常见最值模型

在解三角形问题中,已知两个边角信息(至少有一个关于边的已知量)是三角形不固定的重要原因.根据题干所提供的边角位置和边个数可分为以下三种模型: 已知一个角和一条边, 且边角相对; 已知一个角和一条边, 且边角不相对;已知两个与边有关的信息.

1 模型一: 已知一个角和一条边,且边角相对

例1(2020年高考全国Ⅱ卷)ΔABC中,sin2A-sin2Bsin2C=sinBsinC.

(1)求A;(2)若BC=3,求ΔABC周长的最大值.

接下来,本文主要针对第二问开展研究.

图1

分析第一问, 先采用正弦定理将角化为边, 再用余弦定理不难求出A=由图1 发现, 该题的第二问属于已知一个角和一条边, 且边角相对.根据周长公式CΔABC=AB+AC+BC=AB+AC+ 3, 欲求面积的最大值,即求AB+AC的最大值,将问题转化为与边相关的最值问题,因此可以采用余弦公式和重要不等式进行放缩.

解法1(2) 由(1) 知,A=则由余弦定理得

将②代入①中得AB+AC≤ 当且仅当AB=AC时取等号,所以CΔABC=AB+AC+BC≤即ΔABC周长的最大值为

解法2如图2 所示构造圆, 使BC= 3, 点A在劣弧上运动时始终保持∠BAC=取劣弧的中点A1,通过平面几何知识可知,当点A运动到A1时,AB+AC取最大值.证明如下:

延长AB, 取E使AC=AE.同理, 在A1B的延长线上, 取F使A1F=A1C.则∠E= ∠ACE,∠F= ∠A1CF,∠BA1C= 2∠F,∠BAC=2∠E,∠BA1C= ∠BAC, 所以∠E=∠F即B,C,E,F四点共圆, 所以BF为四边形BCEF外接圆的直径,即BF ＞BE,所以A1B+A1C ＞AB+AC,即当点A运动到A1时,AB+AC取最大值.

图2

评析该模型的问题解决主要分为三大步.第一步,利用余弦定理求出边与边的关系;第二步,将AB2+AC2进行配方,使AB2+AC2= (AB+AC)2-2AB·AC;第三步,利用基本不等式放缩AB·AC≤进而求出AB+AC的最大值.该模型还可以进一步求ΔABC面积的最大值,由SΔABC=故在第二步放缩时可以直接放缩AB2+AC2(AB2+AC2≥2AB·AC)即可求出AB·AC的最大值;另一方面,采用图解法已知当点A运动到A1时,ΔABC中BC边上的高A1D最高,即ΔABC的面积最大.

2 模型二: 已知一个角和一条边,且边角不相对

例2在锐角ΔABC中,b=3,A=求ΔABC面积的取值范围.

分析边角不相对模型可以采用正弦定理也可以采用图解法求解.

解法1由面积公式得,SΔABC=由可知,

因为ΔABC为锐角三角形, 则进而所以

解法2由面积公式得,SΔABC=由图3 可知,c=AB,bcosA=AD ＜AB ＜AE=即所以

评析通过比较两种解法发现, 解法1 贴近学生的解题经验,但运算量大,化简过程复杂, 往往学生无法准确的求解最后结果; 解法2 利用图形表示关系直观、方便快捷,学生易于接受不容易出现错误.因此,图解法对于解决解三角形最值问题具有重要作用.

图3

3 模型三: 已知两个边的信息

例3在ΔABC中,a=4,b+c=6,问ΔABC面积的最大值是多少?

分析由例2 发现,图解法对于求最值具有“直观、简便”的优势.因此,可以尝试图解法求解.由b+c为定值可以理解为动点A到B,C两点的距离为定值,即动点A的轨迹为椭圆(如图4).

解因为b+c为定值, 所以动点A到B,C两点的距离之和为定值, 即动点A的轨迹为椭圆.由图5 可知, 当A运动到D时, ΔABC的面积最大.所以SΔABC=· OD= 2OD, 如图5 建立坐标系, 易求动点A的轨迹方程为= 1(y /= 0).即OD=所以SΔABC=

图4

图5

评析由例3 再一次证明图解法在解决三角形最值问题时的重要作用,可以极大的帮助学生快速的解决问题,提高解题效率.因此,在教学中,我们要力求让学生充分运用数形结合思想解题.与此同时,该模型还可以变化成双曲线和圆模型.

变式1在锐角ΔABC中,a=4,c-b=6,求ΔABC面积的最大值.

分析其c-b=6 可理解为动点A到B,C两点的距离之差为定值,即表示双曲线的一支.(其构造图形如图6 所示)

变式2(2008年高考江苏卷)满足条件BC= 2,AB=的三角形面积的最大值是多少?

图6

图7

分析其构造图形如图7 所示建立坐标系B(-1,0),C(1,0),设A(x,y),则可表示为

化简可得(x-3)2+y2= 8,即动点A为该圆上的点(注意y /=0).

三、结束语

通过对解三角形最值问题探究发现,对于最值问题的三种情况均可采用“图解法”求解,比利用正余弦定理解决问题的复杂程度和运算能力的要求都相对较低,充分利用图解法可以避免“过度地抽象化、形式化而造成学生思维的困惑”[5].因此,在教学过程中理应关注以下两个方面:

1.力求渗透“数形结合”思想,多角度的考查知识内容.数学知识许多都带有几何背景,利用好几何背景能够帮助直观的理解数学知识的本质,有利于学生的深度思维训练;其次,充分利用几何背景往往能够简单、直观的解决问题,提高学生解决问题的积极性,帮助树立数学学习的信心.

2.利用变式教学,启发学生的发散思维.问题的来源有时来源于“联想”,通过一个问题的解决,尝试变换条件提出新的问题.例如,例3 中我们将问题转化为动点到两定点的距离之和为定值,借助椭圆解决问题,因此自然会思考动点到两定点的距离之差为定值,此时我们又应该采取何种方式处理? 故此,教学中应关注变式教学对于学生思维的启发.