Tavis-Cummings模型的几何相位特性研究

舒鹏丽，高 平，王燕锋

(吕梁学院 物理系，山西 离石 033001)

0 引言

1984年，M.V.Berry[1]在研究绝热循环系统的含时哈密顿量时，发现了一个不同于动力学相位的额外相因子，称之为绝热几何相位[2]。Berry指出在绝热近似条件下，体系的瞬时本征态经周期循环演化，得到的几何相位不依赖于体系的动力学性质[3]，而是与具体演化路径的几何结构有关，是不可积的相位因子，随后，实验上[4,5]也证实了该几何相位的存在。自从Berry提出几何相位的概念以来，几何相位的研究引起了很多研究者的关注，得到了一系列的发展[6,7,8]，并广泛应用各种量子体系，如单个二能级原子与单模光场的相互作用系统(Jaynes-Cummings模型[9,10])、两二能级原子与单模光场相互作用系统(Tavis-Cummings模型[9,11])等量子系统。

本文选取Tavis-Cummings模型为研究对象，在体系的某一瞬时绝热本征态下计算几何相位，得到几何相位随系统参数的演化关系，这为利用几何相位实现量子逻辑门[12]容错操作提供一定的理论基础。

1 物理模型

Tavis-Cummings模型中两原子间存在偶极相互作用的系统哈密顿量可表示为:

(1)

(2)

(3)

为研究方便，将(1)式转化到相互作用绘景中，则T-C模型的哈密顿量表示为：

(4)

以希尔伯特空间中的|e1,e2,n〉，|e1,g2,n+1〉，|e2,g1,n+1〉和|g1,g2,n+2〉作为基矢，考虑系统共振情况，即ω≈ω0,(4)式可写为矩阵形式：

(5)

根据(5)式，可求得四个非简并的本征能量Ej和其相应的本征态|φj〉(j=1,2,3,4)，将每个绝热瞬时本征态以希尔伯特空间的基矢展开：

|φj〉=cj1|e1,e2,n〉+cj2|e1,g2,n+1〉+cj3|g1,e2,n+1〉+cj4|g1,g2,n+2〉

(6)

其中|cj1|2+|cj2|2+|cj3|2+|cj4|2=1.

为计算几何相位，绝热瞬时本征态(6)变换到薛定谔绘景中，引入时间演化算符：

U(t)=U(φ)=exp[-iφ(t)a+a]，

(7)

其中φ(t)周期性变化，变化范围为[0,2π]得到：

|φj(t)〉=U(t)|φj〉=U(φ)|φj〉，

(8)

系统的几何相位计算式[13]为：

(9)

将(7)、(8)代入(9)式得到：

γj=2π[n|cj1|2+(n+1)(|cj2|2+|cj3|2)+(n+2)|cj4|2].

(10)

2 数值模拟

2.1 几何相位与原子与光场间相互作用的演化

图1 几何相位随原子与光场间相互作用的演化

从图1(a)可以看出，当偶极间耦合系数Ω比较小时，几何相位γ2随原子与光场间的相互作用强度g从零迅速变为0.5π，随后保持该值不变，当Ω比较大时，γ2随g逐渐增大，在给定g下，随着Ω的增大，γ2的值减小，即γ2的增长曲线越来越平缓，但最终都趋于一稳定值0.5π。可以判断当系统光子数为n=0，偶极间的作用Ω可以忽略时，γ2几乎不受g变化的影响，保持稳定值0.5π。当Ω不可以忽略时，其取值可减缓γ2随g变化的增速，并随Ω取值的增大，对γ2的减缓效果越明显，但γ2仍随g的增大而增大，且趋于稳定值0.5π。

取光子数n=6，偶极间耦合系数取值Ω=0.01,0.1,1,5,10时，研究γ2随原子与光场间相互作用强度g的演化。如图1(b)，两者间的演化关系与图1(a)相似，两图的不同点在于，当光子数n=6时，γ2最终趋于的稳定值为0.826π，说明几何相位的取值不仅取决于原子与光场间的相互作用，还取决于光子数的大小，光子数越多，几何相位越大。

2.2 几何相位与偶极-偶极间耦合系数的演化

图2 几何相位与偶极-偶极间耦合系数的演化

令原子与光场间相互作用系数取值g=0.01,0.1,1,5,10，光子数n=0，讨论γ2随偶极-偶极间耦合系数的演化关系。图2中，当g比较小时，γ2随Ω从0.5π迅速降为零，并维持零相位不变，当g较大时，γ2随Ω从0.5π逐渐减小，在给定Ω下，随着g的增大，γ2的值增大，即γ2的下降曲线越来越平缓，最终趋于零相位，表明几何相位随偶极间耦合系数呈下降趋势，但原子与光场间的相互作用可减缓该下降趋势。取光子数n=6，几何相位γ2随Ω从0.826π下降并趋于零相位。经对比，当光子数取值相同时，几何相位随原子与光场相互作用增长的起点(终点)和几何相位随偶极间耦合系数下降的终点(起点)相同，这直接表明了几何相位与光子数的取值相关。下面来研究几何相位与光子数的变化关系。

2.3 几何相位与系统光子数的演化

图3(a)中Ω/g取值分别为10,100,500,1 000，观察到几何相位γ2随光子数n从零开始增大，当n达到107数量级时，γ2趋于π。另外，在不同的Ω/g取值下，γ2的增长速度随Ω/g的增大逐渐放缓，即在给定n下，Ω/g值越大，γ2越小，但最终随着n增加趋于一稳定值π。从前面讨论已知，γ2随Ω的增大而减少，说明γ2随n的增长速度明显大于随Ω的减少速度，从而整体表现为增长趋势。

图3 几何相位与系统光子数的演化

图3(b)中g/Ω的取值分别为10,20,50,100,200,此时几何相位γ2随光子数从0.5π开始增大，当光子数的数量级在102时，γ2就趋于π，随着g/Ω变大，几何相位的变化曲线间的差别越来越小，g/Ω越大，曲线越趋于重合。可以推断，g≫Ω，即Ω可忽略时，γ2的取值主要由n决定，受g变化的影响较小，该结论正好与图1吻合。

3 结论

从上面的讨论可以推出，几何相位随原子-光场间相互作用的增大而增大，随偶极-偶极间耦合系数的增大而减少，随光子数的增大而增大，但都不是无限地增大或减少，几何相位最终都趋于一稳定值，该稳定值由光子数的取值而确定，当光子数为0时，几何相位稳定值为0.5π，光子数比较大时，稳定值为π，几何相位稳定值变化范围γ2∈[0.5π,π]，表明几何相位随不含时参数的演化，与原相位相差模为1的因子。

同样可选取本征能量E3对应的本征态作为绝热本征态计算几何相位，得到几何相位随偶极间的耦合系数的增大而增大，随原子-光场间相互作用系数的增大而减少，随光子数的增大而增大，总体来讲，这几个参数的相互博弈影响几何相位的取值。当选取E1和E4对应的本征态时，几何相位仅与光子数有关，呈线性增长关系，可见在同一哈密顿量下选取不同的绝热本征态，可得到几何相位不同的演化情况，这为实现不同的量子逻辑门操纵提供了可能。