基于ZRM-MDH模型转换的串联机器人运动学参数标定

乔贵方 万 其 吕仲艳 康传帅 孙大林 温秀兰

(1.南京工程学院自动化学院, 南京 211167; 2.东南大学仪器科学与工程学院, 南京 210096)

0 引言

近年来，工业机器人在高端制造领域和农业领域的应用受到国内外研究机构的关注[1-3]。为了实现高精度、低成本、柔性化的加工系统[4]，欧盟于2010—2013年资助 COMET 项目，用于研究工业机器人在机械加工方面的关键技术。近些年，丁汉院士团队[1]、廖文和团队[5]以及邾继贵团队[6]重点研究将工业机器人应用于航天发动机的叶片智能磨抛作业、航天工业中钻铆/装配作业以及制造现场在线测量等高端制造领域。目前，工业机器人重复定位精度虽能达到0.01～0.1 mm，但其绝对定位精度仍为毫米级。利用视觉测量系统反馈实时调节工业机器人的末端位姿能够提高作业精度，但影响机器人的运动效率[7-8]。研究表明，采用机器人标定技术能够有效地提高工业机器人的绝对定位精度[9]。

机器人标定一般分为关节级标定、运动学参数标定与非运动学标定[10-11]。运动学参数误差是影响机器人作业精度的主要因素，约占总误差的80%以上[12]。运动学参数描述关节轴线之间的几何关系，如连杆长度、连杆扭角、关节距离、关节零位等。在机器人运动或载荷变化时，运动学参数误差保持不变，即运动学参数误差对机器人的所有位形是常数。基于运动学误差模型的机器人标定过程包括建模、测量、辨识及补偿4个基本步骤[13]。运动学模型应具备完整性、连续性和极小性。目前，机器人控制器中广泛使用DH运动学模型，但当相邻两轴平行或接近平行时，DH模型存在奇异性[14]。为解决该问题，HAYATI等[15]提出了MDH模型，其核心是在DH模型的基础上添加一个角度参数来描述相邻平行轴的位置关系，但该模型在相邻轴线垂直时也会出现奇异状态，同样也不具备完整性。POE模型[16]基于旋量理论的指数积表达式提出，该模型满足完整性、连续性和极小性。但因目前机器人控制器主要基于DH模型进行正逆解运算，故基于POE模型不易于实现运动学误差补偿。按照误差模型建立的方式，标定模型可分为基于位置误差模型、基于距离误差模型和基于位姿误差模型[17-19]，其中基于位姿误差模型更为完整，得到的机器人运动学模型精度更高，并且全面优化了机器人末端位置和姿态精度[20]。

本文提出一种基于模型转换的串联机器人运动学参数标定方法。该方法基于零参考模型建立机器人的位姿误差模型，零参考模型(Zero reference model，ZRM)具有完整性和连续性，从而能够实现高精度的运动学参数误差辨识；为更易于实现误差补偿，将ZRM的参数误差转换成MDH模型的参数误差。通过以上两步，进一步提高工业机器人的绝对定位精度，并易于实现误差补偿。

1 串联机器人运动学模型

1.1 机器人标定试验系统

图1为搭建的机器人标定试验系统。该系统使用Leica AT960型激光跟踪仪，其测量不确定度为±(15 μm+6 μm/m)。配套使用的测量分析软件为Spatial Analyzer，该软件提供了拟合几何体、建立坐标系等功能。该系统待标定的为Staubli TX60型工业机器人，该机器人重复定位精度为±0.02 mm，额定负载为3 kg，最大负载为5 kg。激光跟踪仪T-MAC型测量工具安装在工业机器人末端法兰盘上，激光跟踪仪能够准确测量其空间位姿。本文的测量过程均符合GB/T 12642—2013及ISO 9283工业机器人性能规范及其试验方法标准[21]。

1.2 基于零参考模型的机器人正运动学

根据零参考模型的建立原则[22]，建立Staubli TX60型机器人各连杆坐标系如图2所示。零参考模型中定义了两个矢量：①单位方向矢量ui，确定各个关节轴的方向。②位置矢量bi+1，确定各个关节轴的相对位置。如图2所示，以机器人基坐标系定义为零参考模型中的参考坐标系，从而获得机器人零位状态下的各个关节沿关节旋转轴线的单位方向矢量ui=(uix,uiy,uiz)以及关节i-1和关节i之间的位置矢量bi=(bix,biy,biz)。

根据以上定义，Staubli TX60型工业机器人的零位置模型名义参数如表1所示，而机器人相邻两关节间旋转变换矩阵表达式为

表1 TX60型机器人零参考模型名义参数Tab.1 ZRM nominal parameters of TX60 robot

(1)

