等值与位置：促进学生对小数意义的深度理解

郑华恒

[摘 要]学生学习小数的意义有两个难点，一是十进制分数与小数的内在关联，二是计数单位“1”的进一步细分。合理利用形如“[110] = 0.1”的等值关系能帮助学生对分数与小数形成结构化关联，促使学生通过探索小数在数轴上的位置以及小数的计数单位在数位顺序表上的自然生成，在更高层面内化和理解小数的意义。

[关键词]小数的意义;结构化关联;数与数位;多元表征

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0062-02

“小数的意义”是小学“数概念”教学的一个重要领域，是学生在整数认知基础上对数系认识的拓展。学生对小数意义的认知有两个难点：其一，从认知心理学上看，学生对“关系”的学习是有困难的，而与整数的学习不同，小数的学习高度依赖十进制分数;其二，从数系的拓展来看，学生因为深受整数学习的影响，对小数在数轴上的位置及其计数单位在数位顺序表上的生成，接受起来有困难。如何突破这两个难点，帮助学生内化小数概念，很值得研究。

一、突出等值，多元表征分数与小数的内在联系

小数是十进制分数的另一种表示形式。多数学生认为，小数是一类数，分数是另一类数，两者是独立的。借助人民币、长度单位、正方形、数线等模型，以等值为内核，可以多元表征小数和分数间的联系，从而帮助学生真正理解“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”“小数可以用来表示分母是10、100、1000……的分数”。

【教学片段1】借助正方形模型，初步建立分数与小数的联系。

师（课件演示把正方形平均分成10份）：其中的一份可以用哪些数来表示？

生1：可以用分数[110]表示。

生2：也可以用0.1表示。

师：同样的这一份，为什么会这样？

（结合图形，学生不难发现是因为它们表示的是相同的一份，从而建立起0.1与[110]相等的关系，初步理解0.1表示十分之一，以及十分之一就是0.1。）

师：借助正方形模型说说0.2表示的意义。

生3：0.2表示十分之二。

师：0.2是小数，[210]是分数。这两个不同的数为什么会相等呢？

生4：因为它们都是把这个正方形平均分成10份，表示这样的2份。

【教学片段2】借助米尺，沟通整数、分数、小数间的关系。

师：刚才我们借助正方形表示了一位小数。你能在这把米尺中找到一位小数吗？

生1：长度是3厘米既可以表示成0.3分米，也可以表示成0.03米;0.3分米和0.03米就是3厘米。

生2：把1米平均分成100份，3份的长度就是3厘米，也就是[3100]米;[3100]米用分数表示就是0.03米。

（教师板书：3厘米= [310]分米= 0.3分米，3厘米=[3100]米= 0.03米。学生根据板书再对比，分享各自的想法。）

两个教学片段，都是巧妙借助等值关系，运用“数形结合”思想，构建小数与分数的本质联系。从“以数解形”角度看，0.1等价于十分之一;从“以形助数”角度看，十分之一和0.1都表示“把一個正方形平均分成10份，取其中的1份”。至此，学生直观感受到了小数与分数间的关系，初步感悟“小数是十进制分数的另一种表现形式”。最后，教师再用整数、分数、小数来表示等长（同样的3厘米），进一步帮助学生感悟整数、分数、小数间的内在关联。

二、突出位置，在数轴和数位顺序表上生长出小数

数学发展史表明，人类很早就掌握了小数的数学意义，但探求用简单而又贴切的符号来表示小数，却经历了漫长的岁月。学生认知的困难往往与数学发展史一样，受整数认知的影响，学生自然地以为相邻两个整数间没有其他数，对两个整数间还有数不清的小数“心理上有遥远的陌生感”，他们对小数在数轴上的位置、小数数位在数位顺序表中的位置大多心存疑虑，难以理解还有比“1”还小的计数单位。

【教学片段3】小数在数轴上的“家”。

1.教师出示标注了整数0～4的数轴;学生观察数轴，估测小数在数轴上的可能位置。

师：每个数都有自己的家。这些小数（出示有代表性的小数，如0.1、0.6、0.01、3.14、3.15、0.45、0.99等）的“家”在哪里？

生1：小数都比0大，位置都在0的右边。

生2：0.6的位置在0～1的中间略微偏右。

生3：3.14和3.15的位置在3至4的范围内，并且离“3” 更近些。

2.根据需要逐步细分数轴，学生精准找到小数在数轴上的相应位置。

师：我们刚才大致估计了这些小数的位置，但每个小数在数轴上的位置是精准的，怎么能找到它们精准的位置？

生4：先从容易的一位小数0.1、0.6、0.7开始找。因为这三个一位小数都表示十分之几，因此，先得把0～1这段平均分成10份。

生5：要找到0.45和0.99的位置，就要把0～1这条线段平均分成100份。

（教师根据学生的需求将数轴上相应的线段平均分成10份、100份、1000份。学生找到给定小数的位置后，再观察整个数轴，会发现：两个整数之间有很多小数;小数数位越多，数轴就平均分得越细;等等。）

