立足模型分析，自如解决问题

莫淑玲

数学模型是使数学知识在学生头脑中从模糊走向清晰的桥梁，能够通过表象直面本质。教师要使数学建模思想、方法在教学中合理渗透，让学生习惯利用数学模型来解决问题，帮助学生快速找到解决数学问题的途径，提高解决问题的基本技能，提高数学素养。

一、合理建模，聚焦数学模型

数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。建构数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

2011版《数学课程标准》里阐述：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。利用数学模型来进行教学，在平时的数学教学中比比皆是。尤其是在解决问题教学中应用得尤其多。

二、画图助思，培养空间观念

任教五年级的数学老师应该有共同的集体印象：在教学义务教育教科书五年级下册的“长方体和正方体”单元时，是较为棘手的，花了九牛二虎之力，教学效果却不理想，只见工夫不现效果。不理想主要是如下几个方面：空间想象能力差;应用各种计算公式时混淆不清;解决问题时弄不请问题到底求什么。

2011版《数学课程标准》里关于知识技能方面，第4-6学段要求之一：通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识：在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念;经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

在教学“长方体和正方体”单元中求长方体和正方体表面积时，会发现这样的现象，如果题目中配上图，学生的错误率会比较低，同样类型的题目，如果题目中没有配上图，学生解题出错率会比配上图时多得多。在这个现象下面，反映出学生的空间想象能力比较差：尽管他们把长方体的表面积公式背的比较熟练，但是分不清楚，在求前后面的面积时，该长×宽、长×高、或是宽×高。在求左右面的面积：该多少乘多少，求上下面面积时又该多少乘多少。在我教会学生在解决此类问题时画出图来帮助思考，并把题目中的长、宽、高的数据标在图中时，学生有了图形的直观支撑，问题迎刃而解。如，做一个长12分米，宽8分米。高10分米的长方体的玻璃缸（无盖）至少需要玻璃多少？（图1）

显而易见，学生看着图，就能知道要求前后面面积该用：10×12，求左右面面积该用：10×8，求上下面面积时该用：12×8。在学习数学中，图的启示作用不可小看，尤其在学习几何图形的知识时，对于空间观念并不是很强的小学生来说，更是举足轻重。

在教学义务教育教科书五年级下册的“数学广角——植树问题”单元时用上模型“画图”就能引导学生对比分析，快速找对解决方法。植树问题包括三种情况：两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽。如何弄清这三种情况呢？画上图后，三者的联系与区别立刻清晰呈现（如下图）。

三、数形结合，理清数量关系

人教版义务教育教科書选择在五年级第一学期开始学习简易方程解决问题。在教学这个内容的过程中，学生会遇到多种的困惑，列不出正确的方程等式是学生遇到的最常见的一种困难。如：在用方程解决“猎豹是世界上跑得最快的动物，速度能达到每小时110千米，比大象的2倍还多30千米，大象最快能达到每小时多少千米？”时，有的学生会列出这样的错误等式：110×2+30=X。学生没有从根本上把列方程解决问题与列算术解决问题区分开来，深刻分析下来，应该是跟学生对于题目中的数量关系不清晰，思维模糊，又受到以前用算术解决问题的思维定势的影响，才会列出以上的“两不像”的错误等式。

学生低年级长期习惯于算术方法解决实际问题，受算术思维定势的影响，很长一段时间不适应代数的思维方式，因此需要加强代数思维方式方法的训练，来加强方程的教学。学生能自如地应用列方程来解决问题，学会的根本——是源于对具体的某道问题中的数量关系的深刻分析，懂得各个数量之间的关系，进而并明白这些数量关系该用怎样的含有未知数的等式来表示出来。

在小学阶段中用方程解决问题，无论是多么复杂的问题，分析出来，跑不出最初学习数学时的最简单，最基本的数量关系，如：部分量+部分量=总数;大量-小量=相差数;每份量×份数=总数;等等。因此，要在教学中重视这些基础数量关系的训练，经常渗透。我在教学方程内容时，时常会设计如下的题目让学生训练，使到他们熟练。

1.电视机厂计划生产5000台的电视机，要5天完成。平均每天生产多少台？等量关系式：（）×天数=计划生产的总台数

2.公园里有月季花250盆，比菊花多170盆。菊花有多少盆？

等量关系式：（）-（）=月季花比菊花多的盆数

所以学生能用方程轻松自如地解决问题，关键的是引导学生深度分析题目中的数量关系，将一个问题的解决拓展为一类问题的解决，将原型结构上升为教学结构，并弄明白。

在学习用简易方程解决问题的教学过程中，要逐渐把解方程常用的原型结构——基本的数学代数等式适时教给学生。用简易方程解决问题基本数学代数等式一般有以下几种（图2）：

如：小林骑自行车，每分钟骑250米，小云骑自行车每分钟骑200米，小林家和小云家相距4.5千米，周日早上9：00俩人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？学生通过数量关系的分析，要用“小林骑的路程+小云骑的路程=总路程”来找到等量关系，而“小林骑的路程”与“小云骑的路程”都分别要用“速度乘时间”来表示。一路抽丝剥茧，学生自然会找到“ax+bx=c”这个模型来列出方程了。

四、深入本质，多种方式呈现

小学数学解决问题的有四种基本运算意义：用加法解决，用减法决，用乘法解决，用除法解决。如果想学生在解决数学问题时能准确把握，在这四种运算方法最初引入时，老师要给予足够的重视。遇到有些没有学好这四种基本运算意义的学困生，他们对于解决高年级的数学问题时，简直无从入手。解决问题的方法错误得千奇百怪，而且离谱。寻根溯源，这些病因许多时是因为最初学习用数学方法解决问题时，对于四种基本运算的意义理解不清，掌握不好引起的。尤其在五年级上册“用方程解决问题”时，遇到同一道题目，可以有多种等量关系来指导时，由于四种基本运算意义最初学习时，理解得比较模糊，所以他们有心无力，列不出正确的方程式来解决问题。学习列方程、解方程可以体会蕴含其中的建摸思想、化归思想，作为后面学习解决问题的数学工具。从算式发展到方程，这又是数学思想方法上的一次飞跃。它使学生发现和提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及思维的灵活性提高到一个新的水平。

如：在教学人教版义务教育教科书选择在五年级上册第74页例2（图3：足球上黑色的外皮都是五边形的，白色的外皮都是六边形的。白色皮共有20块，比黑色皮的块数的2倍少4块，共有多少块黑色皮？）时，我会把多种的列法都引导学生思考、弄懂。

虽然学生从分析题目的字面上来看，从“白色皮共有20块，比黑色皮块数的2倍少4块。”来分析，学生比较容易列出“2x-4=20”，但是为了学生思维的发展，提高他们解决问题的能力，我们应该帮助学生理解清楚“白色皮的块数”是小量，“黑色皮块数的2倍”是大量，它们之间相差“4块”，学生的思考从模糊走向清晰，自然就会列出另外两道方程等式了（②2x=20+4③2x-4=20）。

总而然之，数学模型的建立是数学学习的重要方法，是数学学科学习的内在规律，同时也是由学生学习特点所决定的。在具体的教学中，我们要重视培养学生数学建模能力，不断增强学生的应用意识，让学生亲身参与到概念与定理的形成过程中，提高学生分析问题与解决问题的能力，激活学生的思维，激励学生创新，从而让学生在主动思考与探究中掌握建模这一重要数学思想与方法，促进学生数学知识、素养与综合能力的整体提高。