其中

Vi=1-cosqiSi=sinqi

式中qi——关节i的角位移

而机器人相邻连杆之间的坐标系齐次变换矩阵表达式为

(2)

因此，机器人的末端位姿在其基坐标系中位姿表达式为

(3)

2 基于ZRM的运动学参数辨识

2.1 机器人误差模型

建立运动学误差模型是实现机器人标定的重要步骤之一。将机器人末端定位误差定义为实际位姿测量值TR与理论位姿值TN差值ΔT。根据式(3)，将TN对模型参数uix、uiy、uiz、b(i+1)x、b(i+1)y、b(i+1)z进行偏微分并忽略高阶项，可以得到第j个位姿点的定位误差为

(4)

其中 Δη=[ΔuixΔuiyΔuizΔb(i+1)x

Δb(i+1)yΔb(i+1)z…]T

[ΔnjΔojΔaj]=ΔRj

式中 Δη——待辨识的零参考模型参数误差

ΔPj、ΔRj——第j个待测位姿点的位姿误差

Prj、nrj、orj、arj——将激光跟踪仪测量的位姿转换到机器人基坐标系下的实际位姿

Pnj、nnj、onj、anj——基坐标系下机器人理论位姿

将式(4)写成矩阵形式可得

(5)

式中 ΔEj——待测点位姿误差

Hj——零参考模型雅可比矩阵

2.2 ZRM参数冗余性分析及辨识

由于误差模型中的误差雅可比矩阵可能存在线性相关的问题，使运动学模型中的某些参数无法辨识，同时也会导致优化算法的辨识精度较差。为避免优化算法陷入局部极小值，首先分析零参考模型的冗余参数，将冗余参数去除。矩阵奇异值分解(SVD)能够获得冗余参数，对辨识雅可比矩阵进行QR分解[23]，QR分解公式为

(6)

式中Q——r×r正交矩阵

O(r-c)×c——零矩阵

R——c×c上三角矩阵

理论上，在矩阵R对角线上为0的元素所对应的误差参数无法辨识。实际处理时，可将一些数值较小的对应元素去除。通过以上处理，机器人零参考误差模型对应的冗余参数如表2所示。

表2 零参考误差模型冗余性分析Tab.2 Redundancy analysis of ZRM error model

基于ZRM构建的误差模型为典型的非线性方程，对于求解非线性方程的最优问题，目前使用较为广泛的优化算法是Levenberg-Marquardt(LM)算法，根据文献[24]可知，LM算法收敛快速稳定，计算复杂度较小。将式(5)误差模型改写为

fj(Δη)=ΔEj-HjΔη

(7)

构建LM优化算法的目标函数为

(8)

LM算法的递推公式为

(9)

其中μ是一个正数，当μ接近于0时，这个算法近似于Gauss-Newton算法；当μ很大时，这个算法近似于最速下降法。

以Staubli TX60型机器人的基坐标系为参考坐标，以坐标值(550 mm, 0 mm, 550 mm)为中心点，在边长为1 000 mm的正方体空间内随机选择50个测量点，并使这50个测量点尽可能分布在整个正方体空间内。根据式(4)计算位姿误差，辨识得到ZRM模型的参数误差如表3所示，标定前后的机器人绝对定位精度如图3和图4所示。标定前TX60型机器人在x、y、z轴上的平均定位误差分别为0.146 3、0.306 4、0.416 1 mm，标定后的TX60型机器人在x、y、z轴上的平均定位误差分别为0.034、0.021、0.031 mm，标定前TX60型机器人在x、y、z轴上的平均角度误差分别为0.000 46、0.001 4、0.000 62 rad，标定后的TX60型机器人在x、y、z轴上的平均角度误差分别为0.000 62、0.000 67、0.000 79 rad。从以上结果可以看出，标定后的机器人在3个轴向上的位置精度均有较大改善，平均综合定位误差降低了90.63%。标定后的机器人在y轴向上的姿态精度有较大改善，并且在3个轴向上的姿态精度相对标定前更为均衡，平均综合姿态误差降低了25.08%。

表3 辨识出的零位置模型参数误差Tab.3 Identified parameter error of ZRM model

3 ZRM-MDH模型转换标定方法

如图5、6所示，基于MDH误差模型标定后的机器人在x、y、z轴上的平均定位误差分别为0.041 85、0.041、0.054 6 mm，在x、y、z轴上的平均角度误差分别为0.001 57、0.000 95、0.000 6 rad，可以看出，标定后的机器人在3个轴向上的位置精度均有较大改善，平均综合定位误差降低了85.09%。但基于MDH误差模型标定后机器人姿态误差较大。因此，基于ZRM误差模型辨识后的模型精度高于基于MDH误差模型。由于目前工业机器人主要采用DH模型进行建模，基于零参考模型所辨识的参数无法直接用于机器人误差补偿。因此，本文提出一种基于ZRM-MDH模型转换的标定方法，能够实现高精度的运动学参数辨识。

