三相异步电动机驱动振动系统的Sommerfeld效应分析

姜 娇，孔祥希，罗园庆，许 琦，陈长征

(1.沈阳工业大学 机械工程学院，沈阳 110870；2.沈阳城市学院 智能工程学院，沈阳 110112)

原动机是机械设备中的重要驱动部分，是提供现代生产、生活中所需动力的主要来源，包括汽油机、柴油机、直流电动机、三相异步电动机、泵等。几乎所有的原动机所能提供的动力均是有限的：汽油机、柴油机有它们所能提供的最大马力；直流电动机、三相异步电动机不能长时间工作于超载状态；泵等驱动机械同样具有额定功率的限制。这些提供有限动力的原动机称为非理想原动机。由于不平衡激励的作用，原动机驱动机械系统在工作过程中将会产生振动，机械系统的振动必然会影响原动机的运动状态；反过来，原动机运动状态的改变必将影响机械系统的振动。这种充分考虑振动系统与非理想原动机相互作用的系统称之为非理想振动系统[1]。但是，在很多对于非理想振动系统的研究中[2-3]，往往忽略原动机与振动系统的相互作用，没有考虑原动机提供动力的限制，将其视为理想振动系统，这势必对研究结果产生影响。

当充分考虑原动机系统与振动系统的相互作用时，由于原动机所提供的动力是有限的，原动机驱动的非理想振动系统会出现一种直接由共振前跳跃至共振后的非线性跳跃现象，称之为Sommerfeld效应[4]。近些年，已经有很多国外学者对于非理想振动系统的Sommerfeld效应的进行了相关研究工作。Bharti等[5]将直流电动机视为非理想原动机驱动的二自由度的单盘刚性转子系统，并对其出现在两个不同临界转速处的Sommerfeld效应进行了研究。Bisoi等[6]对非理想直流电机驱动的悬臂梁单盘转子系统的Sommerfeld效应进行了分析。Sinha等[7]研究了非理想原动机-直流电动机驱动的曲柄滑块机构的动力学问题，并对其产生的Sommerfeld进行分析。Rocha等[8]对非理想原动机-直流电动机驱动的三自由度非线性振动系统的动力学问题进行了研究。Palacios等[9]研究了动力吸振系统与非理想系统耦合系统的动力学问题。Jaime等[10]研究了非理想直流电机驱动的非线性系统的动力学问题。此外，Kovriguine[11]对双机驱动振动系统的自同步与Sommerfeld效应问题进行了研究。Djanan等[12]对矩形板支撑的两台加速移动电机的自同步及Sommerfeld效应问题进行了研究，以减小矩形板的振动。但是，国内学者对于非理想振动系统的Sommerfeld效应的研究还是较少的。易园园等[13]建立了三相异步电机-多级齿轮系统的机电耦合动力学模型，并对其冲击载荷下的动态特性进行了研究，但并未对Sommerfeld效应进行研究。张力豪等[14]对电机驱动转子系统进行升速过临界实验，从其实验结果可以看出，转子系统的振幅在临界转速之前平缓增大，而在转速通过临界转速之后，振幅并不是平缓降低，而是突然急剧降低，发生了明显非线性跳跃现象，即Sommerfeld效应，但其并未对此现象进行深入研究。上述实验结果在文献[15-17]中也可以得到，但相关作者同样并未对Sommerfeld效应进行相关研究。

综上所述，以上研究工作往往采用了简单的直流电动机作为原动机，对直流电机驱动振动系统的Sommerfeld效应进行了分析。本文在前人研究的基础上，采用复杂的三相异步电动机代替直流电动机，对三相异步电动机与振动系统间的相互作用进行分析。将三相异步电动机的模型引入到振动系统中，建立三相异步电动机驱动振动系统动力学模型，应用所建模型，对三相异步电动机驱动振动系统的Sommerfeld效应进行研究，为振动系统的动力设计与原动机的选型提供借鉴。

1 数学模型

图1为所研究振动系统的机电耦合模型。如图所示，一个刚体由一组弹簧和阻尼器支撑。一台三相异步电动机带动偏心转子沿着逆时针方向转动。仅仅考虑刚体在竖直方向的运动，用坐标y表示。

图1 三相异步电动机驱动振动系统动力学模型Fig.1 Dynamic model of a vibration system driven by three-phase asynchronous motor

偏心转子质心的坐标可表示为

(1)

(2)

式中:mb为刚体质量;m1为偏心转子的质量;J1为偏心转子的转动惯量，包括三相异步电机的转动惯量J01和偏心块的转动惯量，即J=J01+m1r2。

可以计算得到系统的势能为

V=ky2/2

(3)

式中，k为弹簧y方向的刚度系数。

系统耗散函数D可表示为

(4)

式中:c为弹簧y方向的阻尼系数；c1为三相异步电机的阻尼系数。

根据Lagrange方程建立系统的振动微分方程

(5)

式中:qj为系统广义坐标;Qj为广义力。

对于图1所示系统，广义坐标向量为q=(yφ)T，广义力向量为Q=(0Te)T，其中，Te为三相异步电机的电磁转矩，可表示为[18]

(6)

式中:np为极对数;U为相电压;Rs为定子电阻;Rr为转子电阻;ωs为同步角速度;Ω为机械角速度;L1s=Ls-Lm为定子漏感，L1r=Lr-Lm为转子漏感，Ls为定子自感，Lr为转子自感，Lm为互感系数。

