一个捕食者两个食饵的随机时滞种群模型的最优获取

兰瑞平，李香林

(吕梁学院 数学系，山西 离石 033001)

0 引言

在自然界中，捕食者以相互竞争的食饵为食是普遍存在的现象，如狮子同时以斑马和非洲牛羚为食，所以种群的数量，与捕食者和食饵的数量息息相关.另一方面，它也受随机波动的环境的影响，且应考虑时滞的作用.文献 [1] 中建立了描述这类种群系统的模型，作者证明了该模型是全局吸引和依分布稳定的.本文在文献 [1] 中模型的基础上考虑最优获取问题，建立了下面的模型.

(1)

初始值为:

其中，X1(t),X2(t)分别表示食饵种群1和食饵种群2的数量，X3(t)表示捕食者种群的数量.b1,b2分别表示食饵种群1和食饵种群2的出生率，b3表示捕食者种群的出生率.cii,i=1,2,3表示三个种群各自的种内竞争率，c12,c21表示种群X1(t),X2(t)的种间竞争率，c13,c23表示X3(t)对X1(t),X2(t)的捕获率，c31,c32表示种群X1(t),X2(t)对种群X3(t)的转化率.以上的所有系数均为正常数.

对于种群系统 (1)，定义期望可持续获取为[2]

1 基本假设和引理

为了使用方便，引入下面的记号.

Cij表示行列式C中的元素cij余子式，i,j=1,2,3.在陈述主要定理之前，先给出一些假设.

假设1C>0,Ci>0,i=1,2,3，这表明在没有随机干扰和对系统的获取的条件下，模型 (1) 中的三个种群是可以共生的.

假设3c11>c12+c13，c22>c21+c23，c33>c31+c32.

下面给出证明定理的过程中需要用到的一些引理.

(2)

引理1和引理2 的证明与文献 [1] 中定理2和定理4的证明类似，此处不再赘述.

注2G-1+(G-1)T是正定矩阵.证略.

2 主要定理及证明

定理对于模型 (1)，记

A=(λ1,λ2,λ3)T=[G(G-1)T+I]-1L．

在假设1，2，3下，有

(Ⅱ)如果 (Ⅰ) 中的条件不满足，则最优获取策略不存在.

先证 (Ⅰ).显然,A∈Q，则Q是非空的.

已知

令ρ(x) 表示模型 (1) 的稳态密度函数，有：

(3)

由引理2，μ(.)是不变测度.由 [3] 中的推论3.4.3知，μ(.) 是强混合的，又由 [3] 中的定理3.2.6知，μ(.)是遍历的.因此有：

(4)

注意到，模型 (1) 的不变测度是唯一的，由不变测度与ρ(x)的一 一对应关系有：

(5)

由 (3)、(4)、(5) 可得：

(6)

由引理1可知，若获取效应H∈Q，则 (2) 式成立，从而有：

(7)

由 (6)、(7) 得,

Y(H)=HTG-1(L-H)．

为了得到H*，求解下面的方程，

=G-1L-[G-1+(G-1)T]H．

(8)

得H=A=[G(G-1)T+I]-1L.又

由注2可知，-(G-1+(G-1)T)是负定的. 因此，A=[G(G-1)T+I]-1L是Y(H)的唯一极值点，则最优获取效应为H*=A，期望可持续获取的最大值为:

Y(H*)=(H*)TG-1(L-H*)．

且当H=A时，ri>0,i=1,2,3,与 (Ⅱ) 的条件矛盾.定理得证.