圆点分析法(Circle point analysis，CPA)是一种通过测量工业机器人关节轴线进行标定的技术[25]，通过获取关节轴线的方向向量计算工业机器人的运动学模型参数。ZRM直接给出在参考坐标系下关节旋转轴线的单位方向矢量，因此，可将ZRM误差模型计算得到的运动学误差通过CPA方法转换为DH模型的运动学参数误差。根据获得的ZRM运动学参数对机器人的各关节建立坐标系，如表4所示。

表4 基于ZRM的坐标系定义Tab.4 Definition of coordinate frame based on ZRM

根据以上建立的坐标系，计算被标定的机器人MDH参数，计算过程如下：

首先判断相邻关节轴线Zi-1与Zi是否近似平行，若|Zi-1-Zi|≤0.000 1，则认为相邻关节轴线近似平行。

当相邻关节轴线不近似平行时，则βi=0，Xi-1与Xi之间在绕Zi-1正向上的夹角为

(10)

式中Xi——关节坐标系i的X轴轴向单位矢量

Oi-1与Oi之间在Xi正向上的距离为

(11)

式中Oi——关节坐标系i原点坐标矢量

Oi-1与Oi之间在Zi-1正向上的距离为

(12)

Zi-1到Zi之间绕Xi正向上的夹角为

(13)

当相邻关节轴线近似平行时，则di=0，Xi-1与向量lOi-1Oi间在绕Zi-1正向上的夹角为

(14)

Oi-1与Oi之间的距离为

ai=|Oi-Oi-1|

(15)

Zi-1到Zi之间绕Xi正向上的夹角为

(16)

其中Yi-1=li×Zi-1Yi=Xi×Zi

Zi-1到Zi之间绕Yi正向上的夹角为

(17)

但因零参考模型中的参考坐标系和DH模型中的基坐标系无法通过以上步骤进行统一，因此，在以上计算得到的参数误差基础上，添加基坐标系修正矩阵，该矩阵为

(18)

根据模型转换后的残余误差，通过LM算法拟合修正矩阵的参数，该矩阵如表5所示。随机选择40个定位点作为测试点，分别经过基于MDH误差模型标定，基于ZRM误差模型标定以及基于ZRM-MDH模型转换方法，标定结果如图7所示。由图7可以看出，3种方法均能够实现高精度的运动学参数标定，其中基于MDH误差模型标定后的机器人平均综合定位误差为0.081 mm，基于ZRM误差模型标定后的机器人平均综合定位误差为0.052 mm，而经过ZRM-MDH模型转换后的机器人平均综合定位误差为0.062 mm，相对于基于MDH误差模型的平均综合定位误差降低了23.5%。

表5 基于MDH模型与基于ZRM-DH模型转换的辨识结果对比Tab.5 Comparison of identification results of MDH model based and ZRM-DH model transformation based calibrations

为了进一步验证结果的正确性，分别在TX60型机器人前侧工作区域内的上下左右中5个方位分别选择5个边长为500 mm的小正方体，在每个正方体内随机选取50个测量点，5个区域的测量点分布图如图8所示，计算结果如图9所示。由图9可以看出，基于MDH误差模型辨识得到运动学模型在各个区域内的误差稳定性相对较差，平均综合定位误差为0.132 mm，而基于ZRM-MDH模型转换所获得的运动学模型误差稳定性相对较好，平均综合定位误差为0.099 mm，平均综合定位误差降低25%。因此，本文提出的基于ZRM-MDH模型转换的机器人运动学参数辨识方法具有较好的标定效果。

4 结束语

针对串联工业机器人运动学参数标定问题，提出了一种基于ZRM-MDH模型转换的机器人运动学参数标定方法。该方法首先利用零参考模型对串联工业机器人进行标定，然后基于圆点分析法将零参考模型转换成MDH模型。在TX60型机器人前侧工作区域内任意选择50个测量点，实施运动学参数误差标定。实验表明，基于MDH模型标定后的机器人平均综合定位误差为0.081 mm，而经过ZRM-MDH模型转换后的机器人平均综合定位误差为0.062 mm，TX60型机器人的平均综合定位误差降低了23.5%。为验证标定方法的稳定性，在TX60型机器人前侧工作区域内选择5个区域实施运动学参数误差标定，结果表明，基于ZRM-MDH模型转换获得的标定精度稳定性相对较好。本文提出的基于ZRM-MDH模型转换的机器人运动学参数标定方法既能够直接获得机器人DH参数，易于实现机器人误差补偿，又能够有效地提升机器人的标定精度。