具有脉冲效应和Holling Ⅱ功能反应的治理害虫的Gompertz病毒病模型系统分析

郭俊荣， 金浩城

(浙江农林大学 理学院,浙江 杭州 311300)

引言

害虫治理是农业生产中不可避免的一个问题。害虫对于农作物等经济作物的危害影响不容小觑。我国的农业生产中，常见的害虫多达八百余种，其中对于经济作物危害严重的种类则超过了二十余种。由于受到不可控因素的综合影响，一些曾经被有效控制的害虫再次开始影响农业生产生活，其次要的害虫种类危害程度加重，呈现出流行面积扩大、危害程度加剧、发生频率增多等趋势，对于农业生产生活构成极大的威胁[1-2]。

针对上述问题，本文构建并分析了一类具有脉冲效应和Holling Ⅱ功能反应函数的治理害虫的Gompertz病毒病模型，从分析结果中得到了一些有意义的结论。

1 模型建立

文献[3]中引入了如下的病毒传染病脉冲微分方程：

(1.1)

其中，所有参数都为正数。

Holling在文献[4]中提出了三种不同的功能反应函数来描述生物种群的捕食现象。在上述文献的基础上，本文构建了具有脉冲效应和Holling Ⅱ功能反应函数的治理害虫的Gompertz病毒病模型，基于病毒的生物控制策略的脉冲微分方程如下：

(1.2)

其中，S(t)代表易感类害虫，I(t)表示感染类害虫,V(t)表示病毒，r为内禀增长率，K为环境承载量，α≥0，β表示传染率，m≥0，d表示因病死亡率，μ表示病毒死亡率常数，κ表示病毒复制参数，p表示以常数连续投放染病的害虫。

2 模型分析结果

2.1 预备知识

下面给出本文中用到的一些引理及定理。

2.1.1 脉冲微分方程的Floquet理论

定义2.1.1对于以下的方程：

(2.1.1)

若有下列条件：

(a)A(·)εPCH(R,Cm×n)并且A(t+T)=A(t),t∈R;

(b)BkεCm×n,det(E+Bk)≠0,τk<τk+1(k∈N);

(c)存在取值q∈N，满足Bk+q=Bk,τk+q=τk+T;

则称(2.1.1)为线性T-周期脉冲微分方程。

定理2.1.1[5]若条件(a)、条件(b)、条件(c)成立，则(2.1.1)的基解矩阵可以表示成如下形式：

X(t)=Ø(t)eΛt(t∈R)

(2.1.2)

其中，矩阵Λ∈Cn×n是常值矩阵，矩阵Ø(·)∈PC1(R,Cn×n)是非奇异和T-周期的。

注释2.1.1根据2.1.1及条件(c)易知Floquet表达式(2.1.2)中的Ø(t)是一个Lyapunov矩阵，即满足以下条件：

(ⅰ)Ø(·)εPC1(R,Cn×n);

注释2.1.2可以证明系统(2.1.1)所有的单值矩阵都相似且有相同的特征根。

定理2.1.2[5]若条件(a)、条件(b)、条件(c)成立，则T-周期的线性脉冲微分方程(2.1.1)是：

(a)稳定的，当且仅当系统(2.1.1)的所有Floquet乘子μj(j=1,2,…,n)满足不等式|μj|≤1，而且|μj|=1的Floquet乘子μj重数均为1；

(b)渐近稳定的，当且仅当系统(2.1.1)的所有Floquet乘子μj(j=1,2,…,n)满足不等式|μj|<1；

(c)不稳定的，若存在某些jε1,2,…,n，有|μj|>1。

2.1.2 脉冲微分方程的比较定理

首先，定义如下函数集

定义2.1.3设V∈V0，则对于(t,x)∈(tk,tk+1]×Ω，脉冲微分方程的V(t,x)的右上导数定义为：

引理2.1.1设x(t)是系统(1.2)的解，并且满足初值条件x(0+)≥0，那么对所有的t≥0均有x(t)≥0。若x(0+)>0，则当t>0时，有x(t)>0。

