基于P型法的中间支承运动纸带横向振动特性研究

应戍狄， 王 砚， 武吉梅, ， 武秋敏

(1. 西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安 710048； 2. 西安理工大学 土木建筑工程学院，西安 710048；3. 西安理工大学 印刷包装与数字媒体学院,西安 710048)

随着印品的日益丰富，具有一定厚度和抗弯刚度的薄型材料(PET、PVC、纸板等)在印刷包装中被应用。此类材料在印刷中的振动特性对印品质量有重要的影响。而印刷机械的滚筒对此类材料的力学作用又尤为突出。因此研究滚筒对运动纸带的影响，对控制纸带弯曲形变所致的承印物漂移，褶皱等问题，提高印品套印精度具有十分重要意义。

近年来，国内外学者对轴向运动的梁、弦线、板壳做了许多研究，已取得较大成果，然鲜见对中间支承运动纸带的研究。Wu等[1-2]采用微分求积法和D’alembert原理研究了多点弹性支承下的矩形运动纸带振动稳定性问题。Banichuk等[3]用解析法研究了两辊间匀速运动卷筒纸带的动力学与稳定性问题。武吉梅等[4]采用无网格法研究了运动纸板的稳定性问题，求得了运动的稳定区间。邵明月等[5]利用龙格库塔法研究了随从力作用下运动薄膜非线性强迫振动特性，得出了运动薄膜的稳定工作域。Nguyen等[6]研究了空间变化的张力和运动纸带时变传输速度之间的关联性，用李雅普诺夫方法推导了运动纸带模型的转矩控制律。王砚等[7]研究了线性变厚度黏弹性矩形板在随从力作用下的动力学稳定性。Alidoost等[8]利用欧拉-伯努利梁理论和叠层理论，推导了分层梁的运动方程，并对颤振、屈曲和自由振动进行了分析，为薄板振动模型分析拓展了方法。Yang等[9]采用改进高阶基，研制了微分求积有限元。并结合膨胀逐层理论对弯曲复合材料的壳单元振动进行分析。Liu等[10]应用微分求积法研究了mindlin板的自由振动问题。Wu等[11]构造了新型C1单元法分析了薄板的自由振动问题，取得了很高精度。以上研究少见将新有限元法应用于纸带振动分析中。

论文应用新型P型高阶微分求积升阶谱法对中间支承运动纸带(力学模型为对边简支对边自由下中间刚性简支)进行研究，分析纸带无量纲复频率和速度关系，得到中间刚性简支对纸带的振动稳定性影响。

1 运动纸带能量变分式建立

图1为PRC250凹版印刷机力学简化模型，当运动纸带通过印版滚筒与色组压印滚筒之间的间隙时，可实现多色套印。

图1 运动纸带力学模型

基于能量法[12]得薄板几何式

(1)

应力-位移式

(2)

根据北人PRC250印刷机参数，整理得运动纸带弯曲应变能

(3)

总动能

(4)

引入无量纲

(5)

将式(5)代入式(3)～式(4)中得

(6)

2 C1单元构造横向位移函数

论文构造单元边界用非均hermite基，内部用阶谱面场的位移函数。不仅解决了边界施加和组装问题而且随阶次增加还克服了数值动荡。

2.1 一维赫米特基

在[-1,1]上的C1赫米特函数

g(x)=P0(x)·g-1(-1)+Pn+1(x)·g-1(1)+

(7)

式中：xk为插函数节点；P0，P1，Pn，Pn+1分别为-1，1节点处插函数偏导值。

(8)

将式(8)代入式(7)中得边界赫米特函数，但函数节点数过多时，会出现龙格现象，为提高精度对PK(x)求极值。论文取4、7两种Gauss-Jacobi极值点进行说明结果图2。

图2 赫米特基

计算结果，论文的边界函数具有插值特性，并且插值函数在插值点取最值1，其余点误差不超±0.2，同时插值点正交，综上知构造的赫米特函数有强数值稳定性。

2.2 混合形函数建立

在自然坐标系下建立的混合形函数，通过等参变换生成物理平面形函数。图3所示每个角点6自由度分别为w，wε，wη，wε2，wη2，wεη；各边2自由度wn，w。以图3中的角点4和面内场函数为为例说明构造过程。

图3 Gauss-Jacobi点超限映射

论文用C1单元，故构造需满足C1要求，这里用勒让德积分法进行构造，二维P型高阶微分求积升阶谱法，可由两个一维勒让德积分相乘得，形式如

(9)

式中：m，n分别为φn+1(ε);φm+1(η)为勒让德多项式阶次。

仅构造场函数精度欠高，需增加其余挠度函数，图3中的角点4形函数在[-1,1]上的C2赫米特式

(10)

将投射算子P[·]进行混合函数运算得

(11)

将式(11)、式(9)进行整理，得角点4和面函数形函数

(12)

由图4可知，角点4有六自由度，面内场函数满足罗德利克张量积且C1连续。也可知角点处挠度最大，偏导形函数对挠度影响小，面内阶谱函数在边界处值和导数为零。综上得构造的形函数代表了各节点的物理意义。且内部函数有serendipity形函数特性。

