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用联系的观点看“幂的运算”

2021-04-14文黄秀旺特级教师

初中生世界 2021年13期
关键词:结合律乘方单项式

文黄秀旺(特级教师)

(作者单位:江苏省南京市江宁区教学研究室)

一、为什么要学幂的运算?

回顾研究有理数运算的过程,我们经历了有理数的加法、减法,然后是乘法、除法,最后是乘方的学习。因此类似的,在学习了整式的加减运算后,也应当学习整式的乘法、除法,乃至乘方。

整式是单项式与多项式的统称,我们可以设想整式的乘法包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。其中,多项式乘多项式较为复杂,比如(3x+2y)(2x-3y),我们可以把(3x+2y)看成一个字母A,则(3x+

2y)(2x-3y)=A·(2x-3y)=A·2x-A·3y=(3x+2y)·2x-(3x+2y)·3y=3x·2x+2y·2x-3x·3y-2y·3y(还需继续计算)。这其实就是利用分配律将多项式乘多项式转化为单项式的乘积之和,再利用乘法交换律、结合律进行单项式乘单项式的运算。所以,上述三种基本类型的乘法,是以单项式乘单项式为基础的。而单项式的乘积有三种基本类型:同底数幂的乘法am·an,幂的乘方(am)n,积的乘方(ab)n。只要我们知道了它们的运算法则,就可以用乘法的交换律、结合律以及这些法则进行单项式的乘法运算了。

因此,学幂的运算就是为了进一步学习整式的乘法运算。

二、如何理解幂的运算与有理数运算之间的关系?

我们知道有理数的运算涉及的是具体的数,而幂的运算涉及的既可以是具体的数,也可以是字母。当字母取一个确定的数时,其形式就是数的运算,因此,它们在运算的顺序上是一致的,举例如下。

有理数混合运算的运算顺序为:先乘方,再乘除,最后加减。如果有括号,先进行括号内的运算。

例2计算:(-2x3)2·x3-(3x3)3。

解:原式=4x6·x3-27x9(先算乘方)

=4x9-27x9(然后做同底数幂的乘法)

=-23x9。(最后做减法)

观察以上两例,例1 是有理数的混合运算,例2 是幂的运算,它们都遵循了基本的运算顺序:先算乘方,后乘除,最后加减。也就是说,代数式的运算与数的运算在运算顺序以及运算律的应用上是一致的。

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