自然和谐授知识 水到渠成育素养——“基本不等式的教学设计与反思

庞 燕

(江苏省常州市田家炳高级中学 213000)

一、 基本情况

1.教材分析

2.学情分析

学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的．

3.目标设计

(1)学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件.

(2)探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用．

(3)培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识.

4.教学重难点

本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程．

教学难点是基本不等式等号成立条件．

5.教学策略

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体几何画板、视频的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点．

教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合

学法:自主学习与合作讨论相结合

教学手段:黑板板书为主结合多媒体辅助教学

二、 教学过程

1.创设情境，引入课题

图1 图2

情境1 (展示并介绍古代弦图)同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图．它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的．早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一．弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机．

情境2 (展示24届国际数学家大会会标)大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标．这个会标设计源于古代弦图．它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但象征中国人民的热情好客，同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献．今天咱们也来研究一下弦图．

图3 图4

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．

(1)探究图形中的不等关系

问题1 请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?

问题2 大家看，这个图形里还真有点奥妙．我们从图中找到了一个不等式．这里a、b的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2+b2=2ab．

(2)得到结论：一般的，如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)

(3)思考证明：你能给出它的证明吗？

设计意图通过问题情境的设计激发学生学习的积极性，培养学生的探究能力；其次，简略介绍中国古代数学家赵爽的生平，渗透数学思想、关注数学文化．

2.深入探究，理解概念

填写下表，教师结合几何画板计算并展示下面过程；

ababa+b2ab与a+b2的大小关系 121841622……

问题4 你能给出它的证明吗？

证法1 用比较法证明.

证法2 用分析法证明.

设计意图:通过引导，让学生去证明猜想的结果，进一步巩固比较两个代数式大小的方法，并让学生明白归纳、猜想、证明是我们发现世界、认知世界的重要的思维方法．

3.自主探究，深化认识

问题3能否给基本不等式一个几何解释呢？

探究：课本第98页的“思考”

图5

设计意图:通过展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解．

4.实际运用，强化新知

例题(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？

设计意图:让学生初步运用基本不等式解决实际问题, 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活，同时又服务于生活．

三、教学反思

1.融入数学史，让学生亲历感受新知的建构过程和应用价值，体会数学的自然、合理，有价值

2.让核心素养融入数学的概念教学，培养学生思维的创造性和严谨性

3.以学生已有的经验为基础设计问题，充分调动每一位学生的积极性