滞后型泛函微分方程的解关于参数的可微性

2021-04-10杨银杏

兰州文理学院学报(自然科学版) 2021年2期

杨银杏

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)

0 引言

1957年Kurzweil[1]建立的广义常微分方程理论在处理常微分方程、滞后型泛函微分方程、拓扑动力系统及脉冲微分方程等问题时有着重要作用,已被许多学者研究,并取得了一些新的成果[2-3].Federson等[4]建立了滞后型泛函微分方程与广义常微分方程的等价关系,从而,广义常微分方程中的很多相关理论都可以应用到滞后型泛函微分方程中.文献[5]中研究了广义常微分方程的解关于初值和参数的可微性,尽管广义常微分方程的解关于t不一定是可微的，甚至不是连续的,但方程右端函数关于参数(或关于x)的可微性仍能保证广义常微分方程的解关于参数(或初值条件)是可微的.本文借助滞后型泛函微分方程与广义常微分方程的等价关系,考虑滞后型泛函微分方程

(1)

的解关于参数的可微性.

方程(1)等价于积分方程

(2)

其中：函数x:[t0-r,t0+σ]→Rn,r>0,σ>0；xt:[-r,0]→Rn且定义xt(θ)=x(t+θ),θ∈[-r,0],t∈[t0,t0+σ],λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn,其中

P={xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}⊂G([-r,0],Rn)，

G1∈G([t0-r,t0+σ],Rn)，

(B)对所有的(x,λ1),(y,λ2)∈G1×Λ,u1,u2∈[t0,t0+σ],存在Lebesgue可积函数L:[t0,t0+σ]→R,使得

本文利用广义常微分方程的解关于参数的可微性,讨论滞后型泛函微分方程(1)的解关于参数的可微性.

1 预备知识.

定义1[6]函数U:[a,b]×[a,b]→Rn在区间[a,b]上称为Kurzweil可积的,如果存在I∈Rn,使得对任意的ε>0,存在正值函数δ:[a,b]→(0,+),对[a,b]的任何δ-精细分划D:a=t0

特别地,当

f:[a,b]→Rn，g:[a,b]→R，U(τ,t)=f(τ)g(t)

定义2[5]设F:Ω→Rn,Ω⊂Rn+1,函数x:[a,b]→Rn,若对所有的t∈[a,b],(x(t),t)∈Ω,s1,s2∈[a,b],有

其中，右端积分为Kurzweil积分,则称x为广义常微分方程

(3)

的解.

定义3[6]设F:Ω→Rn+l,其中Ω=G1×[t0,t0+σ]×Λ.如果F属于函数族W(Ω,h,ω),则下列条件成立: 对任意的(x,t1,λ),(x,t2,λ)∈Ω,有

(4)

令z1=(x,λ1),z2=(x,λ2),对任意的(z1,t1),(z1,t2),(z2,t1),(z2,t2)∈Ω,有

从而,对任意的(x,t1,λ1),(x,t2,λ1),(y,t1,λ2),(y,t2,λ2)∈Ω,有

(5)

其中:h:[t0,t0+σ]→R为不减连续函数;ω:[0,+]→R是连续的增函数且ω(0)=0.

引理1[5]设A:[a,b]×[a,b]→Rn×n,y,z:[a,b]→Rn，且A满足

‖A(τ,t)-A(τ,s)‖≤|h(t)-h(s)|,τ,t,s∈[a,b],

(6)

其中h:[a,b]→R为不减左连续函数.若对任意的s∈[a,b],有

则z在区间[a,b]上是正则的.

引理2[5]设函数A:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可积的,且A相对于左连续函数h满足式(6),则对于每个z0∈Rn,初值问题：

存在唯一解z:[a,b]→Rn.

引理3[4]设f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn满足条件(A)和(B),φ∈G([-r,0],Rn).如果(y,λ)∈G1×Λ是滞后型泛函微分方程

(7)

的一个解，则如下形式的函数(x,λ):[t0,t0+σ]×Rl→G1×Λ，

是广义常微分方程

(8)

的一个解,其中x∈G1,t∈[t0,t0+σ]；F:G1×[t0,t0+σ]×Λ→Rn，且

(9)

注:引理3的详细证明过程见文献[4]中的定理3、4.

