考虑扰动及模型不确定的无人船路径跟踪控制
2021-04-25栾天宇张玉峰张成伟许萌萌田甜
栾天宇 张玉峰 张成伟 许萌萌 田甜
摘要：针对外界扰动与模型不确定因素影响下的无人船路径跟踪控制问题，引入Serret-Frenet坐标系对无人船的路径跟踪问题进行数学描述，根据给定的期望跟踪路线与当前无人船的位置信息，利用李雅普诺夫直接法设计无人船航行速度与航向角度的期望值作为路径跟踪的虚拟控制律，通过设计滑模控制器实现对虚拟控制量的误差跟踪控制，通过设计切换函数避免无人船的控制量出现饱和或抖振现象，进而降低模型不确定及干扰对路径跟踪控制的影响。仿真实验表明，设计的控制器可在外界时变扰动与模型不确定的前提下完成对给定路线的理想跟踪。
关键词：无人船;路径跟踪;滑模控制;虚拟控制律;李雅普诺夫直接法
中图分类号：TP273 文献标识码：A
文章编号：1009-3044（2021）09-0223-04
开放科学（资源服务）标识码（OSID）：
Path Following Control of USV Considering Disturbance and Model Uncertainty
LUAN Tian-yu， ZHANG Yu-feng， ZHANG Cheng-wei， XU Meng-meng， TIAN Tian
（Systems Engineering Research Institute， China State Shipbuilding Corporation Limited， Beijing 100036， China）
Abstract： Aiming at the problem of path following control of USV under the influence of external disturbance and model uncertainty， Serret-Frenet coordinate system is introduced to describe the path tracking problem of USV. According to the given expected tracking route and current position information of USV， the expected value of speed and heading angle of unmanned ship is designed by Lyapunov direct method as the virtual path tracking The pseudo control law realizes the error tracking control of the virtual control variables by designing the sliding mode controller. The switching function is designed to avoid the saturation or chattering of the control variables of the unmanned ship， so as to reduce the influence of model uncertainty and disturbance on the path tracking control. The simulation results show that the designed controller can complete the ideal tracking of a given route under the premise of external time-varying disturbance and model uncertainty.
Key words： USV; path following; sliding mode control; The pseudo control law; Lyapunov direct method
无人船（USV）运动控制技术是实现无人船智能、可靠运行的关键技术，要想使无人船可以按照既定的航线稳定、可靠地运行，就必须在运动控制技术上有所突破[1]。其中路径跟踪控制是无人船运动控制领域最为广泛的应用。通过设计合适的控制算法，在运行过程中对无人船的航速、航向进行控制，可使无人船沿着规划好的航线稳定航行。但在实际运行的过程中，无人船会受到风、浪、洋流等外部扰动的影响，而这些扰动的不确定性将导致无人船运动的非线性、时滞性以及大惯性;与此同时，无人船搭载的设备多少、无人船的实时航速会引起无人船运动过程中的参数摄动，参数的摄动使无人船的运动模型具有较大的不确定性[2];在外部的扰动以及模型的不确定性的影响下，无人船运动控制的鲁棒性会受到较大的影响。因此，在考虑扰动以及参数不确定情况下，对无人船的路径跟踪控制算法开展设计与研究是实现无人船智能化、高可靠性的关键，具有十分重要的工程意义。
