基于Matlab仿真的窗函数阵列加权性能分析

2021-04-15顾力伟韩光威

舰船电子对抗 2021年1期

刘咏，顾力伟，韩光威

(中国船舶重工集团公司第七二三研究所，江苏扬州 225101)

0 引言

窗函数在数字信号处理技术中作为截取函数对被研究的信号进行截断分析，能够有效地减少频谱能量泄漏。而在相控阵技术中,窗函数作为加权函数被应用于相控阵天线方向图的副瓣抑制方面，能够有效地改善副瓣的性能。因此研究窗函数对数字信号处理和相控阵阵列加权都有着重要意义，而Matlab作为最先进的数学仿真运算软件，本身就具有丰富的窗函数语言及强大的仿真计算能力，因此本文通过Matlab仿真研究了窗函数及阵列加权函数的特性[1]。

1 窗函数的意义

在数字信号处理技术领域中，通过傅里叶变换研究信号整个时间域与频率域的关系，但是当工程上真正去实现时是不可能对整个无限时长信号进行测量运算的，实际上处理的是截取有限时长的信号片段再进行周期延拓处理所得到的虚拟的无限时长信号，而这个被用来对信号进行截取的截取函数就叫窗函数[2]。事实上信号截取会产生频谱能量泄漏，而快速傅里叶变换(FFT)计算频谱会产生栅栏效应，我们只能通过使用不同的窗函数对这2种不可消除的误差影响进行抑制。

在相控阵技术领域中，一般情况下的相控阵辐射方向图中主瓣左右两侧对称的功率值最高的第1副瓣与主瓣功率的差值不能满足我们对相控阵雷达的应用需求，因此通过对相控阵阵列面上的电流分布进行阵列加权(加窗)来实现降低旁瓣电平在阵列中部辐射较多功率而在两端边缘辐射较少功率的目的。用于阵列加权的加权函数实质上就是窗函数的一种重要应用。

2 窗函数的仿真分析

2.1 矩形窗

矩形窗是一种时间变量的零次幂窗，是窗函数中使用最多的，在工程应用中我们习惯性的称不加窗，实际上就是对信号使用了矩形窗[3]。矩形窗的特点是主瓣窄，旁瓣大，有负旁瓣，频率识别精度最高，幅值识别精度最低。矩形窗的函数式为：

(1)

假定采样时长(或采样点数)N为50，使用Matlab对矩形窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图1所示。

图1 矩形窗仿真图

2.2 三角窗(Fejer窗)

三角窗又称费杰窗(Fejer窗)，它是幂窗的1次方形式，可以看做是2个矩形窗的卷积。三角窗的特点是主瓣更宽(约是矩形窗主瓣的2倍)，旁瓣更小且无负旁瓣，这意味着三角窗频率识别精度低于矩形窗，幅值识别精度高于矩形窗。三角窗的函数式为：

(2)

事实上三角窗与巴特利特窗非常类似，当N为奇数时有Bartlett(n+2)中间部分等于Triang(n)；当N为偶数时，三角窗的傅里叶变换总是非负数，巴特利特窗的傅里叶变换总是负数。假定采样时长(或采样点数)N为49，使用Matlab对三角窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图2所示。

图2 三角窗仿真图

2.3 汉宁窗(Hanning窗)

汉宁窗(Hanning窗)又称升余弦窗，可以看作是3个矩形窗的频谱之和。汉宁窗的特点是对主瓣进行加宽，旁瓣减小，虽然能量泄漏较少，但是频率分辨力下降。汉宁窗的函数式为：

(3)

假定采样时长(或采样点数)N为50，使用Matlab对汉宁窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图3所示。

图3 汉宁窗仿真图

2.4 海明窗(Hamming窗)

海明窗(Hamming窗)也是余弦窗的一种，可以称为改进的升余弦窗，它与汉宁窗的区别在于加权系数的不同。海明窗的特点是其加权系数相比汉宁窗缩小旁瓣能力更强[4]。海明窗的函数式为：

(4)

假定采样时长(或采样点数)N为50，使用Matlab对海明窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图4所示。