(2)V关于x是局部Lipschitz的。

则称V是属于V0类的，即V∈V0。

定理2.1.3[5-6]假设函数ω(t)∈PC1([0,∞),R)满足不等式

(2.1.3)

其中，f(t),g(t)∈PC([0,∞),R),fk>0，gk和ω0是常数(k=1,2,…)，则对t>0有

类似的，若不等式组(2.1.3)反向，则对t>0有

考虑下面的系统(2.1.4)

且假设其满足下列条件：

(1)0

(2)f:R+×RnRn在(tk-1,tk]×Rn,k∈N区域内是连续的，并且对任意k∈N,x∈Rn，lim(t,y)→(tk,x)f(t,y)=f(tk,x)存在；

(3)Ik:RnRn

设g:R+×RnR+满足

定理2.1.4[7]假设V∈V0，且有下列不等式成立

(2.1.5)

其中g:R+×R+R满足(H)，且φk:R+R+是单调不减的，设r(t)是下列方程在[0,∞)上的最大解

(2.1.6)

那么V(0+,x0)≤u0，由此可得V(t,x(t))≤r(t),

其中x(t)=x(t,t0,x0)是系统(2.1.4)在[0,∞)上的任意解。

定理2.1.4中的V,g均是标量函数，若为向量函数，并且g是拟单调不减的函数时，也可以得到相似的结论。

2.2 主要结果

下面，对以下的系统(2.2.1)进行分析。

(2.2.1)

定理2.2.1对于系统(2.2.1)的解(S(t),I(t),V(t))，存在一个常数M>0，使得对于充分大的t，有S(t)≤M,I(t)≤M,V(t)≤M。

证明令W(t)=S(t)+I(t)+V(t)，

其中，L≤min{μ,d-κd}。

于是

W′(t)+LW(t)≤(L+rlnK-rlnS(t))S(t)。

由上，则有

由上节中的比较定理和引理，可得

当t趋于无穷时，可推得：

W(t)≤M，即S(t)≤M,I(t)≤M,V(t)≤M。

当S(t)灭绝时，可得到如下等式：

(2.2.2)

(2.2.3)

为了求出V(t)，构造如下的g(t)

g(t)=V(t)eμ(t-nT),t∈(nT,(n+1)T]。

另一方面，

综合上式可得：

易知，有唯一的正不动点，

系统(2.2.1)可扩展成如下的线性形式：

(2.2.4)

3 数值分析

本节利用数值模拟手段，通过以脉冲投放量参数p和周期T为分岔参数绘制分岔图以及模型系统的相图和时间序列图，可以研究脉冲投放量p，以及周期T这两个参数对上述系统(2.2.1)的内部动力学的影响。