实现路径跟踪最常用的控制方法是基于视距（LOS，Line of Sight）的PID控制方法[3]，但该方法只能实现对偏航距和航向的大致整定，在无人船实际运行过程中所存在的不确定参数摄动以及外界干扰使该方法的作用下的實际路径与预定路径相比仍存在着较大误差。随着控制科学的不断发展，越来越多的控制方法被应用于无人船的路径跟踪问题上来。吴玉平[4]等人利用无人船与已知路径的偏航距离以及无人船与航点连线的偏差值来确定无人船的实时运行状态，并针对直流电机驱动下的带有双螺旋桨的水面无人艇提出了一种基于模糊控制的直线路径跟踪方法，验证了该方法的有效性，但模糊控制在实际系统中较难进行应用。Ronghui LI[5]等人考虑到了欠驱动船舶的执行机构限制以及未知扰动，将滑模控制方法（SMC）与ADRC方法进行结合，实现了对路径跟踪过程中的因风浪造成的偏航距误差的消除，设计出了具有较强鲁棒性的路径跟踪控制器，但ARDC的参数较难进行整定，因此在工程实现中较为困难。
为此本文通过引入Serret-Frenet坐标系对无人船的路径跟踪问题进行数学描述，根据给定的期望跟踪路线与当前无人船的位置信息，利用李雅普诺夫直接法设计无人船航行速度与航向角度的期望值，作为路径跟踪的虚拟控制律，充分考虑外界扰动与模型参数的不确定性，通过设计滑模控制器实现对虚拟控制量的跟踪控制，避免无人船的控制量出现饱和或抖振现象，进而降低模型不确定及干扰对路径跟踪控制的影响。
1无人船路径跟踪控制数学模型
1.1无人船运动控制模型
考虑如下3自由度无人船运动控制模型[6]：
[η=R（η）vMv+C（v）v+D（v）v=τ+τd] （1）
其中：
[M=m-Xu000m-Yν000Izz-Nr=m11000m22000m33D=-Xu000Yν000Nr=-d11000d22000d33C（ν）=00-mv+Yvv00mu-Xuumv-Yvv-mu+Xuu0=00-m22v00m11um22-m11u0]（2）
无人船的3自由度由[η=x，y，ψ]、[v=u，v，r]描述，其中[η]表示无人船在水平面内的坐标位置及艏摇角。[v]表示无人船的纵向速度、横向速度以及角速度。在3自由度的无人船控制中，[τ=τu0τrT]表示无人船的纵向推进力与偏航力矩，由推进器与舵来控制无人船的位置及艏摇角，因此，无人船的3自由度平面运动数学模型是一种典型的欠驱动控制模型。
1.2平面曲线的S-F坐标系
考虑章节1.1中提出的无人船3自由度平面运动数学模型，如图1所示，给定一条曲线C作为无人船运行的期望路径，且C可由路径参数[θ=f（t）]唯一确定，[Ob]为无人船船体坐标系的原点，[Qd]为路径C上的位置跟踪参考位置点，以[Qd]点为原点，以[Qd]点下参考路径的切向量和法向量为坐标轴建立Serret-Frenet坐标系[XsfQdYsf]，记为{SF}坐标系。设路径参考点[Qd]沿参考路径运动的速度为[Uq]，{SF}坐标系的[xsf]轴与大地坐标系[x]轴的夹角为[ψsf]。则{SF}坐标系下的参考路径可被描述为：[Qd（θ）=xd（θ），yd（θ）T]，其中[θ]为期望路径的路径参数。则根据图2有：
[Qd=xdyd=Rq（ψsf）Usf0] （3）
式中，
[Rq（ψsf）=cosψsf-sinψsfsinψsfcosψsf] （4）
为转换矩阵，可将大地坐标系{E}下的期望路径点速度[Uq]转换至{SF}坐标系下的速度，[ψsf=arctan（y′d（θ）/x′d（θ））]为点[Qd]处的期望路径C的切向量与大地坐标系[x]轴的夹角，向量[Uq0T]为期望路径点在{SF}坐标系下的运动速度。
注1：[x′d（θ）]、[y′d（θ）]表示期望路徑的坐标对路径参数[θ]的一阶导数;[xd]、[yd]表示期望路径的坐标对时间t的一阶导数。
1.3无人船平面路径跟踪控制数学模型
考虑章节1.1所建立的无人船欠驱动3自由度平面运动数学模型，由于无人船存在一定的侧向速度，因此此时的艏摇角与航迹角之间存在一个夹角[β=arctan（v/u）]。
设无人船的艏摇角为[ψ]，在实际运行过程中，无人船的横向速度远远小于无人船的纵向速度，因此可近似忽略无人船的横向速度，此时，无人船艏摇角与航迹角重合。假设某一时刻无人船位于大地坐标系下的点[Q]，无人船在大地坐标系下的运动满足以下公式：
[Q=xy=R（ψ）u0] （5）
其中，[R（ψ）=cosψ-sinψsinψcosψ]为大地坐标系到船体坐标系{B}的转换矩阵，向量[[u0]T]为无人船在{B}坐标系下的速度。
则此时，在{SF}坐标系下，无人船的航向角误差可以描述为：[ψr=ψ-ψsf]。位置误差可描述为：
[σ=[e1e2]T=RqT（ψsf）（Q-Qd（θ））] （6）