上述教学再现了小数在数轴上的动态生成过程。学生在粗略估测小数在数轴上的位置的过程中很好地培育了数感。估测时，学生也会产生继续细分下去的冲动，真切感受到：小数数位越多，小数就刻画得越精细。一一对应、极限、数形结合等数学思想方法也在这样的动态过程中得到渗透。学生亲眼看见，亲身经历了小数的产生，这时的小数才会真正走入童心，学生才会心悦诚服接受新知，陌生的小数也变得熟悉起来。

【教学片段4】小数数位在数位顺序表上的“家”。

师：在计数器上拨出小数2.1。

（教师在课前已为学生准备了画有多个计数器模型的练习纸（只出示个位至千位，没有标出小数点和小数数位）;学生用画圆的方式在计数器模型上拨出2019，在交流画法中回顾数与数位的关系。）

生1：在千位画2个圆，百位上不画，十位上画1个圆，个位上画9个圆，表示这个数由2个千、0个百、1个十和9个一组成。

师：请迎接新的挑战——“拨出”2.1。

（教师选择两份有代表性的作品进行展示）

作品1：十位上画2个圆，个位上画1个圆，小数点标在个位和十位中间。

作品2：在个位上画两列圆，左边2个，右边1个。

生2：作品1不对，十位画2个圆，已经表示2个十了，比2.1大多了。

生3：作品2也不对，一个数位只能有一个数，把2和1都画在个位下面是不对的。

师：，你们认为表示小数2.1最困难的是什么？

生4：“2”很好表示，就在个位上画2个圆就行。“.1”应该画在哪？一个圆平均分成10份，只画一小块，放到个位上，好像也不行。

生5： “.1”没有满一，肯定是不能画在个位上的。“.1”究竟该画在哪呢？

（学生发现把0.1和0.01放在整数数位的任何位置都不对）

生6：这个计数器数位不够了。

生7：我一直以为“一”就是最小的计数单位，难道还有比“一”更小的计数单位？

（学生在争辩中逐渐形成共识，“.1”应该放在个位后面;现在的计数单位中，个位后面一定有新的计数单位，创造出“新的数位”——十分位、百分位……教师相机引导学生理解“0.1”表示十分之一，新的计数单位就是十分位;“0.01”表示百分之一，新的计数单位就是百分位……学生在原有计数器模型的右边标识新的数位：十分位、百分位、千分位……最后，顺利画出了“2.1”。 ）

师：我们一起完善数位顺序表，再观察新的数位表，说说你的认识。

（教师介绍小数产生的历史）

上述教学再次应验了“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，人类原有的认知已经无法解决新的问题时，就会逼着人类创造新的知识。学生在数位上进一步认识小数，是对小数意义的进一步抽象。画“2.1”的过程，突出了数位的重要作用，启发学生从数系层面理解小数的意义。学生在整数数位的基础上不断尝试，发现不能表示出“0.1”，“被迫创造”出小数数位。这样的拓展才是属于学生自己的真正意义的数系“拓展”。因此，教师要避免通過简单的介绍，将小数数位“空降”到数位表上，再通过强化训练让学生理解接受，而忽视学生经历小数数位生长的过程。

多元表征是数概念教学的重要策略，数与数之间的等值关系，数在数轴（数线）和数位顺序表上的位置，为更有意义的表征提供了工具。用好这些工具，能触及学生心灵，吸引学生主动参与，激发学生在数概念学习中深层次思考，找准知识的“生长点”，真正让数学概念内化于心，使深度学习真正发生。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 蔡宏圣.数学史走进小学数学课堂：案例与剖析[M]. 北京：教育科学出版社，2019.

[2] 马云鹏，吴正宪.深度学习：走向核心素养（学科指南·小学数学） [M]. 北京：教育科学出版社，2019.

【本文系重庆市教育科学“十三五”规划2018年度重点课题“学生立场下融和教育的架构与践行研究”（课题批准号：2018-14-233）阶段性研究成果。】

（责编 金 铃）