双自由度半球型锥齿轮设计与接触分析

王佰超，许镇全，王德民，路先亭

（长春理工大学 机电工程学院，长春 130022）

传统的齿轮为单自由度传动，如圆柱齿轮、圆锥齿轮等都只能传递轴线相对位置不变的回转运动，但不能满足新兴领域对多传动自由度的要求，如机器人、仿生和矢量推进技术领域[1]，多自由度齿轮由此发展。

多自由度齿轮也称为球齿轮，现有渐开线环形齿球齿轮具有2运动自由度[2]，克服Trallfa球齿轮具有传动原理误差和加工难度大的缺陷，但无法实现相交轴间的回转运动传递[3]。而另一种双自由度半球型锥齿轮[4]结构，可实现变相交轴夹角的回转运动传递，同样具备2运动自由度，该球齿轮副避免由圆锥齿轮组合机构实现双自由度所带来的复杂结构设计和庞大的体积，且弥补渐开线环形齿球齿轮无法绕其极轴进行回转运动传递的缺陷，可用于机器人手腕、仿生关节等机构。

对于半球型锥齿轮的研究，目前只是对其结构设计，未对其啮合原理进行研究，以及缺少齿面数学模型。在渐开线环形齿球齿轮齿面形成原理基础上，基于双参数齿面包络原理，提出了一种半球型锥齿轮的设计方法，完善多自由度球齿轮副的二维回转运动传递形式。

1 半球型锥齿轮啮合原理

半球型锥齿轮副间的啮合传动相当于一对节球间的纯滚动。如图1所示，半球型锥齿轮副实现任意相交轴交角ϑ的回转运动传递，其中0<ϑ<π。在固定的回转轴夹角位置，该齿轮之间啮合等价于厚度无限小的圆锥齿轮间的传动，节球纬线则为锥齿轮的分度圆。当ϑ趋于0时，齿轮回转轴平行，此时等价于圆柱直齿轮间传动。而当ϑ趋于π时，回转轴重合且节球纬线半径为0，此时无半球型锥齿轮的齿面参与啮合。

图1 半球型锥齿轮副传动

考虑到圆锥齿轮的齿面可由冠轮齿面包络生成[5]，半球型锥齿轮齿面可由具有双运动参数的冠轮与齿轮的共轭运动中生成。冠轮节圆平面与节球相切，节圆中心为回转轴与节圆平面的交点。在任意轴交角位置，半球型锥齿轮与冠轮的啮合相当于厚度为无限小的圆锥齿轮与冠轮间的传动。

由于半球型锥齿轮副在一定轴交角位置下的啮合等价于一对厚度无限小的圆锥齿轮传动，即半球型锥齿轮的端面齿廓与圆锥齿轮相同，故一对半球型锥齿轮副在一定轴交角下的当量齿轮为锥齿轮。根据上述分析，半球型锥齿轮副的啮合在端面内进行的，因此其正确啮合条件为在各轴交角ϑ下，该齿轮的端面模数与压力角分别相同，即：

式中，ϑ1和ϑ2为半球型锥齿轮副端面齿廓节锥角，且ϑ1+ϑ2=ϑ。由于半球型锥齿轮与圆锥齿轮的端面齿廓相同，则在各轴交角下的重合度与其当量圆锥齿轮相同。

2 冠轮齿面方程

冠轮为圆锥齿轮在节锥角为π/2时的特殊情况，此时节锥表面为圆平面。将冠轮作为产形齿条，在共轭运动中包络出半球型锥齿轮的工作齿面。采用坐标变换方法[6]推导出冠轮的齿面方程。如图2所示，坐标系原点均在节锥平面中心，z3轴垂直节锥平面，轮齿两齿侧表面关于平面y3O3z3对称，y1,y2轴过节点且位于齿侧表面。

图2 冠轮齿廓

在坐标系S0(x0,y0,z0)中，冠轮齿面任一点p表示为[0,ρ,0]T，其中ρ为p点矢量长度。坐标系S0到S3的变换矩阵为：

式中，L30为坐标系S0到S3的变换矩阵；θp为节圆齿厚，且θ=θp/2。根据上式，冠轮的齿面方程为：

3 半球型锥齿轮齿面方程

图3为冠轮与半球型锥齿轮的共轭运动模型，冠轮工作齿面作为产形齿条包络出半球型锥齿轮齿面[7]。垂直冠轮节圆平面的z1t轴在初始位置与半球型锥齿轮节球的z20轴重合。冠轮从初始位置以速度V10移动，同时以角速度ω(1)顺时针转动φ1，则半球型锥齿轮分别以角速度ω(3)和ω(2)转动β和i∙φ1。

