基于泊松分布的应用探讨

吕希元

【摘要】泊松分布为一种统计和概率学科里比较容易见到的一种离散型的分布，是由法国的数学家泊松于1838年的时候发表，泊松分布主要适合于来描述单位时间里随机事件的次数分布的概率论模型，本文的主要内容是讲解泊松分布在平时的日常生活之中的简单应用探讨，及其作为近似计算来对二项分布进行简化计算。

【关键词】泊松分布  二项分布  离散型概率  数学期望

【中图分类号】G64   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）41-0106-03

一、泊松分布的定义：

若随机变量X的任意可能的取值分别为0，1，2，…，其对应的每一个取值的概率为：

且λ>0为常数，那么就称X为服从参数是λ的泊松分布，并记为：X～P（λ）。

二、泊松分布的实际应用

（1）具统计分析表明，某个出版社出版的图书里，在每一页印刷的错误的个数是近似服从参数为λ=0.01的泊松分布，现计算在一页的印刷纸里没有错误的概率是多少？

解：本题可以利用泊松分布公式来进行计算，然后借助泊松分布表得到概率值;由于λ=0.01，且k=0代入泊松分布可得：

从本例的解析过程可以看出，该出版社所出版的图书，其每一页不出现错误的概率是相当大的，几乎接近于必然事件，通过本例说明，出版社出现印刷错误的概率是非常小的，换句话说明，即使会有小的错误，但是对图书的阅读或学习的影响基本上是不存在的。

（2）通过对历史的销售纪录的分析发现，某个专销店其月销售數量（单位：件）服从参数λ=8的泊松分布，计算如下问题，即在月初的进货时，最少需要多少的库存量，才会有90%及以上的把握达到顾客的购买需求？

解：本例是一道现实生活中的实际问题，和实际中的销售密切相关的题目，对生产经营有一定的指导作用;本题可以利用泊松公式求解，由于参数λ=8，可设至少需要k件库存量，才会有90%以上的把握满足需求，从而代入泊松分布公式可得：

故解得：k≥12.因此至少需要12件库存量，才能满足要求，通过本例说明，泊松分布对仓库商品的估计运算相当适用，从而就能更加有效地把握商品的备货量，减少商品的库存费用，也能解决存货的严重不足，而导致供不应求的后果产生。

（3）已知某人一年内患感冒的平均次数服从参数为λ=5的泊松分布，现存在某个预防感冒的药物能对75%的人群有效果，即能将泊松分布的近似参数锐减到λ=3的地步，但是对另外的25%的人群没有效果;若一人服用此药后，在一年内患了2次感冒，则该种药物对此人有效果的概率为多少？

解：本问题可以借助泊松分布公式来求解，它是与药物相关的实际问题，将λ=5代入到泊松分布的公式中，记X表示“某人在一年中患感冒的总次数”，再记M0={服用此药无效果}，M1={服用此药效果};然后利用条件概率的公式可以求得：P（M0）=0.25，P（M1）=0.75，同时P（x=k|M0）=，而P（x=k|M1）=

通过本题说明：某药物若能对75%的人起作用，但是对另外的25%的人没有效果，那么一个人服用此种药物时，对其有效果的概率大概有0.8886.

三、利用泊松分布对二项分布作近似计算

定理：已知n在重伯努利试验中，事件A在每一次实验中发生概率均为p，其与试验的次数有一定的关系，而且满足n·p=λ>0，那么对于任意给定的发生的次数k，近似满足如下等式：

通过该定理可知，如果二项分布B（n，p）中的参数n比较大的时侯，同时p很小时，如n>100，p<0.1时，而且np<10那么此时二项分布可近似用参数为λ=np的泊松分布来代替。

（1）若经过某个路口的每一辆汽车发生交通事故的概率近似为p=0.0001;如果在某个路段时间里，有1000辆汽车经过这个路口，试问：在这个时间间隔内，发生的交通事故次数X的概率分布及发生2次以上交通事故的概率为多少？

解：本题是一个实际问题，从现实生活考虑，在某个时段内发生交通事故，本身就是一件少见的事件，其可能性比较小，通过观察道路的路口的1000辆汽车所发生的事故与否的情况，可以将其近似认为是一个n=1000的二项分布，由于出现事故的概率是p=0.0001，故记X为服从X～B（1000，0.0001）的二项分布。从而：

P（X≥2）=1- P（X=0）-P（X=1）=1-0.99991000-1000×0.0001×0.9999999

因为n=1000很小，但是p=0.0001均很小，则上面的计算量大，可以借助泊松分布近似来计算，λ=np=1000×0.0001=0.01;从而：

P（X≥2）=1-P（X<2）=1-P（X=0）-P（X=1）

通过本问题可得出，当二项分布的计算量比较大时，可以把二项分布转化成泊松分布来近似计算其值，其精确度较高，而且可以查泊松分布表。

（2）计算机硬件公司生产某种微型芯片，其次品率为0.1%，每一件芯片是否为次品互不影响，计算在 1000     只产品中，最少有2只是次品的概率为多少？

解：泊松分布可以用于计算机芯片次品数的概率计算，本问仍然是二项分布的泊松近似，故由题意可得，泊松分布的参数λ=np=1000×0.001=1。

从而可以发现，利用泊松分布可以简化二项分布的计算，同时该精确度是相当高的。

四、小结

作为一种非常常见的离散型随机的变量型的分布，泊松分布越来越显现出它的重要性，已成为概率论里几个重要的分布之一;在我们的现实生活中，起到了非常重要的作用，例如：在数学建模，管理科学，运筹学及其自然科学等方面用处很广;本文主要从经济方面和科学方面对其进行了简单的应用，并讨论了它对二项分布的简化的效果很明显。

参考文献：

[1]袁德美，安军，陶宝.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2016.

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[5]庄军，林奇英.泊松分布在生物学中的应用[J].激光生物学报，2007，16（5）：655-658.

[6]陈希孺，数理统计引论，北京：科学出版社，1981.