理解等积变形的转化思想

文|田秋月

平面图形总复习时，会遇到无法利用常规方法计算面积的复杂图形，怎样利用等积变形将复杂问题变简单？教师可设计以下学习活动。

一、情境中找方法

出示“曹冲称象”的图片，请学生叙述操作要点。

引导学生发现，借助水中的船，将无法分割的大象转化成同等质量的石头，启发学生将这一方法应用于数学问题的解决中。

二、转化中寻策略

1.利用底高关系进行转化。

图1

方法2：转化法。将两个小三角形进行等积变形，阴影部分转化为底是12cm、高是8cm 的大三角形。学生发现借助平行线“轨道”，可以将三角形作等底等高的等积变形，转化成已知底与高的三角形来计算面积。

图2

2.利用等量代换进行转化。

出示问题2，组织学生思考并交流。

图3

本题对于部分学生来说可能会有困难，无法直接运用面积公式，也无法通过总面积减部分面积来求平行四边形的面积。

教师可以引导学生观察图中各部分之间的面积关系（图4），因为A、C 两点将圆分成两段相等的弧，可以判断线段AC 通过圆心，所以S①=S③，S②=S④；又因为S①=S②，所以S①=S②=S③=S④。从图中可知S平行四边形=S①+S③+S⑤, 等量代换后可得S平行四边形=S②+S④+S⑤=S圆，这样就将问题转化为简单的圆面积计算了。

图4

3.利用等式关系进行转化。

出示问题3（图5），组织学生思考并交流。

启发学生思考，S△BEF-S△ADF=6cm2，如果这两个三角形都补上梯形BCDF，则分别得到了三角形ECD 和正方形ABCD，且这两个图形的面积也相差6cm2，所以S△ECD=S正方形+6=6×6+6=42cm2。求得了△ECD 的面积，可根据DC 的长度求出EC 的长度，从而求得BE 的长度。

学生在本题中利用等式构建了新的面积关系，转化得出未知三角形的面积，从而解决相关问题。

三、联系中悟思想

梳理三个问题的解题思路（图6），引导学生感悟不同解题策略和方法间的联系与区别。

图6

建立联系：学生发现，正如“曹冲称象”，将所求图形的面积（大象）转化成可计算的、易操作的常规图形（石头）的面积。

寻找区别：不同问题所采用的转化策略不尽相同，根据解题需要灵活选择等积变形的方法。

在平面图形的复习中，利用等积变形的转化思想，可以更好地发展学生的空间观念和思维能力。