图3 冠轮与半球型锥齿轮运动模型

为了描述上述运动过程，建立辅助坐标系S1t(x1t,y1t,z1t)和S2t。固定系S20绕x20轴转动β至坐标系S2t，再绕z2t转动i∙φ1至坐标系S2t；坐标系S1t随同节圆平面移动，再绕z1t轴转动φ1至坐标系S1。各坐标系之间的变换矩阵为：

式中，M201为从坐标系S1到S20的变换矩阵，M220与之同理。

根据双参数包络原理，采用运动法推导冠轮与半球型锥齿轮的啮合方程[8]。在固定系S20下，冠轮齿面与半球型锥齿轮齿面接触点处相对速度为：

将式（3）、式（4）、式（6）和式（7）代入啮合方程中，用Mathematica符号计算软件得出：

因此，半球型锥齿轮的齿面方程为：

根据冠轮与半球型锥齿轮的共轭运动分析，冠轮作为产形齿条刀具以速度V10移动的同时，又以角速度ω(1)作切削运动，所加工的半球型锥齿轮分别以角速度ω(3)和ω(2)作进给运动。因此，加工机床需具有两条独立运动链，同时ω(3)是关于运动参数β的函数变量，导致运动链复杂且在一般机床上加工困难，甚至无法加工，可采用多轴数控机床进行加工。

4 半球型锥齿轮有限元分析

上述由冠轮作为产形齿条所包络出的半球型锥齿轮齿面大小由冠轮齿数与节球半径决定，选取冠轮的齿数为12，传动比i=1，压力角为20°。半球型锥齿轮的节球半径r=21。根据上述半球型锥齿轮齿面方程，采用Matlab编程仿真出半球型锥齿轮的完整齿廓如图4所示。

图4 半球型锥齿轮完整齿廓

将半球型锥齿轮齿面坐标数据保存在记事本中，并修改为后缀为*.ibl文件格式，导入至ProE中[9]。利用边界混合命令将曲线族分别形成左右手边轮齿表面，再通过相关曲面编辑将齿面合并实体化生成轮齿。最终得到三维实体模型，如图5所示。

图5 半球型锥齿轮副

将半球型锥齿轮副实体模型导入至ANSYS Workbench的瞬态动力学模块中，选择材料的弹性模量E=2×105MPa，泊松比μ=0.3。为了提高计算精度和效率，轮齿参与啮合部分网格划分密集，非啮合区域则较为稀疏[10]。根据轮齿实际接触情况设置为摩擦接触，摩擦系数设为0.1，并对齿轮副的主动轮和从动轮的回转轴分别施加大小为M=100 N∙m的力矩和2 rad/s的角速度，其中在相交轴交角分别为20°和60°下的应力云图如图6-图7所示。

图6 ϑ=20°时半球型锥齿轮应力图

图7 ϑ=60°时半球型锥齿轮应力图

在各个相交轴夹角下，最大齿面接触应力与齿根弯曲应力仿真结果如表1所示。

表1 齿面接触应力与齿根弯曲应力

根据齿轮应力仿真结果图分析可知，半球型锥齿轮副为点接触。当相交轴夹角逐渐增大时，由于接触点向齿顶移动和端面齿廓模数减少，最大接触应力与齿根弯曲应力逐渐增大。当轴交角为160°时，由于轮齿厚度过小，接触应力和弯曲应力发生突变。

5 结论

（1）根据对半球型锥齿轮副的传动原理分析，将冠轮作为产形齿条，推导出半球型锥齿轮齿面方程，并利用Matlab和Pro/E建立齿轮实体模型，验证了齿面方程正确性。

（2）半球型锥齿轮副为点接触。当相交轴夹角增大时，由于接触点向齿顶移动和端面齿廓模数减少，轮齿接触应力与齿根弯曲应力增大。当轴夹角接近180°时，应力发生突变。