关于一道感生电动势例题计算的思考

张 月 沈国柱 赵媛媛

(南京信息工程大学物理与光电工程学院,江苏 南京 210044)

1 问题引入

本科物理学的学习相较于高中而言的最大特征是强调矢量叉乘方向的判断与微分的内容,而电磁学的学习是矢量知识运用的较集中的体现,也是本科物理学学习的基础。因此,强化矢量叉乘运算能力有利于更好地理解电磁学中具体内容的物理意义,为进一步的物理学学习打下基础。

本科阶段学习电磁学的过程中,在系统学习稳恒磁场之后引入法拉第电磁感应定律和楞次定律,结合以上两个定律引入感应电动势的概念,感应电动势可根据磁通量变化方式的不同而分为动生电动势与感生电动势。动生电动势的计算方法一般有两种方法[1]:

方法一:通过洛伦兹力公式

来进行计算。

方法二:利用法拉第定律进行计算。此时又分为两种情况,即运动的导体是否闭合,选择合适的闭合曲线运用法拉第定律进行计算即可得到结果。

感生电动势的计算也同样有两种方法[1]:

方法一:利用定义式

来进行计算。

方法二:利用法拉第定律进行计算。同样分为闭合导体与一段导体两种情况,通过选择合适的闭合曲线进行计算。

在实际计算非闭合回路感应电动势的过程中,利用法拉第电磁感应定律方法能够很便捷地得到计算结果,但是使用定义法能够更加反映物理实质。相较于动生电动势,利用定义法来计算感生电动势方法更加需要仔细分析矢量方向的问题,不然很容易导致方向混乱、计算结果正负号有误。

在大多数电磁学教材中大多只计算了磁场内部导体段的感生电动势,对磁场外的感生电动势描述较少,并且由于在磁场内导体段几何的特殊性,使得计算过程进行了简化,并没有过多考虑变量之间的矢量方向和变化方向的问题。而在计算磁场外导体段的感生电动势时,积分表达式并不能形成一个可以根据几何关系简化的结构,但是这一部分内容在大多教材中并未提及,并且教师在授课的过程中也不会给出详细的计算过程,所以学生在计算的过程中并不明晰其中的矢量关系的转变。因此要重点考虑各变量之间的关系才能得到正确的答案。

为了解决以上问题,揭示感生电动势物理实质,下面笔者引入一道例题,并针对此例题在定义法的基础上提出三种方法来更好地理解感生电动势计算过程中矢量的运用。

【例题】如图1所示,半径为R的无限长圆柱形空间内有均匀的磁场以恒定的变化率=k＞0变化,有一内阻可忽略的等腰梯形导线框abcd,a、b两点位于圆柱面上,且有cd=2ab=2R,bc和ab边延长线过圆心O,求导线框中的感应电动势。

图1 例题配图

2 分析问题

在求解导线框回路abcd的电动势中,由于ad段与bc段的积分方向与涡旋电场方向相反,根据矢量点乘的性质,ad段与bc段的感生电动势为0。对于此题中的分析,笔者阅读了诸多电磁学教材[1-3],集中解决ab导体段的感生电动势,所提出的方法大多一致,这里不再赘述,只是列出一般计算ab导体段感生电动势的解题方法。而本文将重点放在dc导体段的分析计算上,并且基于感生电动势的定义提出三种切实可行且不会造成计算过程中矢量方向混乱的方法。

2.1 使用法拉第电磁感应定律

在此针对此题,给出使用法拉第电磁感应定律计算感生电动势的一般做法。因为有法拉第电磁感应定律

其中ε为感应电动势,Φ为磁通量,负号满足楞次定律的要求。

2.2 感生电场的计算

变化着的磁场会在其周围产生电场,这种电场称为感生电场或涡旋电场[4]。涡旋电场由变化的磁场产生,并且是一个闭合电场。涡旋电场是感生电动势非静电力的来源,根据法拉第电磁感应定律进一步推导,涡旋电场绕闭合回路一圈的表达式可以写成

其中,曲面S的方向与曲线L成右手螺旋关系。

根据磁场方向将面S的法线方向取向内侧,根据右手螺旋定则曲线L的正方向为顺时针方向,并且由几何关系知,cb、da延长线交于圆形磁场的圆心处,且夹角为60°。做圆心到导体段任意一点的连线,长度为r,从圆形磁场的圆心做以r为半径的圆(如图2所示)。r处涡旋电场方向与虚线圆相切,并与磁场方向成右手螺旋关系,各部分的矢量关系如图3所示。以圆形磁场作为分界线,计算圆形磁场内外区域半径r处产生的涡旋电场

