基于映射适应卷积理论的半球面纹理映射

庞瑞,朱琳，张旺

（四川大学计算机学院，成都610065）

0 引言

随着计算机技术的高速发展和应用，计算机真实感图形在计算机艺术、计算机制片、计算机娱乐和广告等领域有着越来越广泛的应用，真实感图形的质量也显得尤为重要，真实感图形学也成为了计算机图像学中一个十分重要的研究课题，而影响三维物体的真实感的因素有很多，其主要因素来源于对物体表面的模拟，而物体表面的模拟最重要便是表面的细节信息的提取与模拟，即纹理[3]，所以，纹理映射技术的研究对于获得真实感图形是至关重要的，它可以模拟物体表面不规则且较精致的细节信息，从而显著地增加场景的细节和真实感。如果要活得较为满意的纹理信息，需要将物体表面进行数学化，但是复杂物体表面数学化十分困难，因此，为了实现纹理映射，我们通常使用两步纹理映射[1]。

两步纹理映射技术是由Bier 和Sloan 提出的方法[1]，该方法主要是分为两步，首先，将纹理空间映射到选取的中介面，即S 型映射，再实现从中介面到三维物体空间的映射，即O 型映射。对于中介面的选择，可以根据不同的物体选择不同的曲面，较为常见的曲面有平面、球面、圆柱面、立方体表面等，其中球面是使用最为广泛的中介面，球面映射又分为整球面映射和半球面映射，但由于在纹理坐标系中相邻的点映射到整球面后不可避免出现重叠的现象，较容易产生纹理变形，导致纹理走样的严重后果，为了解决该问题，可以对同一个球面的两个半球面分别进行映射，但仍然会出现球面的赤道不连续的情况。由于在两步纹理映射中，中介面的形状越接近物体表面形状，映射过程中产生的纹理变形越小，因此，可以选择半球面纹理映射算法解决此问题[4]。

当一副纹理图像映射到中介曲面的过程中，往往需要对纹理图像的某些局部位置进行压缩或者拉伸从而适应中介曲面的形态，在图像压缩或者拉伸过程中，由于采样频率达不到原始频率的两倍，会增加纹理图的高频成分，在图像空间不可避免出现图像混叠的问题[5,7]，基于此问题，本文使用映射适应卷积理论[2]，探讨该理论在半球面纹理映射技术中的抗混叠效果。

1 半球面映射模型

球面映射是纹理平面坐标与球面坐标之间的映射关系，而半球面映射是圆形的纹理图映射到半球面上，其原理是采用经纬坐标表示[6]：

其中，R 是球体半径，α 是经度坐标，β 是纬度坐标。

利用立体投影的思想，构造半球面纹理映射原理如图1，其中Pc(0,0,1)为投影中心，它是球面的负极点，O 是三维坐标系的原点，半球面的赤道面与XOY 平面一致，纹理平面中坐标系的u 轴与x 轴平行，v 轴与y轴平行，即u//x,v//y,该平面与XOY 平面平行[1]。

图1 立体投影原理图

首先，Pc 作为投影中心，位于z 坐标轴上，物体半球面使用经纬坐标，纹理平面使用极坐标表示，点Q(1,α, β)位于半球面上，通过映射后，对应于纹理平面的点P(1,α)，该半球面映射公式是[4]：

其中，p=tan α cos β，q=tan α sin β。

根据图1 所示的立体投影原理及上述假设可得：

代入后可得到从物体的半球面表面到纹理平面的映射关系：

其 中，定 义 域 为 x ∈[- 1,1],y ∈[- 1,1] ，值 域为u ∈[- 2,2]，v ∈[- 2,2] 。

2 半球面映射的抗混叠算法

2.1 混叠问题

将一副纹理圆形图案映射到半球面的过程中，为了适应半球面的形状，需要对纹理圆形图案进行图像压缩，增加了纹理图案的高频成分，造成了图像的频域成分混叠，导致图像混叠，对纹理映射效果产生了较大影响，为了更好地得到原始图像的信息，处理好图像的抗混叠问题十分必要[5,7]。

为了解决抗混叠的问题，介绍一种新的卷积方法——映射适应卷积理论，它可以更好地适应平面映射变化中的缺陷。在半球面纹理映射的过程中，主要是以基于立体投影的半球面纹理映射为例，探讨映射适应卷积理论在半球面纹理映射中的抗混叠效果。

2.2 映射适应卷积理论的条件及证明

卷积是一种数学算子，根据定义可得，一般的卷积算子公式如下：其中，f(x)和g(x)都是可积函数。

当函数f(x)通过映射h 到另外一个函数f(h(x))，为了适应映射h 的变换，使得f(h(x))与映射前的原始函数f(x)及g(x)进行积分运算后，得到一样的结果。文献[2]中给出了相应的数学推导，得到以下数学公式：

