创新 发展 提升

【摘要】指数函数是高中数学重要组成部分，内涵过于抽象，学生理解时有偏差，参与度不高。基于此，本文简要概述高中数学指数函数教学，并围绕教学分析及教学方案进行创新探究，设置教学案例发展学生数学思维，提升学生的数学核心素养。

【关键词】高中数学  指数函数分析  思维培养  信息技术

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）35-0161-04

2021的高考刚刚结束不久，高考命题坚持立德树人，优化情境设计，增强试题开放性、灵活性，充分发挥了高考命题的育人功能和积极导向作用。高考引导我们数学教师在日常教学中重视知识生成，激发学生潜能，转变课堂教学方式。

一、问题的缘起

（一）高中指数函数内涵过于抽象，教师在设计教学方案时有时会设计过难，学生理解会有偏差、参与度不高。学生对指数函数的分析有时候只停留在表面，没有挖掘其本质意义。指数函数具有多样化的特征，但是在日常教学中教师没有引导学生深入思考进行挖掘多种解题思路。

（二）教师没有及时转变教学观念，还是采用“填鸭式”的教学方法，这样就不能有效提升学生的数学核心素养。

二、问题的思考

首先，素质教育理念下数学教育的变化。随着素质教育在我国高中教学领域的实施，不难发现现阶段的教材、教学任务、目标以及方式都有了新的改善，全面分析指数函数课程教学现状，适当对课程教学进行优化，选择符合学生接受的知识，促进学生学习能力的提升，遵循高中数学教学的基本需求。从教学方式方面来看，需要结合现代化技术，不断探索新的教学方向和手段，严格把握学生思想的阶段性特征，面向全体学生进行综合性培养，鼓励其独立思考、勇于质疑，利用数学知识的衔接性特征培养思辨精神和创新精神，在此基础上激发对高中数学指数函数的学习兴趣。其次，指数函数学情分析。指数函数教学是高中数学人教A版必修一的内容，这一时期的学生思维正处于由具象到抽象过渡的重要阶段，对新知识具有一定的憧憬，且独立意识较强，需要得到一定的尊重来满足内心需求，具有主动学习的意识，好奇心会更加強烈。在素质教育理念下，要求教师将指数函数的相关知识点拆分成具体的阶段性步骤，从而引导学生进行自主探索并逐渐形成完善的思维，同时及时转变教学观念，改变以往填鸭式的教学模式，真正做到以人为本、尊重差异。

三、问题的实践

（一）创新指数函数的教学方法激发学习兴趣

创设教学情境是最基础的数学教学模式，是时代性原则的具体表现，在实际的教学过程中教师可以自主开发教学资源，选择与生活息息相关的信息衍生为新的指数函数，为了加上记忆提高效果，可以选择能够动手实践的内容。

在高中数学指数函数教学的过程中，为引导学生正确掌握重点知识，教师应合理地对教学方法进行改进，如巧妙运用情境教学法，调动课堂积极性、活跃氛围，激发学生学习热情;合理应用信息技术，以形助数，增强学生的直观理解，顺利突破知识难点;通过典型问题的分析与归纳，培养学生发现、分析、解决问题的能力，促进数学水平的提升。

案例1：指数函数的情境引入

故事情境：国际象棋起源于古印度，传说印度国王渴望一种新鲜刺激的游戏。某天，宰相西萨带着他发明的棋盘献给国王，国王打算重赏他。西萨说：“陛下，请您在棋盘上的第1个小格里，赏给我2粒麦子;在第2个小格里给4粒;第3个小格里给8粒……以此类推，以后每一个小格的麦粒数都是前一小格的两倍，直到放满棋盘上所有的64个格子。”国王爽快地答应了。结果发现，即使全印度甚至全世界的麦粒都拿来，也兑现不了对西萨的诺言。