其中，[e1]为{SF}坐标系中沿[Qd（θ）]切线方向的位置误差，[e2]为{SF}坐标系中沿[Qd（θ）]切线垂直方向的位置误差，即偏航距。
由于[RqT（ψsf）=Rq（ψsf）=1]，因此对上式两端同时取范数可以得到下式：[Q-Qd（θ）→0?σ→0?e1e2→0]，由此可知，通过控制误差[e1]、[e2]可以实现无人船运动位置点[Q]对期望路径点[Qd]的跟踪，进而，可将控制目标转化为：通过将{SF}坐标系下的横纵方向的位置误差收敛至零，使无人船从当前位置跟踪到期望路径点，从而使无人船与期望路径的位置误差收敛至零。
2考虑扰动、模型不确定下的无人船路径跟踪控制
2.1无人船路径跟踪虚拟控制律设计
对于章节1.3描述的Serret-Frenet坐标系下的路径跟踪问题，可将跟踪位置误差定义为：
[σ=[e1e2]T=RqT（ψsf）（Q-Qd（θ））] （7）
如图2所示，其中[e1]、[e2]分别代表{SF}坐标系下的横纵位置误差，[RqT（ψsf）]为大地坐标系到{SF}坐标系的转换矩阵，[Q]描述了无人船的当前时刻位置，[Qd（θ）]描述了由参数[θ]确定的期望路径。忽略无人船运动的横向速度影响，令[ψd]表示经过设计后无人船的期望航向，[ud]表示经过设计后无人船的期望速度。
取李亚普诺夫函数：
[V=12σTσ] （8）
对李亚普诺夫函数求导有：
[V=σTσ=σT（RTq（ψsf）（Q-Qd（θ））+RTq（ψsf）（Q-Qd（θ）））]（9）
进一步可将原式转化为：
[V=σTσ=σT（Rq（ψd-ψsf）ud0-usf0）=e1（udcos（ψd-ψsf）-usf）+e2udsin（ψd-ψsf）]（10）
因此，可根据李亚普诺夫第一方法，通过设计虚拟控制，使[σ→0]，且系统为一致全局渐进稳定。为使误差[e1]收敛至零，设计{SF}坐标系下的虚拟速度控制[usf=udcos（ψd-ψsf）+ke1e1]，其中[ke1]>0为待设计参数。由于{SF}坐标系中的路径点的切向速度可表示为：[usf=θx2（θ）+y2（θ）]，因此，当路径参数[θ]以下式方式进行更新时，可以使误差[e1]收敛至零。
[θ=udcos（ψd-ψsf）+ke1e1x′d（θ）+y′d（θ）] （11）
将式[usf=udcos（ψd-ψsf）+ke1e1]代入式中，可得：
[V=-ke1e12+e2udsin（ψd-ψsf）] （12）
为进一步对横向误差（即偏航距误差）[e2]进行收敛，将虚拟控制[ud]、[ψd]进行如下设计：
[ud=kue22+Δ2ψd=ψr+ψsf=arctan（-e2/Δ）+arctan（y′d（θ）/x′d（θ））] （13）
其中，[ψr=arctan（-e2/Δ）]为设计后的无人船期望航向与当前{SF}路径点的速度角[ψsf]的差值，[Δ]>0表示无人船在航行过程中在期望路径点切线方向的可视距离，是需要设计的参数。将上式代入式（10）中可得：
[V=-ke1e12+e2udsin（ψr）] （14）
当[ψr→0]時，[ψr=arctan（-e2/Δ）=arcsin（-e2/e22+Δ2）]，因此上式化为：
[V=-ke1e12-kue22] （15）
因此，在路径参数[θ]以式所述的自适应律进行更新的情况下，当按照式对无人船的速度和期望运行角度进行设计时，可以在有限时间内使{SF}坐标系下的横纵距离误差收敛至零并达到渐进稳定状态，从而使无人船跟随期望路径进行运动。
2.2无人船路径跟踪滑模控制器设计
根据上一章节所述，当设计的虚拟控制律满足式（13）时，可以将无人船路径跟踪控制问题转化为：通过输入系统控制变量[τ=τu0τr]，使无人船的纵向速度[u]与艏摇角[ψ]分别满足[u→ud，ψ→ψd]。可以使速度与期望速度误差以及航向角与期望航向角误差收敛至零，即可以完成无人船的路径跟踪控制。
（1）纵向速度滑模控制器
定义纵向速度误差变量[ue=u-ud]。其中[ud]为章节3.1中所设计的纵向速度控制律，控制目标为通过设计滑模控制器使无人船的速度跟踪上期望的控制律速度[ud]。
选取滑模面
[S1=ue+ω1ue（τ）dτ] （16）
对滑模面求导，令[S1]=0可得对纵向速度的等效控制量为：
[τueq=m11（ud-ω1ue）-m22vr+d11u] （17）
考虑无人船的模型参数存在摄动，在参数摄动的情况下，将纵向速度的期望控制量改写为下式：[τueq=m11（ud-ω1ue）-m22vr+d11u]。其中，[mii，dii]為参数[mii，dii]的估计值，且满足[mii-mii≤Mii，dii-dii≤Dii，i=1，2，3]，其中[Mii，Dii]为参数估计值的上界。
选取切换控制律：[τuswit=-αusgn（S1）]，其中[αu]为切换控制律参数。
则最终的纵向速度控制量为：
[τu=τueq+τuswit] （18）
选取李亚普诺夫函数，
