“比率”“度量”“商”：认识分数的三个角度

董文彬

摘要：分数形式独特而内涵丰富，分数的教学要帮助学生冲破认知上的单一线索和思维上的定式障碍，从整体上把握分数内涵的丰富性。重点梳理分析北师大版小学数学教材“分数的意义”编排中认识分数的不同角度——比率、度量、商的学习路径，以期更好地理解教材，设计教学。

关键词：分数的意义;教材分析;比率;度量;商

分数是小学数学中特别重要的学习内容，是继整数、小数之后数域系统的又一次扩充。分数的认识是学生数的认识的一次重大飞跃，在学生数概念的形成与发展中起着十分重要的作用。分数的学习以倍、平均分、除法等知识为基础，又是后续学习分数的运算与应用以及百分数、比的意义的重要前提。

北师大版小学数学教材，将学生分数的学习大致分为两个阶段：第一个阶段是在三年级下册学习“分数的初步认识”，第二个阶段是在五年级上册学习“分数的意义”（即“分数的再认识”）。而这两个阶段中又分别包括认识分数，整体单位“1”的认识与扩充，分数大小比较，分数单位的认识，真分数、假分数和带分数的认识，分数与除法以及分数的基本性质等多个学习内容。

分数形式独特而内涵丰富，分数的教学要帮助学生冲破认知上的单一线索和思维上的定式障碍，从整体上把握分数内涵的丰富性。本文重点梳理分析北师大版小学数学教材“分数的意义”编排中认识分数的不同角度，以期更好地理解教材，设计教学。

一、从比率的角度认识分数

分数的比率意义是指，（真）分数表示部分与整体的关系，即“部分/整体”。这是分数概念发展的源头，是理解分数概念最基本、最重要的维度，是理解分数的基本性质以及通分、约分等相关知识的基础。

教材首先引导学生从分数产生的现实背景（分物）中认识分数的比率意义。提出问题“34可以表示什么”，让学生举例说明。然后，给出图1，引导学生从不同的角度认识所分整体（单位“1”）的丰富内涵：单个图形作为一个整体;多个图形作为一个整体;多组图形作为一个整体。进而，概括分数的比率意义：不管所分整体是哪种情形，34都是把一个整体平均分成4份，表示其中的3份。

可见，从分数产生的现实背景（分物）中，教材丰富了所分整体（单位“1”）的含义，从“个”到“群”，从面积模型到集合模型，帮助学生建立分数表示部分与整体关系的本质意义。

为了帮助学生深化理解“部分/整体”的关系，教材接着引导学生逆向思考：根据图形的一部分想象画出原来的整体（见图2）。由此，学生可以从“份”的视角认识部分与整体的倍比关系：把部分看作“1份”，那么整体就是“4份”;部分占整体的14，那么整体就是部分的4倍。

把正反两个方向的思考综合起来，学生可以形成如图3所示的认知结构。

为了帮助学生进一步区分所分或所取的“份数”与整体或每份中物体的个数，把握分数比率意义的本质，教材又让学生取出各自铅笔的12，思考：取出的铅笔数为什么会不一样多？取出的不一样多，为什么还都用12表示？由此，学生可以认识到：在比率意义上分数表示的多少具有相对性，因为其表示的是部分与整体的关系，其大小只与所分和所取的“份数”有关。

二、从度量的角度认识分数

分数的度量意义是指，分数表示分数单位的计数。华罗庚先生说过：“数（shù）起源于数（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”从绝对量（而非相对的比率关系）的角度看，从整数到分数的跨越，本质上是从离散量到连续量的跨越、从一一对应数数到分割后用单位测量的跨越。

教材又引导学生从分数产生的另一现实背景（测量）中建立分数的度量意义。让学生用特定长度的纸条度量数学書的长和宽各是多少。学生在实际测量中能够发现：用这一纸条量数学书的宽时，正好3次量完，那么，数学书的宽就是3个纸条的长度;而用这一纸条量数学书的长时，量了4次还有剩余。这时，学生就会思考：不够一个纸条长度的部分怎么量？对此，教材继续启发：把纸条对折（一种特殊的分割）变短后再量。学生能够发现：把纸条对折两次后，正好量完。这时，教材引导学生思考对折后的纸条与原纸条的长度关系，得到12、14这样的分数。这样，就从度量的角度揭示了分数的新意义：将给定的长度单位等分，用其中的一部分作为新的长度单位去测量物体的长度;如果正好量完，可得用分数表征的物体长度。这时，分数作为一种新的度量单位就因测量需求而产生了。

为了帮助学生进一步认识分数的度量意义，教材接着引导学生借助“分数墙”（见下页图4）认识分数单位：将一个纸条平均分成几份，1份即是这个纸条的几分之一;用这样的1份作为度量单位去量这个纸条，正好几次就能量完。几个几分之一就是1。由此，学生能够到认识到：任何分数都可以看成对某个分数单位计数的结果。同时，能够更好地理解分数单位的大小关系。

三、从商的角度认识分数

分数的商意义是指，分数表示除法运算的结果。从商的角度认识分数，重点发展的是学生对分数是一个数，即数值的理解。

教材在分物的现实背景下，引导学生解决“把1块蛋糕平均分给2个小朋友、把7块蛋糕平均分给3个小朋友，每人分别可以分到几块蛋糕”的问题。学生可以从运算的角度得到除法算式1÷2、7÷3，从操作（平均分）的角度得到结果12块、73块，同时思考12与1÷2、73与7÷3之间的关系，进而发现分数可以表示除法运算的商，用分数表示除法运算的商比用小数表示更便捷，特别是用小数表示时需要经过小数除法运算或会遇到商是无限循环小数的情形。通过这样的举例说明，教材进一步引导学生概括分数与除法之间的抽象关系a÷b=ab（b≠0），体会：任意一个分数都是它的分子除以分母（分母不为0）所得的商，两个数相除（除数不为0）的商就是以被除数为分子、除数为分母的分数。

为了帮助学生进一步认识分数的商意义，并沟通分数的度量意义，教材接着引导学生思考两个纸条长度关系的问题（见图5）。“蓝纸条的长是红纸条的几分之几”，从度量的角度看，可用蓝纸条的长度去量红纸条的长度，正好量了3次，所以，蓝纸条的长度是红纸条的13，反过来，红纸条的长度是蓝纸条的3倍;从运算的角度看，即1÷3=13。“黄纸条的长是红纸条的几分之几”，从度量的角度看，黄纸条的长度与红纸条的长度可看作4份与3份的关系，故可用其中的1份去量黄纸条，正好量4次，去量红纸条，正好量3次，所以，黄纸条的长度是红纸条的43，反过来，红纸条的长度是黄纸条的34;从运算的角度看，即4÷3=43。

这里需要指出的是，有些学生甚至到了六年级遇到除法运算时，还是习惯于用小数而不用分数作为商。可见，从商（除法运算）的角度认识分数对儿童来说，貌似容易，实际很难，需要一个循序渐进的阶段性过程。

总之，分数是一个兼具多重意义的数学概念，北师大版小学数学教材分别从比率、度量和商的角度编排出了比较清晰的学习路径，帮助学生充分认识分数概念。因此，教师在教学中，要把握好分数概念的多重意义，以教材体现的认识角度以及学习路径为线索设计教学活动，促进学生分数概念的形成与发展。

参考文献：

[1] 陈士文，陆克荣.“分数的初步认识”中的“初步”与“认识”[J].教育研究与评论（课堂观察），2020（2）.