2 主要结果

定理1设P={xt|t∈[t0,t0+σ],x∈G1}⊂G([-r,0],Rn),λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},x0:Λ→G1,f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn是连续函数,其导数fx,fλ存在，且在P×[t0,t0+σ]×Λ上连续,满足条件(A),(B).对任意的λ∈Λ,方程(1)等价于广义常微分方程

(10)

且方程(10)在[t0,t0+σ]×Λ上存在唯一解.令x(t,λ)是方程(10)的解在t∈[t0,t0+σ]上的值.进一步,如果下列条件成立:

(1)对每个固定的t∈[t0,t0+σ],函数x(t,λ)F(x,t,λ)在G1×Λ上连续可微.

(2)函数x0在λ0处可微.

则对所有的t∈[t0,t0+σ],函数λx(t,λ)在λ0处是一致可微的,且其导数Z(t)=xλ(t,λ0),t∈[t0,t0+σ]是广义常微分方程

(11)

的唯一解.

证明根据假设,对每个x,y∈G1,t∈[t0,t0+σ],t0≤t1≤t2≤t0+σ,存在正常数A1,A2,B1,B2,使得

‖fx(xt,t,λ)‖≤A1，‖fx(xt,t)-fx(yt,t)‖≤A2‖x-y‖，‖fλ(xt,t,λ)‖≤B1,‖fλ(xt,t)-fλ(yt,t)‖≤B2‖x-y‖,

由G1中所定义的范数可得

同理可得

即Fx,Fλ∈W(G1×[t0,t0+σ]×Λ,h,ω),其中h(t)=h1(t)+h2(t),h1(t)=(A1+A2)t,h2(t)=(B1+B2)t,ω(t)=t.

由假设,存在常数A3>0,使得‖f(xt,t,λ)-f(yt,t,λ)‖≤A3‖x-y‖,则

对每个x,y∈G1,t∈[t0,t0+σ]及不减左连续函数k:[t0,t0+σ]→R,令k(t)=A3t,则

‖F(x,t2,λ1)-F(x,t1,λ1)-F(y,t2,λ2)+F(y,t1,λ2)‖≤(‖x-y‖+‖λ1-λ2‖)|k(t2)-k(t1)|.

(12)

对任意的λ∈Λ,s∈[t0,t0+σ],根据假设有

由文献[5]可知,在区间[t0,t0+σ]上,每个解x都是正则的左连续函数.如果Δλ∈Rl使得‖Δλ‖<ρ,则

其中V(τ,t,λ)=F(x(τ,λ0+Δλ),t,λ)-F(x(τ,λ0),t,λ).通过式(12)可得

‖V(τ,t1,λ1)-V(τ,t2,λ2)‖≤(‖x(τ,λ0+Δλ)-x(τ,λ0)‖+‖λ1-λ2‖)|k(t1)-k(t2)|.

由文献[5]可得

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+‖λ1-λ2‖)+

s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.利用Gronwall′s不等式[5],有

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+‖λ1-λ2‖)ek(t0+σ)-k(t0),s∈[t0,t0+σ].

从而,对所有s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ,当Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0时,(x(s,λ0+Δλ),λ1)一致收敛于(x(s,λ0),λ2).

令A(τ,t,λ)=(Fx(x(τ,λ0),t,λ),Fλ(x(τ,λ0),t,λ)),因Fx,Fλ∈W(G1×[t0,t0+σ]×Λ,h,ω),则A(τ,t,λ)满足式(6).由引理1和引理2可知,方程(11)有唯一解Z:G1×Λ→Rn,且Z是正则的.因此存在常数K>0,使得对任意的t∈[t0,t0+σ],有‖Z(t)‖≤K.

对任意的Δλ∈Rl,当‖Δλ‖<ρ时,令

下证对所有r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,若Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,则ξ(r,Δλ)一致趋于0.

对任意的ε>0,存在δ>0,使得Δλ∈Rl,‖Δλ‖<δ时,有

‖(x(t,λ0+Δλ),λ1)-(x(t,λ0),λ2)‖<ε,t∈[t0,t0+σ],

及