一类具有信息变量和等级治愈率的SI 传染病模型的稳定性分析

米晓丽

山西师范大学数学与计算机科学学院，山西临汾041000

0 引言

长期以来，传染病一直在不断地困扰着人们的生活，从天花、AIDS 病毒、SARS 病毒到H7N9 病毒再到新型冠状病毒，每一次传染病的大爆发都会严重影响社会的发展，给人类生存和国计民生带来巨大的灾难.

近年来已经有许多学者研究了各种传染病模型，见文献［1 ～3］，为更好地描述传染病的传染与控制规律，在治疗过程中，我们常采用如下的信息变量

这里的T 表示的是疾病信息的平均延迟时间.文献［4 ～7］就介绍了这种具有信息变量的SIR 模型.

在考虑以上因素的基础上，本文将人分成了两大类，分别是易感者、染病者，它们分别用S(t)、I(t)来表示，其中的系数均为正数.建立如下的SI 传染病模型:

1 平衡点的存在性、局部稳定性

定理1 (1)当R0≤1 时，系统(1)有无病平衡点E0=(1，0，1).

因此从定理的条件可知，P ＞Q，从而A ＞0.当T ＜T*时，f(T)＜0 也就是AB ＞C，这样我们就可以通过Routh-Hurwitz 得到，该特征方程的特征根均有负实部，即地方病平衡点E*是局部渐近稳定的;而当T ＞T*时，地方病平衡点E*在系统(1)中在是不稳定的.

2 E0 = (1，0，1)和E* = (S* ，I* ，Z* )的全局稳定性讨论

定理5 无病平衡点E0= (1，0，1)在系统(1)中当R0＜1 时，是全局渐近稳定的.

证明 我们由Lasalle 不变集原理来证明，可以构造这样一个Lyapunov 函数，令V(t)= I，则