问题1：西萨用了一个神秘的函数，使麦粒产生了爆炸性的增长。如何计算棋盘上第64个小格里所放的麦粒数呢？

问题2：假设棋盘上第x个小格里所放的麦粒数为y，如何来刻画y与x之间的函数关系呢？

通过教师的指导，学生不难得出y=2x，x∈N∗的函数关系式。

设计意图：通过经典故事的情境引入，让学生感受到指数函数的爆炸性增长，激发探究欲望。从实际问题中抽象出函数模型，提升数学抽象与建模能力，为构建指数函数的概念做好“铺垫”。

问题3：《庄子》中写道“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”假设截取次数为x后，木槌剩余量为y，请写出它们之间的函数表达式。

学生答案：y=（）x，x∈N∗

【设计意图】让同学们体验不同的指数函数模型，教学过程中渗透数学文化史。

问题4：你能通过以上举例抽象出一般性的数学模型吗？

通过案例引入后，由特殊到一般进行归纳，初步建立函数模型y=ax（a>0且a≠1，x∈R）培养学生数学抽象能力。接下来引导学生分析y=ax的底数a的范围。可以结合上节课研究指数与指数幂的运算，把函数的定义域扩充为实数集R，那么对底数a的取值有什么要求呢？为什么？可以分小组讨论。让学生对定义式中的关系有着一定掌握，并通过两种情况进行表述，如：第一，如果a=0或a<0，以及x<0，ax就没有意义，第二，a=1时，y=ax=1的情况不在研究的范围。教师引导，得出指数函数的概念：一般地，函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，为了提升课程教学效果，教师可以引入例题：

指出下列哪些是指数函数？

（1）y=1.073x （2）y=（π）x （3）y=（-2）x

（4）y=x2 （5）y=2x+1 （6）y=3x·2x

【设计意图】通过合作探究加深对指数函数概念的理解，总结研究问题的方法，提升解决数学问题的能力，为后续的学习做好铺垫埋下伏笔。

（二）借助信息技术发展指数函数教学实践

案例2：指数函数的图像与性质

指数函数的教学离不开图形、坐标轴的运用，在进行定义转述或图形性质分析时，可以利用多媒体和信息技术进行启发式教育。下面重点画指数函数的图像，并借助图像探究指数函数的性质。

我们通常采用描点法画函数图像，但在描点的过程中无法精确判断变化过程，教师引入GeoGebra应用软件。 老师演示后可以请几位同学上台操作，变化底数a作出不同的指数函数的图像，动态演示中进行局部放大或缩小，观察图像的整体变化情况以及细节，让同学们从大量的信息中归纳指数函数的性质。共同作出y=2x，y=（）x，y=3x，y=（）x的图像。

根据图像，很容易发现指数函数的以下性质：

（1）定義域是x∈R， 值域是y∈（0，+∞）。

（2）图像在x轴上方，都经过定点（0，1）。

（3）当0<a<1时函数在R上是减函数;当a>1时，函数在R上是增函数。

（4）指数函数不具有奇偶性。

（5）y=ax与y=（）x的图像关于y轴对称。

【设计意图】利用教材配套的教学课件“指数函数的图像”借助GeoGebra进行绘制，不仅节省了时间，图像也精确美观。通过软件上图像的动态展示，为同学们创设了探究的条件，激发了学习的欲望，实现了教学的时效性与延展性。在同一个坐标系中可以更加直观的进行观察对比，以最大限度的发挥了信息技术的功能。在传统的教学中，不可能把y=2x，y=（）x，y=10x，y=（0.1）x四个指数函数的图像直观地体现，借助信息技术的力量解放老师，发展教学，助力学生活动，使教学活动变得丰富多彩。

