基于分数基本性质及其稠密性与可列性的学习任务设计

刘加霞

“小明从2个苹果中拿走1个，小红从4个苹果中拿走2个，求拿走苹果数是原来苹果数的几分之几”用算式[12+24=1+22+4=36]解答，可以吗？

有教师认为“绝对不可以”，分数加法法则不是“分子加分子、分母加分母”。实则，这种解释没有揭示问题的本质，没有认识到算式中的[12]、[24]不是“真的”分数，它们只是刻画了两个数量（“拿走的”与“原来的”）之间的对应关系，而不是比率关系（要比较的“标准”不统一）。既然算式中是两个“假的”分数、是新创造的运算对象，这样列式解答也是“合理的”，“对应关系”中每一个“数”的计数单位都是“1”，因此“拿走的”与“拿走的”可以相加、“原来的”与“原来的”也可以相加，所得的两个“和”依然可以描述“拿走”与“原来”的对应关系。如果用“真的”分数即“单位1（苹果总数是6）”相同的分数来解决该问题，严格地说，[16+26=1+26=36]才是正确的。

由这个案例可以看出，计数单位对理解数概念、数的大小比较以及四则运算具有重要意义。小学生理解分数的困难点就是由“单位1”、计数单位的复杂性所导致，但困难点往往能带来挑战，分数计数单位的“复杂性”就带来了极具探究性、能超越学生原有认识的好问题、好任务，让学生换一个角度体验分数的奇妙。

一、分数基本性质的本质：计数单位及其个数的辩证关系

“单位1”“分数单位”是理解分数意义的两个重要概念。分数意义包括现实意义与数学意义两方面，现实意义即分数既可以表示数量的多少，也可以表示两个量之间的比率關系;数学意义是计数单位及其个数相乘得到这个分数。分数表示绝对数量（有量纲）时，常用来表示时间。例如，“单位1”是“1时”，20分钟就用“[13]时”表示。“单位1”相同，分数就可以比较大小、进行加减法运算。日常生活中，其他常见量几乎不用分数表示，因为分数“既不是十进制的，也不是位值制的”，不便于感知其大小和进行计算。

分数无论表示“量”还是“率”，其“单位1”必须相同，这样分数的大小比较及四则运算的法则就与自然数、小数一致，存在“通理”“通法”。一般地，舍弃现实情境的抽象“分数”，都约定其“单位1”相同。因此，分数的计数单位即“分数单位”，就成为深入理解分数的切入点与难点。分数的意义就是“计数（Shǔ）分数单位的个数（Shù）”，即分子是“分数单位的个数”，分母的倒数是“分数单位”。分数之妙（之惑）在于任何一个分数都有无数个计数单位，相应地其个数也有无数个，二者之间具有辩证关系：单位越小（大），个数就越多（少），但乘积不变。任何一个分数只是“等值分数族”中的一个代表，是其他分数的“替身（大小相等）”，这就是分数基本性质的本质，是分数不同于自然数、小数的一个“神奇”特征。

分数的基本性质给小学生带来了学习上的难点。例如，“任何一个分数其背后都有‘无数个等值分数”“灵活选择分数的‘替身”“谁作比率关系中的‘标准”等问题，往往让学生一头雾水，解决分数、百分数应用题时束手无策。但这一特征也给学生带来趣味性与思维挑战性，教师可以利用分数的基本性质设计具有“纯数学味道”的探究活动，让学生感悟分数的奇妙。

二、分数的稠密性：任意两个分数之间有无数个分数

张奠宙教授认为：分数等价类中的每一个表示（分数）， 各有各的用处， 都有其特定的价值。分数的这个特点， 既有学习难度， 又有思想高度， 是一个重要的数学思想方法。这一思想主要体现在适时的约分、扩分、通分等活动中。约分与通分是常见的数学操作，下面笔者介绍一个分数扩分活动，目的是让学生感悟任意两个分数之间都有无数个分数，初步体会分数的稠密性。这是分数的基本性质带来的有趣特征。