对于捕食者投放量p，讨论以下两种情况。

情形一：

图1 系统的分岔图。r=6;K=10;α=0.5;β=0.65;m=1.25;d=0.55;μ=1.2;κ=9;T=5;p∈[0.1,12]。

由图1可知，系统在上述参数条件下，经历了比较复杂的过程：混沌→周期→具有周期窗口的混沌→周期。

情形二：

图2 系统的分岔图。r=9;K=7.5;α=0.34;β=0.5;m=0.58;d=0.54;μ=0.25;κ=2.5;T=5;p∈[0.1,15]。

图3 倍周期分支过程。(a)p=4.51时系统4T-周期解的相图；(b)p=4.55时系统8T-周期解的相图。

图4 奇怪吸引子。(a)p=6.9时系统的相图；(b)，(c)p=6.9时系统关于S,I的时间序列图。

从上述分析的结果可以看出，在不同的参数条件下，系统将出现不同的动力学行为。情形三中，随着脉冲投放量p的增加，系统(2.2.1)经历了复杂的动力学行为。当p∈[0,1.05]时，系统呈现混沌状态，当p∈[1.05,3.66]时，S，I，V以稳定的T周期解形式共存，当p>3.66，系统开始进入倍周期分支，继续增加p的值，T-周期解不再稳定，随后变为2T-周期解；当p>4.41时，系统开始由2T-周期解进入4T-周期解，当p>4.44时，系统以4T-周期解稳定存在；p>4.58时，系统又开始呈现混沌状态。当p=6.9时，可以看到系统的一个典型混沌吸引子。继续增加p的值，当p=7.122时，系统呈现拟周期振荡。当p>7.125时，系统出现周期瀑布；当p>14.12时，系统进入4T-周期解；当p>14.15时，系统进入2T-周期解；当p>14.35时，系统又完全收敛到T-周期解。在整个p值增大的过程中，可以看到系统经历周期到倍周期分支到混沌，以及重新恢复为周期的过程。

对于T，讨论以下三种情况。

情形一：

图5 系统关于T的分岔图。r=2.4;K=15;α=0.6;β=0.5;m=0.95;d=0.6;μ=1.05;κ=2.4;p=2.5;T∈[1,15]。

图6 局部放大图。T∈[3.2,3.8]。

从图5和图6可以看到，系统在此条件下具有丰富的动力学行为。当T<5.145时，系统处于混沌状态，且伴有周期窗口。当5.1456时，系统出现了混沌向倍周期以及半周期的分支过程。且当T=7.2时，系统存在一个拟周期解。当T>9.54时，系统由4T-周期解开始出现半周期分支到2T-周期解，随着T的增大，期间出现短暂的拟周期振荡现象。

情形二：

图7 奇怪吸引子。(a)T=5.3时系统的相图；(b)，(c)T=5.3时系统关于S,I的时间序列图。

图8 当T=5.12时，T-周期解与混沌吸引子共存。(a)初始值为S=3;I=0.1;V=0.01的解，最终趋于一个T-周期解；

从上述数值结果可知，在此参数条件下，系统的动力学行为更为复杂。图7给出了T=5.3时的一个奇怪吸引子。由图8可知，T=5.12时，系统具有一个典型的特征，即不同的吸引子可以共存。

情形三：

图9 系统关于T的分岔图。

图10 半周期分支过程。(a)T=8.32时系统8T-周期解的相图；(b)T=8.36时系统4T-周期解的相图。

图11 周期窗口。(a)T=7.2时系统3T-周期解的相图；(b)T=7.7时系统5T-周期解的相图。

由图9可知，系统经历了如下的过程：周期→倍周期分支→混沌和不唯一的动力学行为。图10展示了系统的一个半周期分支过程，图11给出了T=7.2和T=7.7时系统的两个周期解。

从上述分析结果可以看出，随着T的增加以及初始值的不同，系统的解发生了完全不同的变化，说明系统对初始值非常敏感，且具有复杂的动力学行为。针对多种群系统，引入病虫，即加入脉冲控制量之后，会改变系统的状态，使得系统呈现难以预测的变化，从而可以研究控制系统的变化，使得系统在适当的参数条件下存在稳定的周期解。即在种群中，可以使得易感害虫和染病害虫共存，这在生态系统中具有一定的生物意义。

4 结束语

本文针对具有脉冲效应和Holling Ⅱ功能反应的Gompertz治理害虫的病毒病模型的数值分析表明，脉冲投放量p以及周期T等参数会影响系统的动力学行为。以脉冲投放量p以及周期T作为分岔参数得到分岔图，由可视化图形结果表明，系统具有复杂的动力学行为。其中，图2、图5、图9等分岔图显示了系统具有倍周期分支，半周期分支，混沌，周期窗口等复杂的结构，这些表明了系统的动力学行为受脉冲量p以及周期T影响。上述对系统(2.2.1)的动力学分析，旨在通过对模型的动力学分析，得到一些对治理害虫有意义的数学理论上的指导和帮助。