图4 挠度函数

3 复特征方程解

用上文构造的横向挠度形函数，和Guass-lobato法对中间支承运动纸带无量纲能量泛函进行离散，挠度形函数为

(13)

将式(13)代入式(6)中离散。得中间支承运动纸带无量纲横向振动方程

M·(τ)+C·(τ)+K·(τ)=0

(14)

|[K]+[C]·ω·j-ω2·[M]|=0

(15)

式(15)所求ω为中间支承运动纸带无量纲频率。

4 计算与Hypermesh有限元比较

应用新型P型高阶微分求积升阶谱法，对一对边简支对边自由边界下，有中间支承的运动纸带进行分析比较。

4.1 FSFS边界下有中间支承的运动纸带

以北人PRC250印刷机纸带为研究对象，研究中间简支下运动纸带横向弯曲规律。据该型印刷设备色辊与中间支承辊间距离设置比2/3要求，且按烟包纸规格，将色辊与中间支承辊的位置分别设为a=1.5 m，c=1 m，它等效于对边简支对边自由下，中间有刚性简支支承的情况，该型印刷机纸带基本参数如表1所示。

表1 PRC250凹版印刷机纸带基本参数

图5和图6为中间支承下，纸带前三阶无量纲固有频率虚部与实部随速度变化规律。

图5 前三阶无量纲固有频率虚部随无量纲速度变化曲线

图6 前三阶无量纲固有频率实部随速度变化曲线

由图5和图6知，当λ=0时，一阶、二阶、三阶无量纲复频率实部Re(ω)为Re(ω3)>Re(ω2)>Re(ω1)>0，虚部Im(ω)都为零。随无量纲速度的增加，前三阶无量纲复频率实部Re(ω)都呈现出持续衰减趋势，而虚部Im(ω)保持在零状态，到λ=5.78时，一阶无量纲量复频率实部先出现Re(ω1)=0，虚部Im(ω1)正负坐标轴对称分叉，且二、三阶无量纲复频率实部Re(ω)仍处在Re(ω3)>Re(ω2)>0，虚部Im(ω2)=Im(ω3)=0，说明运动纸带在λ=5.78处会出现第一次发散失稳。当速度增至λ=8.3，一阶复频率Re(ω1)>0，Im(ω1)=0,二阶复频率临界失稳，三阶复频率实部仍为正，虚部为零。当λ=9.43时，二阶、三阶无量纲复频率模态耦合，虚部Im(ω)沿坐标轴对称。此刻运动纸带出现耦合颤振。综上，无量纲速度在[0,5.78]内，中间支承运动纸带是稳定的。

同时，得纸带长a=1.5 m，宽b=0.82 m，中间支承位置c=1 m的前六阶振型，如图7所示。

由Hypermesh有限元计算结果与论文的振型对比，新型P型高阶微分求积升阶谱法对求解中间支承运动纸带动力学特性，比有限元软件有更良好的数值稳定性、平滑性和收敛性。

4.2 PRC250印刷机纸带特性分析

对已知式(5)进行反函数变换，得纸带实际速度与无量纲速度间关系

(16)

按生产工况，对PRC250印刷机纸带分析。表2为运动纸带速度与复频率基本关系。

当中间支承运动纸带无量纲速度为0时，表2解得无量纲固有频率经式(5)转换与hypermesh解一致，证明论文解是有效和可靠的。北人PRC250印刷机的纸带为横跨导辊模式，因印刷需要，会在导辊间套一组色印。其力学模型就是论文中计算的对边简支对边自由约束下，有中间刚性简支的情况。将一阶无量纲失稳临界速度代入式(16)中可求得运动纸带失稳实际速度vp=39.378 5 m/s，在此速度前，运动纸带保持稳定。

图7 纸带前六阶振型和Hypermesh模态比较

表2 PRC250印刷机纸带速度与复频率基本关系

5 结 论

论文提出用新型P型高阶微分求积升阶谱研究，有一定抗弯刚度且对边简支对边自由下，中间支承的运动纸带横向振动特性。为北人PRC250印刷机的结构优化，提供了重要的理论依据。得到以下结论：

(1)利用新型P型高阶微分求积升阶谱的C1单元混合插值，生成了正交张量积形函数，并对特征方程进行了求解。得出了中间简支支承对运动纸带横向振动的影响。同时得到了运动纸带无量纲前三阶复频率与速度关系曲线。计算结果表明，对边简支对边自由的中间支承运动纸带复频率随中间支承的设置而增大，随速度的增大，纸带的稳定状态区变小。

(2)经Hypermesh有限元与论文的解对比，证明了新型P型高阶微分求积升阶谱法对求解中间支承运动纸带动力学特性，比有限元软件具有更良好的数值稳定性、平滑性和收敛性。

(3)获得了PRC250印刷机纸带运动的临界速度39.378 5 m/s，该结论为设备结构优化，提供了重要的理论依据。