分数通分的本质是“寻找两个分数的公共分数（计数）单位”，只要找到两个分数的公共计数单位，比较两个分数的大小就转化为比较其计数单位个数的多少，两个分数的加减计算就转化为其计数单位个数的加减计算，即将分数的大小比较、加减计算转化为自然数的大小比较与加减计算。学生按照前述方法能够比较分数的大小，只是掌握了一种基本技能，下述小游戏——请找出大于[25]小于[34]的所有分数，不仅能使学生深刻理解分数大小比较的道理、体会扩分的意义，更能使他们折服于分数的稠密性——分数“密密麻麻地”排列在数轴上，如图1所示。

随着数轴的“不断放大”，学生直观感受到两个分数之间“藏着”无数个分数，体会到数轴上无论挨得多么近的两个“点”之间都藏着无数个分数。直观的“点”的稠密性，形象地反映出分数的稠密性。当然，学习无理数之后，再来看数轴，就知道稠密的“有理点”之间仍然是“漏洞百出”，这些“漏洞”中还藏着无数个无理数。

三、分数的可数、可列性：分数表的意义和价值

分数具有可数、可列性，即能够数出分数计数单位的个数。我们知道，分数就是一切形如“[qp]（其中[p≠0]）”的数，舍弃分数的现实意义，可以将分数看作一对“数偶”。因此，在平面直角坐标系中，将横轴上每一个自然数与纵轴上每一个自然数构造一对“数偶”，每对数偶与第一象限中的“点”建立一一对应关系，就建构出“正方形分数表”，如图2。

教师引导学生经历上述“正方形分数表”的建构过程，可以使学生头脑中原本“混乱、复杂”的分数变得清晰而有结构，体会“一一对应”思想的魅力，感受数学上“有序”“结构化”的价值。例如，教师可以给学生布置涂色任务：将上述“正方形分数表”中的真分数和假分数涂上不同的颜色。涂色后，可以清晰地看出等于1的分数[11]、[22]、[33]等等，有序地排列在对角线上，其余的假分数与真分数有序、对称地出现，如[12]和[21]，[35]和[53]，每个分数都与它的倒数对称地分布在对角线两边，一个对应着一个，各占半边天，每一类各形成一个“三角形”，和谐的对称美跃然眼前，如图3。

学生参与这样的涂色、讨论活动，能更直观地解决“真分数的个数比假分数的个数少”的认知误区。在借助数轴认识真分数、假分数时，由于真分数分布在[0，1）区间上，而假分数分布在[1，[∞）上]，学生会错误地认为“真分数比假分数少得多”。借助这张分数表，学生可以对真分数、假分数的“个数”一样多有直观而准确的认识，也进一步认识到：“一样多”的本质是“一一对应”。

再如，将分数的基本性质直观化。从“理性”角度，学生已经“接受”分数的基本性质，借助“正方形分数表”还可以从“形”（有规律地排列的分数）的角度进一步理解分数的基本性质，感受数学的和谐与统一。如果表中的分数更多一些，涂过几组大小相等的分数后，学生会发现一个有趣的现象：每组相等的分数各自形成了一条直线，如图4中[12=24=36]。          图4                 图5

类似的，还可以让学生观察图5中“直线”所穿过的“分数”，从上到下依次减小，即[52>43>34>25>16]。而[34>35]，所以[52>43>35>16]，学生可以在分数表中用“穿直线”的方法比较任何两个或多个分数的大小，用直观化手段研究抽象数的大小比较问题。

什么样的分数能化为有限小数，一直是教学的难点。教师借助这张“正方形分数表”，还可以让学生直观地发现能够化为小数的分数有哪些特征，以形象、直观的分数表为研究问题的工具，寻找能够解决这个问题的“突破点”（一个分数是否能化成有限小数与分母相关）。

一张可观察、“可触摸”的分数表的魅力远不止这些，其作用还有待进一步开发。

助理编辑  刘佳