浅谈高等数学在轻纺领域中的应用

（衡水学院 数学与计算机学院，河北 衡水 053010）

《高等数学》 是高等学校理工类专业的一门重要的基础课，为学生提供系统的高等数学基础知识，传授必要的基础理论和常用的思维方法。一般来说，《高等数学》主要包含函数、极限与连续、一元函数和多元函数的导数、微分、一重和多重不定积分、定积分、微分方程与差分方程、级数等内容以及它们在实际生产生活中的应用。通过课程的学习，学习者初步能够运用数学方法解决实际问题，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合应用能力、数学建模与实践能力以及自学能力。

以其中“导数”的相关内容为例，先介绍导数、总成本、总收益、总利润等经济学中常用的基本概念，然后给出边际成本、边际收益、边际利润的定义及经济意义，并结合实际例子来说明这些理论在轻纺领域中的重要应用。

1 首先给出几个基本概念

企业在从事生产、销售等经营活动时，总是希望尽可能地降低单位产品的生产成本，增加总收益和总利润。下面先来介绍几个经济学中常用的基本概念。

总成本是生产和经营一定数量的产品所需要的总投入，包含厂房、设备折旧、管理费、工人基本工资等固定成本以及生产所需的原材料、燃料、电力等可变成本；总收益是指出售一定数量的产品所得到的全部收入，跟价格和销量等因素密切相关；总利润是指总收益减去总成本和上缴税金后的余额 （为简单起见，后面计算总利润时暂不考虑税金）。总成本、总收益、总利润都可以简单地看成是产量（或销量）Q 的函数，分别称为总成本函数、总收益函数、总利润函数，分别记作C（Q）、R（Q）、L（Q）。总成本（或总收益、总利润）除以产量（或销量）Q，就得到单位产品的平均成本（或平均收益、平均利润）。

导数的定义：设函数y=f (x)在点x 的某一邻域内有定义，若极限

存在，则称函数f (x)在点x 可导，并称该极限值为函数f (x)在点x 处的导数，记作y' 或f' (x)。设经济函数y=f (x)在点x 处可导，则称导数f' (x)为f (x)的边际函数，f'(x)在点x0处的函数值f'(x0)为边际函数值。

下面分别介绍边际成本、边际收益、边际利润的概念、经济意义以及它们在轻纺领域中的重要应用。

2 边际成本及其应用

总成本函数C（Q）的导数C'（Q）称为边际成本，它（近似地） 表示已经生产了Q 个单位产品以后再多生产一个单位产品所增加的成本，即C'（Q）是第（Q+1）个单位产品的成本。实际生产中，我们可以把边际成本与单位产品的平均成本相比较，若边际成本小于平均成本，就可以增加产量来降低单位产品的成本；若边际成本大于平均成本，则应该考虑减少产量以降低单位产品的成本，下面我们来看它的具体应用。

例：某纺织厂生产毛巾的总成本函数为C （Q）=1000+Q2÷1600，计算：生产1000 个毛巾的总成本和平均成本（元）；生产第1001 条毛巾需要的成本及其经济意义。

解：生产1000 个毛巾的总成本

C（1000）=1000+1000×1000÷1600=1625（元）

每个毛巾的平均成本为1625÷1000=1.625（元）

利用导数的定义计算可得边际成本为

C'（Q）=2Q÷1600=Q÷800

于是有

C'（1000）=1000÷800=1.25（元）

经济意义：第1001 个毛巾的成本是1.25 元，低于前1000 个产品的平均成本是1.625 元，所以可以通过增加产量来降低每个产品的成本。

3 边际收益及其应用

总收益函数R（Q）的导数R'（Q）称为边际收益，它（近似地）表示已经销售了Q 个单位产品以后，再多销售一个单位产品所增加的总收益，即R'（Q）是卖出第（Q+1）个单位产品带来的收益，下面来看它的应用。

例：某商场销售某件服装的收益函数为R （Q）=200Q-Q2,计算：（1）销售25 件服装的总收益和平均收益（元）；（2）卖出第26 件服装的收益及其经济意义。

解：销售25 件服装的收益为R（25）=200×25-252=4375（元）

每件服装的平均收益为4375÷25=175（元）

利用导数的定义计算可得边际收益为

R'（Q）=200-2Q

于是有

R'（25）=200-2×25=150（元）

经济意义：卖出第26 件服装的收益是150 元，低于前25 件服装的平均收益，这就说明由于种种原因，后面销量的收益比前面减少了，提醒商家需要考虑采取一定的方法和手段，比如可以搞一些促销活动来提高价格和销量，增加总收益。

4 边际利润及其应用

总利润函数L（Q）的导数L'（Q）称为边际利润，它（近似地）表示已经生产了Q 个单位产品以后，再多生产一个单位产品所增加的总利润，即L'（Q）是生产第（Q+1）个单位产品所增加的利润。

通常情况下，可以把边际收益和边际成本作比较，若R'（Q）＞C'（Q），说明产量达到Q 以后，再多生产一个单位产品所增加的收益大于所花费的成本，因而总利润会有所增加。而当R'（Q）＜C'（Q）时，说明再增加产量的话，所增加的收益小于所花费的成本，从而总利润会有所减少。

下面来看边际利润的具体应用。

例：某毛纺厂生产毛线的总利润函数L（Q）（单位：元）与每月产量Q（单位：t）的关系是L（Q）=5000QQ2，计算每月产量为2000t、2500t、3000t 时的边际利润，并解释其经济意义。

解：利用导数的定义计算可得边际利润函数为L'（Q）=5000-2Q

于是有

L'(2000)=5000-2×2000=1000

L'(2500)=5000-2×2500=0

L'(3000)=5000-2×3000=-1000

经济意义：当产量为每月2000t 时，再增加1t，利润增加1000 元，所以可以继续增加产量来增加总利润；当产量为每月2500t 时，再增加1t，利润增加0 元。说明考虑到生产成本、毛线价格等多种因素，再继续多生产物资，利润也不会增加了；当产量为每月3000t时，再增加1t，利润会减少1000 元。考虑到市场需求量、价格等因素，生产得太多，超过市场的购买能力，产品卖不出去，而储存还需要一定的空间和费用，从而导致成本升高。所以当产量高于某个数值以后，生产得过多，总利润反而下降。由此可见，对于厂家来说，并不是生产的产品越多，利润就会越高。

生产厂家和商家如果掌握了边际成本、边际收益以及边际利润的定义和经济意义以及它们在实际生产中的具体应用这些知识，就可以把它们充分应用到实际生活中去，以便最大可能地实现产品的成本最低、收益和利润最大。

5 结语

高等数学作为一门大学理工类专业的基础学科，在生产、生活中的应用非常广泛和重要，与我们的经济利益息息相关。比如，由零点定理可以知道市场经济中均衡价格的存在性；由弹性函数可以知道价格的改变对需求量影响的百分比；由函数的最大（小）值问题，可以计算怎样施工和安排能使费用最省、利润最大、成本最低等；应用微分方程的理论，可以分析商品的市场价格和需求量（供给量）之间的函数关系。本研究的举例只是对边际函数的应用作简单说明，高等数学的重要应用从中可以略见一斑。随着科技的高速发展和时代的进步，高等数学知识的应用必将更深入地渗透到我们生活和工作中的方方面面。