然后，再进一步巩固指数函数的图像性质。选择以下例题：

利用指数函数的性质比较下列各组值的大小关系：

①1.82.5与1.83 ②0.8-0.2与0.8-0.3 ③1.90.1与0.72.3

【设计意图】通过构造指数函数的方法，借助指数函数的单调性及图像比较大小，加深对指数函数性质的理解，渗透数形结合的思想方法。

（三）加强指数函数的图像教学深化知识理解

案例3：指数函数的图像应用

问题1：做出下列函数的图像，并说明它们由哪些指数函数变化而来。

（1）y=（）x+1 （2）y=2x-2

（3）y=2|x-1|    （4）y=|1-3x|

解（1）：y=（）x+1的图像过（0，）及（-1，1），由函数y=（）x的图像向下平移1个单位可以得到。

解（2）：y=2x-2的图像由y=2x的图像向下平移2个单位。

解（3）：以翻转变化的方法进行解答，然后把y=2|x| 的图像向右平移1个单位，可以得到y=2|x-1|的函数图像。

解（4）：首先将函数y=-3x图像向上平移一个单位，然后保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方图像对称翻折到x轴上得到，特别注意渐近线。

【设计意图】在概念形成之后，把握时机进行深化，设置一定的难度，在变通探究中提升数形结合的意识，加强对指数函数图像的理解。当学生遇到疑问时，可再次发挥信息技术的辅助功能，以形助数发展数学抽象核心素养。

问题2：2x=x2解的个数是（   ）

A.1      B.2    C.3    D.4

问题3：方程lg（x+4）=10x的根的情况是（    ）

A.仅有一根    B.有一正根和一负根

C.有两个负根    D.没有实数根

问题2  问题3学生的错误图像  问题3的正确图像

【设计意图】通过问题1的解决，可以有效检验学生图像学习的效果，也是对之前所学知识个回顾。问题2中，学生很容易联想到通过图像求交点的方法，而且有百分之六十的学生会错选B。通过了解学情发现出错的原因，是因为没有精确把握两个图像的变化趋势，尤其是没有抓住指数函数爆炸式增长的显著特征。要注意对比分析图像的完整性，养成严谨的思维习惯。补充问题3，对学生准确画出指数函数的图像有了更高的要求，同一直角坐标系中，还要加强指对数图像之间的联系，精准作图才能有效解题。以这三个问题作为载体，加深了对指数函数的认识，细节之处培养了严谨的思维品质，美好教育潜移默化。

（四）把握指数函数的变式教学提升数学能力

案例4：指数函数的综合教学

高考中涉及到指数函数的问题难度比较大，教学中老师要发挥作用帮助学生加强知识间的联系，引导学生归纳解题方法提升数学能力

问题1：   例题：方法规律总结——指数找基友

f（x）

e'=0⇔[f'（x）+f（x）]e=0⇔f'（x）+f（x）=0

f（x）

e'=0⇔[f'（x）+f（x）]e=0⇔f'（x）-f（x）=0

从这两个式子，我们大致可以得到如下经验：

指数找基友：如果我们要证明e小于（或大于）一个非超越式f（x），可以考虑作商法，这是因为作商构造出的新函数f（x）e极值点一般可求，即方程f'（x）-f（x）=0可解。可避免多次求导，此所谓“指数找基友”——给e找基友f（x）。

下面用一道例题进行说明：

（2018全国二理数21（1））已知函数f（x）=e-ax，若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1。

证明过程：当a=1时，f（x）=e-ax，不等式f（x）≥1等价于x+1≤e。

构造函数g（x）=，求导可得g'（x）==≤0

其中等号只在x=1时取得，g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以当x≥0时，g（x）≤g（0）=1，又因为e>0，所以x+1≤e，故原命题得证。

问题2：巩固练习：求证：当x≥0时，有e≥1+x++成立。

解析：构造函数，令f（x）=e·（1+x++）

则f'（x）=e（1+x+）-e·（1+x++）=-e，

当x<0时f'（x）>0，故f（x）在（-∞，0）上单调递增;当>0时f'（x）<0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增。