根据映射适应卷积理论，我们需要构建一个微分同胚的单应映射，即前面提到的基于立体投影的半球面纹理映射。接下来我们需要证明基于立体投影的半球面纹理映射是微分同胚的，根据定义，通过计算求出该映射的雅可比是存在的，并且不为零。

根据上文中的映射公式，可以求出u(x,y)与v(x,y)分别对x 和y 的偏导，对应公式如下：

根据u(x,y)与v(x,y)分别对x 和y 的偏导，可以计算出该半球面纹理映射的雅可比，对应公式如下：

通过计算，可以得到该半球面纹理映射的雅可比不为零，可以证明基于立体投影的半球面纹理映射是微分同胚的。

接下来证明该半球面纹理映射的逆映射是微分同胚的。

利用求解反函数的方法，计算出其逆映射，对应公式如下：

采用同样的方法，可以求出该逆映射u(x,y) 与v(x,y)分别对x 和y 的偏导，对应公式如下：

根据u(x,y)与v(x,y)分别对x 和y 的偏导，可以计算出该半球面纹理映射对应逆映射的雅可比，对应公式如下：

根据计算，同样可以计算出其逆映射也是微分同胚的。

通过上述数学证明，可以得出该半球面纹理映射符合映射适应卷积理论的条件，可以使用该新型卷积运算来解决混叠问题。

2.3 抗混叠算法

为了方便讨论，假设纹理平面为原始图像u(x)，映射到半球面后的图为模拟平面v(x)[8]。基于映射适应卷积理论的半球面纹理映射具体流程如下[2]：

（1）对模拟平面即半球面进行标准栅格化，然后对每一个栅格化上的每个点x0使用半球面映射对应的逆映射h-1(x)，找出重采样的位置h-1(x0)，如果这个点在原始平面中，则继续执行下一步，否则将模拟平面中的点v(x0)设置为零。

（2）计算纹理平面点h-1(x0)的形变高斯核的范围：设定半球面内计算的卷积的平均范围是8c*8c 的正方形区域，然后将该正方形区域的中心移动到模拟平面v(x)的坐标系的原点x0处，经过逆映射得到形变四边形区域，计算以h-1(x0)为中心的最小外接正方形，该正方形就是获得的高斯平均权重的范围。

（3）利用半球面纹理映射的雅可比来矫正形变高斯核区域。在最小外接正方形内，以该正方形的中心构造标准栅格，设该中心为S-1(x0)，对于半球面上任意采样点通过映射x^’=x0-S-1(^)后，使用采样函数为高斯核Gc(x)进行采样获得采样值，并用该采样值除以雅可比的绝对值后得到离散形变核，若x^’不在半球面对应的投影面上，则该点的高斯核为零。

（4）在原始图像u(x)上使用映射适应性卷积进行插值。对每个重采样位置S-1(x0)进行插值，插值的领域范围为a*a 的正方形，对于该区域中的每个点平移到形变核的中心，并在以h-1(x0)为中心的最小外接正方形内计算平均的高斯形变核，得到该点的映射适应卷积结果。

（5）最后，对于每个映射卷积结果，选择合适的插值方法对S-1(x0)进行重采样，将插值结果填充到模拟平面中。

3 实验结果

在验证映射适应卷积理论时，我们利用点阵图，将单位圆到半球面纹理映射的映射适应卷积抗混叠算法与该映射的标准卷积抗混叠算法的效果进行对比。

首先，生成半径为256 的圆形纹理点阵图，然后根据上文提到的基于立体投影的半球面纹理映射公式，进行半球面纹理映射得到对应的半球面纹理图，再将该纹理图作为原始平面，通过半球面纹理映射的逆映射得到圆形纹理图，最后，将该圆形纹理图分别进行映射适应卷积和标准卷积，对比反混叠效果。

图2 标准卷积实验结果

对圆形纹理先进行半球面映射，再做高斯标准卷积，出现了明显的图像混叠问题，实验结果如图2。

对圆形纹理先进行半球面映射，再做映射适应卷积，图像反混叠效果较好，实验结果如图3。

通过实验结果可以看出：使用标准卷积不可避免产生图像混淆，但如果使用映射适应性卷积可以较好地解决图像混叠问题。

4 结语

本文根据立体投影原理，详细地介绍了基于该原理的半球面纹理映射，分析了映射过程中产生的图像混淆问题，并针对该问题，将映射适应卷积理论应用到半球面纹理映射中，从而达到图像抗混叠的目的。

图3 映射适应卷积实验结果