考虑矢量方向,得到

其中感生电场方向的单位矢量定义为eφ。

2.3 ab 导体段感生电动势的计算方法

在此,笔者只讨论定义法下求解感生电动势的方法。由于曲线正方向为顺时针方向,因此在接下来的讨论中,我们定义积分方向为a→b,d→c方向。

图2 做r 为半径圆

图3 ab 段各部分矢量关系

根据感生电动势的定义,对ab导体段有

读者可以看出,在计算ab导体段感生电动势每一步的过程中都有不少的矢量运算。并且对于ab导体段,计算较为简单的主要原因是计算过程中存在rcosθ=R的关系式,直接代换得到相对简单的结果。但是对于dc导体段的计算过程中并没有形成这样“完美”的结构,这也是计算过程存在错误的主要原因之一。因此,笔者将对dc导体段的计算过程进行一个详尽的阐述。

2.4 dc 导体段感生电动势的计算方法

2.4.1 弧度法

根据感生电动势的定义,对dc导体段有

根据图像关系(如图4所示),可以得到

这一步务必要注意dl与dθ之间的关系,从这个表达式中我们可以看出r恒为正数,cosθ在第一象限和第四象限恒为正数。因此dl与dθ的变化方向是一致的,即同时增大或同时减小。由于d→c方向为积分正方向,所以dl＞0,因此dθ＞0,所以角度θ积分范围为

图4 dc 段各矢量之间的关系

所以,此时dc导体段的感生电动势为

在此过程中可以看出,运用式(13)的几何关系代入式(14)中可将r替换掉,说明在计算磁场以外区域时,感生电动势与半径r无关。

2.4.2直接法

直接法是根据各种矢量关系直接推导,没有特殊的技巧性,属于最本源的方法。首先将积分的坐标原点设置在d点处,以向左(即d→c方向)为正方向(如图5所示)。这里可能会与约定俗成的以右方向为正方向所相悖,但是从感生电动势物理含义出发,根据涡旋电场方向来规定正方向是合理且不易出错的。因此,在计算此类问题时要跳出固有的思维模式,根据物理含义及时调整物理参量。

图5 直接法

根据图像,我们可以看出有以下关系式

对两边求微分,得到

对两边求微分,得到

所以此时dc导体段的感生电动势为

这里读者可能会产生很大的疑问,为什么角度积分上下限与弧度法中相反? 这也是笔者想要花大量笔墨着重讨论的问题,下面给出详细的解释。

在上述表达式中,定义角度范围在第一象限和第四象限,则括号里的函数恒为正,又因为dl积分方向为正方向,所以dl恒为正。而因为负号的存在,使得dl与dθ变化方向相反,即θ由大到小进行变化,因此dθ恒为负。在积分表达式中的含义为θ的变化为

从式(23)可以看出,在积分过程中r被约分消去,再次说明在计算磁场以外区域时,感生电动势与半径r无关。

2.4.3 中点坐标原点法

上述直接法从本源上反映了涡旋电场产生感生电动势的过程,每一步都有着合理的解释与详尽的矢量关系。但是操作起来略显繁杂,这里提到的选取dc段中点h为坐标原点的方法可以在一定程度上简化计算。

以dc中点为坐标原点,仍以向左为正方向(如图6所示),可以得到如下关系

注意此时l与θ正负性相同,即同时取正,同时取负。对等式两边求导,得到

所以此时dc导体段的感生电动势为

图6 选取dc 中点为原点

通过将几何关系式(31)代入到积分表达式这一过程,不难发现积分过程中可将r替换掉,同样说明在计算磁场以外区域时,感生电动势与半径r无关。

2.4.4 线框在磁场外的感生电动势

当整个梯形线圈在磁场外时,由法拉第电磁感应定律式(3)可知,此时穿过闭合线圈的磁通量恒为0,因此εbadcb=0。即若整个线框在磁场外时,总感生电动势为0。

2.5 回路感生电动势

通过上述分析,不难得到最终回路的感生电动势为

因此,最终得到回路badcb的感生电动势为与上述利用法拉第定律选择合适的闭合曲线进行计算的结果一致。

3 结语

本文首先给出使用法拉第电磁感应定律的方法对例题进行计算,得到正确结果。之后基于定义法针对磁场外导体段的感生电动势进行分析研究,分别使用了弧度法、直接法和中点坐标原点法。三种方法各有其特点,弧度法相对简洁,但是在使用弧度法时要明确积分方向与角度变化方向之间的关系,否则会造成正负号混乱的情况。直接法是从感生电动势本源出发,具有较强的几何性质,对于积分方向与角度变化方向同样有要求。在计算时务必考虑每一步之间各个变量的关系,并且跳出已有思维模式,根据题意选择合适的正方向进行积分。中点坐标原点法,定义了导体段坐标l与θ的正负号相同,基于此规定可以使得计算过程简化且易于接受。读者可以尝试用以上阐述的三种方法对ab导体段来计算感生电动势,得到的结果与使用闭合回路法拉第定律相同。从定义出发的三种方法最大的共同点是在计算过程中认真考虑每一个矢量方向和变量变化方向之间的关系,只有做到每一步都有合理的逻辑,才能解决使用定义法计算感生电动势的过程中产生的方向混乱、正负号有误的问题。