图4 海明窗仿真图

2.5 泰勒窗(Taylor窗)

泰勒窗(Taylor窗)是一种基于泰勒公式展开的加权窗函数，一般情况下采用2～3阶泰勒级数进行泰勒窗函数加权就可以得到很好的效果。泰勒窗的特点是工程上便于实现，相比于其他窗函数加权，泰勒加权只是稍展宽了主瓣便能获得较低的副瓣，所以泰勒加权也是相控阵技术中应用较多的一种加权函数。泰勒公式的展开形式为：

(5)

假定采样时长(或采样点数)N为50，使用Matlab对4阶泰勒窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图5所示。

图5 泰勒窗仿真图

2.6 布莱克曼窗(Blackman窗)

布莱克曼窗(Blackman窗)是一种2阶升余弦窗，其特点是主瓣宽，旁瓣低，频率识别精度较差，但幅值识别精度好，选择性较好[5]。布莱克曼窗的函数式为：

(6)

假定采样时长(或采样点数)N为50，使用Matlab对布莱克曼窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图6所示。

图6 布莱克曼窗仿真图

2.7 凯撒窗(Kaiser窗)

凯撒窗(Kaiser窗)是一种由零阶贝塞尔函数构成的形状参数可调的窗函数，其特点是主瓣与旁瓣能量之比近乎最大，并且可以自由调整主瓣宽度和旁瓣高度之间的比重[6]。凯撒窗的函数式为：

0≤n≤N-1

(7)

式中：I0(β)为第1类变形零阶贝塞尔函数，β就是凯撒窗的形状参数;α为主瓣与旁瓣的差值。

(8)

假定采样时长(或采样点数)N为50，形状参数β为1、5和10三种情况下使用Matlab对凯撒窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图7所示。

图7 凯撒窗仿真图

由仿真结果可见，改变凯撒窗的形状参数β，其数值越大，旁瓣越小，主瓣越宽。

2.8 切比雪夫窗(Chebyshev窗)

切比雪夫窗(Chebyshev窗)是一种对局部进行优化的时窗，因为它满足窗函数的最大振幅比原则，所以也称为最大振幅比时窗函数。其特点是旁瓣具有等波动性，也就是所有旁瓣高度相同。切比雪夫窗的函数式为：

n=1,2,…,N-1

(9)

式中：γ为切比雪夫窗的形状参数，表示主瓣与旁瓣幅度之比。

假定采样时长(或采样点数)N为50，形状参数γ为10、20和50三种情况下使用Matlab对切比雪夫窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图8所示。

图8 切比雪夫窗仿真图

由仿真结果可见，改变切比雪夫窗的形状参数γ，其数值越大，旁瓣越低，主瓣越宽。

2.9 巴特利特窗(Bartlett窗)

巴特利特窗(Bartlett窗)也是2个矩形窗的卷积，其两端总为0，与三角窗非常类似。三角窗的形状是1个三角形，相比之下，巴特利特窗的形状是一个梯形，因此也被称为梯形窗。巴特利特窗的函数式为：

(10)

假定采样时长(或采样点数)N为50，使用Matlab对巴特利特窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图9所示。

图9 巴特利特窗仿真图

2.10 Bohman窗

Bohman窗是2个半持续时间的余弦波瓣的卷积，这种窗函数被应用于语音信号处理领域较多，在滤波和降噪方面性能优良。

假定采样时长(或采样点数)N为50，使用Matlab对Bohman窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图10所示。

图10 Bohman窗仿真图

2.11 平顶窗(Flat Top窗)

平顶窗(Flat Top窗)是一种性质比较特殊的加权窗，顾名思义，平顶窗在频域上的响应表现出顶部平整的现象，其特点是具有非常小的通带波动，幅度上的误差很小。平顶窗根据项数与旁瓣性能的不同可分为3项最速下降、3项最低旁瓣、4项最速下降、4项最低旁瓣、5项最速下降、5项最低旁瓣等类型，以4项最速下降平顶窗为例，其函数式为：

(11)

假定采样时长(或采样点数)N为50，使用Matlab对平顶窗进行仿真分析，其时域图谱和频域图谱如图11所示。