区间值Choquet 积分及其性质

郭元伟

太原学院数学系，山西 太原030009

G.Choquet 于1955 年提出了容度及其积分理论［1］，Choquet 积分是一种基于非加测度的非线性积分，在图像处理、模式识别、信息融合、数据挖掘、主观评判、决策分析以及经济学等领域［2～5］有广泛的应用.Wang 研究了基于非可加测度实值Choquet 积分及其收敛定理［6］，在此基础上Pedytcz 给出了Choquet 积分的平均收敛、等度可积、基本平均收敛等定义［7］，并讨论了它们之间的关系. Guo 讨论了集值测度的性质［8］，Jang 等研究了集值Choquet 积分的上、下极限［9］，Zhang 等指出并修正了上述文献中的一些错误，并且证了Kuratowski 收敛定理［10］.Wang 和Li 讨论了非负集值Choquet 积分的基本性质和集值Choquet 积分序列的收敛定理［11］.Jiang 和Wang 分别研究了区间值Choquet 积分［12］和单调集值Choquet 积分［13］，Wang等研究了模糊值Choquet 积分序列的基本性质［14，15］，并讨论了一致收敛、平均收敛、积分有界之间的关系，进一步丰富了Choquet 积分.然而区间值函数的关于非加测度的Choquet 积分尚未见到讨论.本文利用区间值函数和实值非可加测度的Choquet 积分，定义和讨论了区间值函数关于非可加测度的Choquet 积分，并给出了转换定理，讨论了单调区间值函数的收敛定理.最后，讨论了区间值Choquet 积分定义的集函数性质，结果表明，上下连续性、超可加、零可加、次可加、模糊可乘性等性质在其不定积分中均可遗传到其原函数中.

1 定义及说明

2 区间值Choquet 积分及其性质

引理1 设(X，A，μ)是非可加测度空间，若f(x)，g(x)是非负可测的实值函数，则

(1)(c)∫max{f(x)，g(x)}dμ ≥max{(c)∫f(x)dμ，(c)∫g(x)dμ};

(2)(c)∫min{f(x)，g(x)}dμ ≤min{(c)∫f(x)dμ，(c)∫g(x)dμ}.

证明 只证(1)式.若(c)∫fdμ = + ∞或(c)∫gdμ = + ∞时(不妨设(c)∫fdμ = + ∞)，易知max{(c)∫f(x)dμ，(c)∫g(x)dμ}= + ∞;因为max{f(x)，g(x)}≥f(x)，由Choquet 积分的单调性知:(c)∫max{f(x)，g(x)}dμ ≥(c)∫f(x)dμ，结论得证.

若f(x)和g(x)都Choquet 可积的，即(c)∫fdμ ＜+∞且(c)∫gdμ ＜+∞，因为max{f(x)，g(x)}≥f(x)，所以(c)∫max{f(x)，g(x)}dμ ≥(c)∫f(x)dμ，同理可得(c)∫max{f(x)，g(x)}dμ ≥(c)∫g(x)dμ，结论得证.

定理2 令F，G ∈U［X，I(R+)］，若F，G 是c 可积的，则

(1)(c)∫(F ∨G)dμ ≥(c)∫Fdμ ∨(c)∫Gdμ;

(2)(c)∫(F ∧G)dμ ≤(c)∫Fdμ ∧(c)∫Gdμ.

证明 只证(1)式.由(F ∨G)(x)= ［F-(x)∨G-(x)，F+(x)∨G+(x)］，知

由定理1 知

由引理1 知

结论得证.

3 区间值Choquet 积分收敛定理

4 区间值Choquet 积分定义的集函数

注［8］:集值模糊测度是(下连续、上连续、连续)区间值模糊测度，当且仅当π-，π+是(下连续、上连续、连续)模糊测度(π-= inf π，π+= sup π).

例1 假设(X，F)是可测空间.令F ∈U［X，I(R+)］，记π(A)= (c)∫AFdμ，由性质1 易知π(A)是区间值模糊测度.

定理6 (1)若μ 是上连续的，则π(A)是上连续的;

(2)若μ 是下连续的，则π(A)是下连续的.

证明 只证明(2)式.设A1⊂A2⊂…⊂An⊂…，由定义3 和μ 是下连续性得

定理7

(1)若μ 是超可加的，则π(A)是超可加的;

定理8

(1)若μ 是下自连续的，则π 也是下自连续的;

(2)若μ 是上自连续的，且F 是c 可积的，则π 也是上自连续的;

(3)若μ 是一致自连续的，且F 是c 可积的，则π 也是一致自连续的.

5 结论

根据集值积分经典定义方法，本文给出了较特殊的区间值函数关于经典测度的Choquet 积分的定义，并证明了其积分结果也是区间值的.同时，研究了单调集值函数的收敛定理，得到了若充要条件，需要指出若集值函数取成sup F(x)，inf F(x)上述结论将退化成经典的Choquet 积分;讨论了区间值Choquet 积分定义的集函数关于的遗传性质和结构特性，结果表明，诸如上、下连续性、零可加、超可加、模糊可乘等性质均可遗传到原函数中.