单缝衍射测量不同直径细丝的误差分析研究

王丽光，朱长明，孔文婕

(广西师范大学物理科学与技术学院，广西 桂林 541004)

1 引言

1.1 单缝衍射

光具有沿直线传播、折射、反射、波动等多种特性，而衍射是光波动性的重要体现，也是光波在传播过程中的重要属性之一。现阶段，光的衍射在我们学习生活和科学发展中得以广泛应用，例如：根据DNA 分子衍射图样得出DNA 结构是双螺旋结构。在1962 年沃森、克里克和威尔金斯三人因此研究成果获得了共同获得了诺贝尔生理学或医学奖。我们无可否认衍射现象对生物学界的重要贡献，在科学研究中有着举足轻重的地位。大学物理实验中，当遇到不可直接测量的微小变化量时，可以利用单缝衍射法测量微小量，例如测量单缝宽度、细丝直径亦或是激光波长。

单缝衍射是指光在传播过程中遇到障碍物时会绕过障碍物继续传播到障碍物的几何阴影区域，并在观察屏呈现出光强分布不均匀的衍射图样[1]。单缝衍射通常分为两类：夫琅禾费衍射、菲涅尔衍射。本文对夫琅禾费衍射测量不同金属细丝直径进行简要介绍，并对实验结果及误差进行分析。

1.2 实验误差

实验过程中导致误差出现的因素有很多，性质上分为系统误差、随机误差及过失误差。容易理解的是过失误差是指由于操作不当、外界因数干扰等原因而造成实验数据结果明显失真，这是可以避免的一类误差。

系统误差是指在相同实验条件下测量相同物理量时，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量，又称规律误差。通常来源于仪器误差、理论误差、个人误差。系统误差不可避免，但产生系统误差的主要原因可以从实验条件等方面得出，并设计出新的改进方案来降低系统误差[2]。

随机误差，俗称偶然误差，它是指测量结果与同一待测量的多次测量的平均结果之差。随机误差的产生因素错综复杂，任何外界或内部的影响都可能导致随机误差的产生。大多测量结果其数值都会服从正态分布规律，从中可获取绝对误差δ和标准误差ζ，并运用贝塞尔法对标准误差ζ进行估算，得出近似标准偏差取而代之，而算数平均值也随实验次数增多而具有离散性，定义用表示其标准偏差。与系统误差相同的是随机误差也只可降低不可避免。

1.3 不确定度

不确定度是测量过程中产生的各种误差使得测量结果而不被肯定的程度。它含有多个分量，按统计性质划分，可以分为A 类不确定度分量和B 类不确定度分量[3]。A 类不确定度来源于随机误差，它可以用统计规律来计算，即

它与算术平均值的标准偏差一致；而B 类不确定度与系统误差有关联，它不符合统计规律，通常用仪器的标准误差来衡量，即uB=，最后最后得出合成不确定度为u=。

2 实验原理及测量方法

2.1 单缝衍射实验原理

夫琅禾费单缝衍射要满足从光源到狭缝的入射光为平行光，从狭缝传播到接收屏的出射光也是平行光，可利用两个透镜来观察衍射现象，一个透镜置于光源与狭缝之间，另一个透镜则置于狭缝与接收屏之间。如图1 所示，在透镜L1的焦平面上置一波长为λ的单色光源S，经透镜L1射出垂直于宽度为d的狭缝的平行光，若d很小，根据惠更斯-菲涅耳原理，同一波面任一面元均可视为一新的次波源，再由这些次波在空间传播并于某位置相遇而产生相互干涉叠加，从透镜L2出射后，可以在处于透镜L2焦平面的接收屏上看到一组平行于狭缝且明暗相间的衍射条纹，其特点为中央明条纹最亮最宽，在其两侧分布的则是较弱的明暗相间的条纹[4-5]。

图1 单缝衍射

根据菲涅尔半波带法得出在Ik点出现亮条纹的条件是

在Ik点出现暗条纹的条件是

假设透镜L2距离观察屏为ƒ时，第k级亮条纹与衍射图样中心的距离为Rk，则，由于φ是极小角，存在 sinφ≈tanφ，根据式（2-1）可得：

根据巴比涅定理，同为互补障碍物的细丝与狭缝产生相同衍射图样，即可用缝宽的测量方法测量细丝直径[6]。如图2 所示，产生暗条纹的条件是

图2 细丝产生的衍射

同理，θ角极小，sinφ≈tanφ，根据式（2-4）可得细丝直径

式中L为细丝到测微目镜的距离，为暗纹间距。

2.2 单缝衍射测量细丝直径的实验装置及测量方法

为了得到更为准确的实验结果，这里采用了激光光源，相比其他普通光源，它的高亮度可以使图像更清晰，有利于观察。在激光器后加一个扩束镜来减小发散角，使激光光束变为平行光束。将狭缝1 调节至一定宽度就可获得一条线光源，用于产生一级衍射；若在测微目镜中观察到的衍射图样暗淡模糊，无法较为准确地辨别出明暗条纹交界线，就可以调节狭缝1 的宽度获得适当的光强；用狭缝2 遮住狭缝1 衍射光一侧一级以上的衍射条纹，使最亮的零级光照在细丝上；遮光条用于挡住细丝产生的衍射条纹中的零级条纹，避免测量时受零级强光的影响；测量衍射暗纹间距S由测微目镜读取获得；米尺用于读出细丝到测微目镜的距离L。实验中激光束须平行光学平台上的水平米尺，并在光学元件等高共轴后才能进行实验，并利用式（2-5）计算细丝直径d。

图3 单缝衍射测量细丝直径的实验装置

图4 实验装置实物图

3 实验结果的误差及不确定度分析

利用单缝衍射对6 根不同直径细丝进行多次测量求平均，得出相关实验数据如表1～表6。

表1 细丝1 的直径测量 mm

表2 细丝2 的直径测量 mm

表3 细丝3 的直径测量 mm

表4 细丝4 的直径测量 mm

表5 细丝5 的直径测量 mm

表6 细丝6 的直径测量 mm

3.1 系统误差

在此实验中，系统误差导致实验结果不精确是不可避免的。在理论因素上有实验方法的不完善所导致的误差；在仪器设备上有来源于仪器本身的缺陷或精度不高而导致的误差，例如利用读数显微镜获取数据信息存在着不精确性；在环境因素上，由于这是一个光学实验，对外界环境的遮光有着极高的要求，不绝对遮光也会影响实验结果，从而产生误差。

3.2 随机误差

本实验中各种微小变动都会引起随机误差，比如，改变光学元器件间距时引起的变动，外界环境的变动，在肉眼读取读数显微镜中刻度尺上数据的变动等，这些因素最终导致测量值在平均值上下变动，而与之对应的差值即为测量的随机误差。根据算术平均值公式，可以进一步求出用单缝衍射测量细丝直径的精度，如表7 所示。

表7 单缝衍射测量不同细丝直径精度

3.3 不确定度

表8 测量不同细丝直径的不确定度

4 结论

利用单缝衍射测量细丝直径能获得更高精度，相比于传统的螺旋测微器法测量，前者可精确到0.0001mm，后者精确到0.001mm。通过误差分析研究表明，在利用单缝衍射测量细丝直径实验中，实验结果的不确定度与细丝直径密切相关。细丝直径更细的情况下，测量值的不确定度更小，测量结果更准确；反之在细丝直径较粗的实验中，测量值的不确定度更大，实验结果更加偏离真值。