一维退化偏微分多智能体系统的迭代学习控制
2021-04-08张丹，傅勤
张 丹，傅 勤
(苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009)
近年来，多智能体系统的研究已经成为复杂系统研究的热点问题。 其中一致性问题在多智能体系统的分布式协调设计领域中占据着重要的地位。另一方面，迭代学习控制源于机器人应用[1]，适用于有限时间内具有重复运动性质的被控系统，自1984年提出完整的算法以来便受到众多学者的关注[1-4]。因该算法简单有效，已有许多基于迭代学习算法的多智能体系统一致性控制问题的研究成果[5-6]。 文献[5]研究了一类由抛物型或双曲型方程构建而成的多智能系统的一致性迭代学习控制问题。文献[6]进一步研究了具有时滞的线性和非线性多智能体系统的一致性迭代学习控制问题。目前研究的多智能体系统多为由经典偏微分方程构建而成，而退化偏微分方程作为偏微分方程中一类特殊的方程，超出了古典理论的研究范围，因此被广泛应用于如天体力学、气候学、种群遗传学等学科[7-8]，具有重要的研究价值，进而引起了许多学者的研究兴趣[9-10]。文献[9]介绍了退化抛物型方程的物理背景和解存在的唯一性等相关内容。文献[10]针对边界退化的抛物型和双曲型方程，研究了其边界精确能控性问题。目前，也有将迭代学习控制方法应用于退化系统的研究成果[11-12]，文献[11]研究了一维抛物型和双曲型退化系统的迭代学习控制问题，利用压缩映射原理，证明了在P型学习律的作用下系统的输出误差于L2空间内收敛。文献[12]进一步研究了退化高阶抛物型系统的迭代学习控制问题。然而对由退化偏微分方程(非经典方程)构成的退化多智能体系统，如何进行迭代学习控制，据笔者所知，尚无相关的研究。
本研究在文献[11]研究的基础上，考虑一类退化多智能体系统的迭代学习控制问题，该类系统中所有智能体是由文献[11]中的退化系统构建而成。基于网络拓扑结构，构建得到的学习律和收敛条件，能同时适用于抛物和双曲两种类型的系统。当学习律作用于系统，迭代次数趋于无穷时，该一致性误差能够收敛于零。
1 预备知识
符号约定：I m表示m×m单位阵。1N表示分量均为1的N维列向量。对函数取模，定义
引理1GL至少有一个以1N为特征向量的零特征值，且GL所有的非零特征值均有正实部。Laplacian矩阵GL具有单重零特征值的充要条件是图G含有生成树[13]。
引理2若有向图G有生成树，则的每个特征值都有正实部[14]。
引理3对任意给定的矩阵，若谱半径ρ(M) ＜1，则至少存在一种矩阵范数使得
引理4对任意矩阵范数，至少存在一种与之相容的向量范数，使得对任意和有
2 问题描述
在适定的初、边值(齐次边值)条件下，由文献[11]给出的退化双曲型系统构建得到如下退化多智能体系统：
设动态系统(1)在有限时间［0，T］内是可重复的，则在第k(k=0，1,2，…，N)次迭代时，系统(1)可表示为：
注1由文献[11]可知，只需要选取初始控制均存在唯一，结合式(2)和式(3)，进而可知存在唯一，
假设1有向图G有生成树。
假设2沿用文献[11]，对所有的k，第i个智能体的初、边值定位条件设定为：
假设3对，有，其中C为未知常数，而d1，d2为已知常数。
3 主要结果
对系统(2)构建如下的Ρ 型学习律
其中，q＞0为学习增益。取q使得
成立，这里ρ表示谱半径。
式(5)可写成紧凑形式，即
进一步，
由式(4)及引理3，存在ε＞0 使得
结合假设3，式(6)，式(8)及引理4，并利用基本不等式，可推得
定理若关于系统(2)的假设1—3成立，则在学习律(3)的作用下，当迭代次数趋于无穷时，L2空间中的一致性误差能够收敛于零，即
证明式(7)两端左乘，并从0 →1 对x积分，能够得到
分部积分并结合假设2中边值条件，可得
将式(11)～式(13)代入式(10)，可推得
应用Gronwall引理并结合假设2中初值无偏差，则有
另一方面，由基本不等式，有
再次应用Gronwall引理并结合假设2中初值无偏差，有
取λ＞1 ，则
因为RN-1中的所有范数都是等价的，所以存在两个正数τ和σ使得
将式(14)代入式(15)并结合式(16)有
将上述不等式代入式(9)，可推得
再由式(16)可得
于是
注2对于由文献[11]中抛物型的退化系统构建而成抛物型退化多智能体系统，即：
构建的学习律及收敛条件同样适用。其次，若在初始条件存在偏差情况下，同文献[5]，也可推得任两个智能体于2L空间中一致性误差有界。
4 仿真算例
构建如下形式的退化多智能体系统：
图1 变化趋势图
5 结论
研究了退化多智能体系统的迭代学习控制问题，该类系统由一维双曲型退化偏微分方程构建而成。构建P型学习律对系统进行迭代学习控制，当迭代次数趋于无穷时，系统于有限时间区间上的输出误差能够收敛于零。仿真结果验证了方法的有效性。