[][Vu=12m11S12] （19）
对其求导可得：
[Vu=m11S1S12=S1（ω1m11ue+τu+m22vr-d11u-m11ud+τwu）=S1αu-αuS1]（20）
当纵向速度控制器切换律参数[αu]进行如下取值时：
[αu=ω1M11ue+M22vr+D11u+M11ue+γ1+τwumax]（21）
其中，[γ1]>0。从而有[Vu≤-γ1S1]，因此设计的动态滑模面具有可达性，且速度误差变量是渐进稳定的。
（2）转矩滑模控制器
令艏摇角方向误差[ψe=ψ-ψd]，其中[ψd]为章节中所设计的艏摇角虚拟控制律，控制指标为设计具有可达性的动态滑模面，使无人船艏摇角误差沿动态滑模面收敛至零点附近，且达到渐进稳定状态。
定义艏摇角滑模面
[S2=ω2ψe+ψe+ηψe（τ）dτ，ω2>0，η>0] （22）
对上述艏摇角滑模面求导，令[S2=0]可得到艏摇角的等效控制律为：：
[τreq=-（m11-m22）uv+（d33-ω2m33）r+ω2m33ψd+m33ψd+ηm33ψd] （23）
选取切换控制律：[τrswit=-αrsgn（S2）]，其中[αr]为切换控制律参数。
则最终的纵向速度控制量为：
[τr=τreq+τrswit] （24）
选取李亚普诺夫函数，
[][Vr=12m33S22] （25）
对其求导可得：
[Vr=m33S2S22=S2（（m11-m22）uv+τu-d33r-m33ψd+ω2m33r-ω2m33ψd-ηm33ψd+τwr）=S2αr-αrS2] （26）
当纵向速度控制器切换律参数[αr]进行如下取值时：
[αr=（M11+M22）ur+（D33+ω2M33）r+M33ψd+ω2M33ψd+ηM33ψd+γ2+τwrmax] （27）
其中，[γ2]>0。则有[Vr≤-γ2S2]。因此，所设计的动态滑模面具有可达性，且艏摇角度误差可沿动态滑模面收敛至零，且具有渐进稳定性。
在实际工程中，由于所选取的切换控制律[τuswit=-αusgn（S1）]、[τrswit=-αrsgn（S2）]不连续，所以会导致系统出现抖振现象。为避免抖振现象的出现，应避免切换函数的不连续性，因此将切换控制律重新进行设计：
[sat（si/εi）=si/εi，siεi≤1sgn（si），siεi>1，i=1，2] （28）
则更新后的切换控制律为：[τuswit=-αusat（S1）]、[τrswit=-αrsat（S2）]。由上式确定的切换控制律可以有效降低系统抖振现象。
3仿真验证
本节将对基于滑模控制的无人船路径跟踪问题进行仿真。采用文献[7]中所述的船舶运动数学模型进行仿真研究，该船长为38[m]，质量为[118×103kg]，该无人船的参数为：
[m11=120×103kg，m22=177.9×103kg，m33=636×105kgd11=215×102kg/s，d22=147×103kg/s，d33=802×104kg/s]
设外界的风浪干扰作用下的力与力矩为：
[τwu=τwr=10000（sin（0.1t）+cos（0.1t+π4）+sin（0.1t+π6））τwv=5000（sin（0.1t）+cos（0.1t+π4）+sin（0.1t+π6））]
[Mii，Dii]取[mii，dii]估計参数[mii，dii]的3%;令参考轨迹为：[xd=200sin（θ/100），yd=θ]。
无人船的初始值为：
[x（0），y（0），ψ（0），u（0），v（0），r（0）=20，0，0，5，0，0]
滑模控制器的参数取值为：
[Δ=30，ω1= 1，ω2=1，η=0.001，γ1=105，γ2=105，ku=0.2，ke1=0.01]
可得到无人船运行的仿真轨迹以及误差、速度、控制量的仿真曲线如图3～图6所示。
通过对图4分析可知，在对正弦路径进行跟踪时，无人船路径跟踪过程中的位置误差在3s内收敛至0，在描述的控制输入下，无人船的速度以及角度可在3s内达到所设定的虚拟控制速度以及角度，仿真实验结果证明在风浪干扰及参数不确定性的影响下，所设计的滑模控制器对于无人船的曲线轨迹跟踪具有良好的控制效果。
4总结
本文主要针对考虑到扰动及参数不确定下无人船的路径跟踪控制进行研究。首先引入Serret-Frenet坐标系对无人船的路径跟踪控制问题进行了数学描述，并对问题进行简化。考虑到实际工程应用中，无人船模型参数不易获得且运行过程存在扰动，对无人船平面3自由度的欠驱动控制模型进行了分析，将无人船的路径跟踪问题进行更一般的描述，将路径跟踪问题转换为速度及角度的跟踪问题，设计出速度及角度的虚拟控制律，采用滑模控制方法对其进行控制，并进行了仿真实验。仿真实验证明所设计的控制器可对曲线路径进行有效跟踪，并具有一定的抗干扰性。
参考文献：
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【通联编辑：梁书】
