基于夫琅禾费衍射的星芒现象探究

辛 秀，咸夫正，孙尚倩，韩广兵，徐建强

(山东大学 物理学院，山东 济南 250100)

用多边形光圈相机拍摄夜晚的路灯，会发现照片中的路灯发出一条条星芒状的光线，用手机拍摄、或者用眼睛去看路灯时也会产生这样星芒状的光线，这是什么原因呢？其实这都是光在一定条件下发生衍射而产生的[1-14]。本文基于夫琅禾费衍射理论，用MATLAB对光场进行了数值模拟，得到了星芒产生的条件和规律，并以相应的实验进行了验证。

1 理论分析

由菲涅尔-基尔霍夫衍射公式：

在傍轴近似条件下，cosθ0≈cosθ≈1，则P点的光振动复振幅简化为：

图1 等腰三角形示意图

相机光圈的孔径由多个刀片组成，光圈的形状往往是正N边型，可以把该多边形孔看作是由N个等腰三角形孔旋转得到的。故本问题先研究等腰三角形孔所产生的夫琅禾费衍射情况。

接下来分别对正方形孔，正六边形孔，圆形孔做衍射理论分析。

1.1 正方形孔

所以光强为：IS(x,y)=US*(x,y)US(x,y)

1.2 正六边形孔

其中，右式六项为将正六边形划分成六个正三角形的各部分衍射场叠加。

由此则光强为：IS(x,y)=US*(x,y)US(x,y)

1.3 圆形孔

对圆形孔，即正多边形的边数N趋于无穷，其光强为：

2 数值计算

2.1 不同形状的孔形成的衍射

图2 用MATLAB程序对从不同形状的孔中透过的光线进行傅里叶变换

2.2 不同大小的孔形成的衍射

在拍摄照片时总是会根据需要选择合适的光圈大小。在摄像机内部，这一功能是由光阑的旋动实现的。光阑上装有依次排成一环的直边或弧边的刀片，旋动时会使它们集体开闭，从而实现光圈大小的调整。通过编写MATLAB程序，计算了光线透过不同边长a的正六边形小孔的衍射图像,如图3。

图3 用MATLAB程序对具有不同大小孔径a正六边形孔中透过的光线进行傅里叶变换

可以看出，不同大小的孔形成的衍射有如下特点：(1)每个主极强的峰值不会随着孔径尺寸的改变而发生改变。(2)孔径大小的改变只是改变了亮纹和暗纹的间距，孔径越小，亮纹与暗纹的间距越大。而且当光圈较小时，单位时间内光圈通光量减少，成像图案尺寸也变小，星芒由于受到其他光线干扰少而显得更加明显。

2.3 不同频率的光形成的衍射

之前计算的都是近似单色光的衍射，而实际拍摄中更多的是复色光，因此研究光的衍射情况与其频率的关系具有现实意义。复色光是各个单色光的叠加，其包含多个波长。用MATLAB编程将白光分解出的七色光用不同的RGB值三色光混色重新叠加，从而计算出复色光在通过正方形小孔和圆形小孔后的衍射情况,如图4。

图4 用MATLAB程序对不同色光通过正方形孔和白光透过圆形孔的光线进行傅里叶变换

由计算结果可知，复色光的“星芒”现象依旧存在，其随孔径变化的特性依旧与单色光情况下时相同。但是在形成星芒的过程中呈现不同颜色的光分离的现象，复色光的衍射光线除中央主极大条纹为白色外，其余各级次亮条纹均为彩色条纹，且每级亮条纹均以蓝紫色开始，红色结束。在波长较长的红黄色光，衍射效果会比波长较短的蓝紫色光星芒现象明显很多。

3 实验验证

3.1 不同形状的光圈形成的衍射

图5是弧形刀片组合成的近似圆形光圈(佳能50B相机)和由直边刀片组成的七边形光圈示意图(索尼A5000相机)，及其拍摄同一路灯照片。可以看出七边形光圈有较为明显的星芒现象，其有14条由于衍射产生的光线束，这符合之前的理论计算。

图5 不同形式光圈示意图及其拍摄同一路灯照片

3.2 不同大小的光圈形成的衍射

用有七边形光圈的索尼A5000相机拍摄路灯，控制焦距16 mm，感光度ISO 640，快门3/5秒不变，图6给出依次减小光圈尺寸所得照片。可以看出，成像效果符合之前的理论计算结果，并且还可以得到实际拍摄的经验：将光圈适当调小一些，更容易拍摄出星芒效果。

图6 不同光圈尺寸所得路灯照片

3.3 不同频率的光形成的衍射

为拍摄出自然复色光有明显色分离现象的照片，在相机镜头加“星光镜”。“星光镜”是一片表面有规则刻痕的镜片，如本文选用的刻痕类型如图7a所示。由前述计算可以预测这种刻痕产生的星芒效果如图7b(蓝色细线为刻痕，橘色粗线为星芒光线)。用镜头加有这种星光镜的相机拍摄的路灯照片如图7c。图7d是图7c中一个亮纹的放大图，显然可以看到，级次亮条纹均为彩色条纹，且每级亮条纹均以蓝紫色开始，红色结束，这与之前的理论预测完全一致。

图7 通过星光镜得到自然复色光有明显色分离现象的照片

4 结 语

由拍摄光源时照片中产生星芒现象引发思考，通过理论与实验探究，得到以下结论：(1)照片中的星芒是光线在光圈边缘处产生衍射造成的，衍射光线沿着与边线垂直的方向展开。直边刀片组成的光圈产生星芒的效果最为明显，而“星光镜”由于在镜头上添加了规则的划痕，所以会更加显著地增强衍射效果，拍出更明显的星芒。(2)n边形光圈拍摄产生2n条星芒，2n边形光圈拍摄产生2n条星芒，其中n为奇数。(3)孔径大小的改变只是改变了亮纹和暗纹的间距，以及可收集的衍射图案的整体大小，并不改变衍射中心主极光强峰值。光圈较小时，更容易拍摄出星芒。(4)复色光的星芒现象依旧存在，星芒中央主极大区域为白色，其余各级次亮条纹均为彩色，且每级亮条纹均以蓝紫色开始，红色结束。

文章探究的这个现象在生活中的其他很多地方都可以见到。比如，手机拍摄夜景时，照片中的灯光会拉出长长一条弧光，这是由于手机镜头的划痕或者汗渍造成的衍射；肉眼看路灯或烛火时也会发觉到光源周围有发出隐约的细丝状的光线，那是由于人们的晶状体上还有一些纹路，或者眼球中液体的微小流动，眼睫毛的扰动等原因产生衍射造成的。