例析平抛的轨迹方程在解题中的应用

2021-04-16崔媛媛

考试与招生 2021年4期

关键词：出点初速度抛物线

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平抛运动是一个典型的运动模型，下面我们就通过几个例子，分析一下抛物线的轨迹方程在解题中的应用。

平抛轨迹方程的数学推导：

图1

如图1所示，以抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系。由平抛运动规律可知，两个方程联立消去时间t，可以得到平抛的轨迹方程为

应用一：求解抛出点的坐标和初速度

例1.某实验小组同学在“研究平抛物体的运动”实验中，只画出了如图2所示的曲线，于是他在曲线上取水平距离Δx相等的三点A、B、C，量得Δx=0.2m，又量出它们之间的竖直距离分别为h1=0.1m，h2=0.2m(g=10m/s2)。若以A点为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，物体水平速度方向为x轴正方向，利用这些数据，可求得：(1)物体抛出时的初速度为_________m/s；(2)抛出点的坐标为_____________。

图2

【解析】设物体的初速度为v0，抛出点O的坐标位置为（x0，y0)，由平抛的运动规律可得，轨迹方程把A（0，0）、B（0.2，0.1）、C（0.4，0.3）代入上述抛物线方程，可得：

联立①②③式求解可得，v0=2m/s，x0=-0.1m，y0=-0.0125m

答案：v0=2m/s，抛出点坐标x0=-0.1m，y0=-0.0125m

【点评】这类问题一般出现在实验题中，我们借助平抛的轨迹方程和已知的三个点的坐标，利用待定系数法可以同时求解出初速度和抛出点坐标位置，比常规解法快捷简便。

应用二：求解有平面或曲面约束的平抛运动问题

1.抛物线与直线相交

例2.如图3所示，蜘蛛在地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB与水平地面间的夹角为45°，A点到地面的距离为1m，已知重力加速度g取10m/s2，空气的阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8m的C点以水平速度v0跳出，要到达蛛丝，水平速度v0至少为（）

图3

A.1 m/s B.2 m/s

【解析】以C点为坐标原点，水平方向建立x轴，竖直方向建立y轴，

由于抛物线与直线只有一个交点，利用根的判别式△=0解得：v0=2m/s

答案：B

【点评】利用轨迹方程求解时，我们不需要求解时间t这个参量，所以比常规方法更简洁方便。

2.抛物线与圆弧相交

例3.如图4所示，从半径为R=1m的半圆AB上的A点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4s小球落到半圆上。已知当地的重力加速度g＝10m/s2，则小球的初速度v0可能为（）

图4

A.1m/s B.2m/s

C.3m/s D.4m/s

【解析】

图5

如图5所示，第一种可能是小球落在半圆左侧，第二种可能是小球落在半圆右侧。

落点在圆周上，则（x-R）2+h2=R2③

联立①②③解得：v01=1m/s；v02=4m/s

答案：AD

【点评】本题最容易出错的地方是漏解，如果利用轨迹方程求解，计算出两个结果后，发现都有意义，就不会出现漏解的情况。

3.两条抛物线相交

例4.从距地面高为H的地方A平抛一物体，其水平射程为2s。在A点正上方距地面高度为2H的地方B点，以同方向平抛另一物体，其水平射程为s，两物体在空中的轨道在同一竖直平面内，且都是从同一屏M的顶端擦过，求：屏M的高度是多少？

【解析】设屏M的高度为h，如图6所示，

图6

【点评】巧妙利用轨迹方程，找到纵坐标和横坐标的比例关系y∝x2，使本题的求解过程方便、简洁。

应用三：利用轨迹方程求解类平抛问题

例5.（2020年全国卷Ⅰ，25题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心、半径为R的圆，AB为圆的直径，如图7所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。

（1）求电场强度的大小；

（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？

（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为多大？