所以，f（x）在x=0处取得极大值f（0）=1，从而得证。这里也可以为同学们补充优美的泰勒展开式：e=1+++…+…，此题具有高等数学背景。

【设计意图】教师最失败的口头禅是：“这种解题方法讲了很多遍，为什么还不会呢？”哪怕是原模原样的题目再现，仍然不会做，原因到底在哪里？教学生知识融汇贯通，解题举一反三，那么“一”的选择尤其重要，可以一题多解，也可以多题一解。关键是学会从问题的解决中归纳解题方法，形成解题规律，知识就是方法，方法就是策略。

问题3：求证以下不等式：e-1≥x≥ln（x+1）

此不等式的应用尤为广泛，来但从近几年的教学经验中发现学生特别容易遗忘，掌握效果差，究其原因还是图像应用意识薄弱。通过多次实践，尝试改变题目设计，效果更佳。

已知一次函数f（x）满足：对任意的x∈（-1，+∞），都有e-1≥f（x）≥ln（x+1）成立，求f（x）的解析式。

解析：假设f（x）=ax+b，由题意知x∈（-1，+∞）时，y=e-1与y=ln（x+1）都是单调递增函数，由图像可得到f（x）=x。在此结论熟练的情况下稍作变式，对于下面的高考题就可以迎刃而解。

问题3的图像         问题3的常用不等式的变式

问题4：（2018浙江卷10）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1>1，则（   ）

A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3， a2<a4

C.a1<a3，a2>a4 D.a1>a3，a2>a4

分析：应用上面的变式结论，∵lnx≤x-1，∴a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）≤a1+a2+a3-1，得a1≤-1，即a1q3≤-1，∴q<0，接下来再分两种情况：對q≤-1和-1<q<0进行讨论，很容易得出正确答案。

【设计意图】指数函数的解题方式相通，教师需在教学中注意培养学生的联想思维和举一反三能力，使对学生的教育从具体解题方式的教育整合到思维教育。从教学方法上，重视知识的归纳与积累，注重学生对问题的转化与迁移能力。从效果上，通过“多题一解、一题多解、一题多变”的变式教学，培养学生举一反三的解题能力，提升数学核心素养。

四、问题的反思

在高中指数函数教学阶段，由于难度较高，学生在学习时经常受一定因素限制而无法准确掌握重点知识，限制学生学习能力的提升，无法最大化将课程教学的效果展现。对此，在教学完成后，教师应加强对教学反思的重视，并通过系统规划，引导学生深刻掌握指数函数的重点内容。在进行指数函数教学设计时，教师应事先通过问题情境激发学生的学习兴趣，促使学生可以主动思考问题，随后教师引出指数函数图像及定义，并针对y=（）与y=2图像对学生采取分组形式进行教学。

教师对学生绘制过程继续指导，通过GeoGebra应用软件，对指数函数图像动态演示准确探究，帮助学生掌握重点知识，鼓励学生通过图像观察了解其形式，促使学生顺利完成一般问题的解答。通过案例的引进，给予学生学习的机会。教师应将教育视野从具体的知识内容上升到思维教育。

在课程教学阶段，教师需要对问题产生的主要原因进行分析，洞悉知识方法之间的内在联系，以一种科学严谨的思维习惯来研究图像探究性质。创新教学方案，建立指数函数知识体系，真正意义上提升教学的有效性。

四、结语

综上所述，高中数学指数函数部分的教学存在一定衔接性和复杂性，其应用又具有很大的可塑性与延伸性。本文从实践角度出发，基于教材和教学情境设计了实践教学中的模式与方法，重激活，善转换，勤反思。教师要从知识的特征整体把握教学内容，做学生知识方法的引导者，深度落实现阶段新课程改革的相关要求。牢记时代使命，切实保证教学质量，为学生的成长负责。

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作者简介：

薛飞（1980年8月-），女，汉族，湖北省襄阳市人，本科学历，中学一级教师，研究方向：高中数学教学。