形助探究思路 数精严谨推理*

安徽省宿州市砀山中学 (235300) 高 凯

数形结合思想是数学的重要思想之一，它是发现问题和提出问题，分析问题和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路，进行数学推理，构建抽象结构的思维基础.

一、试题再现

题目(2020年“皖北协作区”第22届高三联考理科第21题)已知函数f(x)=ax2-2lnx(a∈R).(1)当a=1，证明f(x)≥x-lnx;(2)是否存在不等的正实数m,n满足m=n2且f(m)=f(n)，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.

二、解法探究

分析：(1)略；(2)由题m=n2及f(n)=f(m)得am2-2lnm=am-lnm，即am2-am-lnm=0,由于m,n为不等的正实数，问题转化为关于x的方程ax2-ax-lnx=0有不等于1的实根.

综上所述，a的取值范围是{a|a>0且a≠1}.

图1

{a|a>0且a≠1}.

评析：分离参数a后，避免了参数讨论，学生更容易接受和理解，但是美中不足的是高中阶段不要求掌握洛必达法则.

图2

图3

图4

方法5:由题得a(x2-x)=lnx.令g(x)=a(x2-x);h(x)=lnx,两函数的图象如图4所示.当a≤0时，两函数的图象只有一个交点(1,0)，不符合题意.

评析：把抽象问题和直观的图象结合起来，通过图象化抽象为直观，易于发现解决问题的思路；然后结合图象进行推理论证，从而达到精确化，理性化的理解.

三、心得体会

华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”

数形结合的思想正是把“最活跃的形象思维”与“最严密的逻辑思维、代数推导”结合起来理解问题、解决问题的一种思想方法.教学时我先用几何画板作出不同解法构造出的函数图象，先让学生直观感受图形的变化与运动的规律，然后进行数学推理.方法1推理严谨，但过于抽象，对学生能力要求较高，得分率低；方法2，方法3转化为图象解题，形象直观，容易发现思路，但需准确画出图象.方法4，方法5从图象的位置关系入手，利用切线研究问题，需从图象变化中寻找分类讨论的切入点.

通过学习，提升学生利用图象分析问题，建立形与数的联系，探索解决问题的能力，增强他们运用几何直观和空间想象思考问题的意识，进而感悟数学的本质.