将式(2)～式(4)代入式(5)，可以得到系统的振动微分方程为

(7)

由于电机转速的波动远远小于平均转速，因此可以忽略转速波动，则式(7)变为

(8)

2 理论计算与稳定性分析

2.1 理论计算

引入无量纲参数

则式(8)第一式变为

(9)

式(9)的解为

其中，

(11)

式中，To为电机的平均输出转矩。

(12)

将式(12)代入式(11)，可以得到关于ω的方程

(13)

可以看出，式(13)是关于ω的非线性高次超越方程，不能得到ω的解析解，需要通过数值方法计算ω的值。

2.2 稳定性分析

下面研究解ω的稳定性。设ω0是已求得的ω的解，ε为ω在ω0处的摄动量，则

(14)

将式(14)代入式(8)的第二个方程，并略去关于ε的高阶小量，可以得到关于ε的摄动方程

(15)

其中，

η2mr2ζωnμ2(1+4μ2(ωn/ω0)2(2ζ2+(ωn/ω0)2-1))

式(15)可整理为

(16)

其中，

λ=ce-cL-c1

显然，如果λ<0，ω=ω0的解是稳定的；反之，ω=ω0的解是不稳定的。

3 研究案例

本节对所研究的机电耦合系统进行分析，并基于Matlab/Simulink数值仿真对所提出理论方法的正确性进行验证，最后分析偏心质量及三相异步电动机功率对振动系统的影响规律。三相异步电动机参数以及振动系统参数分别如表1、表2所示。

表1 三相异步电动机参数Tab.1 Parameters of three-phase asynchronous motor

表2 振动系统参数Tab.2 Parameters of vibration system

3.1 理论分析与仿真验证

选择偏心质量m1=1.3 kg，采用所提出的解析方法得到不同频率下的机电耦合振动系统的响应曲线，如图2所示。图2(a)为电机转速随频率的变化曲线，可以看出：随着频率的增加，电机的转速并不是线性增大的；当供电频率低于25 Hz或高于36 Hz时，随着频率的增加，电机转速快速增加；而当25 Hz

图2 振动系统非线性响应曲线(m1=1.3 kg)Fig.2 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=1.3 kg

图3为不同频率条件下平均电磁与平均输出转矩随转速的变化曲线。由式(11)、式(12)可知，To与机体的振动有关，随着转速由0增加到100 rad/s，To先增大后减小，当机体共振时(ω≈ωn)，达到最大值。由式(6)可知电机的电磁转矩与供电频率和电机转速均相关，当频率不同时，电磁转矩随转速的变化情况不同。由式(13)可知，不同频率条件下，Te与To的交点所对应的横坐标就是该频率条件下的电机转速。当f=33.8 Hz，34 Hz及34.2 Hz时，Te与To随转速的变化曲线存在三个交点，即转速存在三个解，而通过所提出的稳定性判据，中间解是不稳定的，最终得到图2所示结果。

下面从能量角度对产生Sommerfeld效应的原因进行分析。作为典型的机电耦合系统，电机所提供的能量一部分用于维持电机的转动，而另外一部分用于满足机体振动所需的能量，当电机转速远远小于机体固有频率(ω<<ωn)时，机体振动所需能量较小，电机能量主要用于维持电机转动，因此随着频率的增加，电机转速线性增大，此时平均电磁转矩与输出转矩随转速的变化曲线存在一个交点，如图3(a)所示；当电机转速接近于机体固有频率时，机体振动所需能量大大增加，对电机转速产生影响，随着频率的增加，电机转速缓慢增加，此时平均电磁转矩与输出转矩随转速的变化曲线存在三个交点，如图3(b)所示；当电机转速达到固有频率时，机体振动所需能量达到最大，电机转速出现尖点(A)，此时平均电磁转矩与输出转矩随转速的变化曲线存在两个交点；当供电频率继续增大，平均电磁转矩与输出转矩随转速的变化曲线的交点直接跳跃至共振后，电机转速迅速增大，机体振幅大大减小，机体所需能量大大减小，电机能量主要用于维持电机转动，电机转速随着频率的增大线性增加。

图3 不同频率条件下转速-转矩变化曲线(m1=1.3 kg)Fig.3 Speed-torques curves with different frequency for m1=1.3 kg

为了验证所采用理论分析方法的正确性，基于Matlab/Simulink进行了仿真分析。为了保证仿真的准确性，采用Matlab/Simulink中的三相异步电动机模块，采用V/F开环控制方式实现电机频率的调节，电机频率f由20 Hz变化至50 Hz，每1 Hz进行一次仿真计算，仿真时间均为10 s，最终得到电机与振动系统稳态时的平均转速与幅值如图2所示。可以清楚地看出：在35 Hz附近，电机转速以及振动系统的幅值均出现了跳跃现象；而在其他频率范围内，仿真结果与解析计算结果也是完全一致的。图4为电机转速、振动系统位移响应及电机的电磁转矩、负载转矩随时间的变化曲线。仿真时间为10 s，电机转速由0启动，当t=5 s时，f由34 Hz增加到35 Hz。由图4(a)转速随时间的变化曲线可知，当t=2 s时，转速达到了稳定状态，但是由于机体是振动的，因此电机转速不是常数而是波动的，但波动幅度与平均转速相比较是非常小的，因此在理论分析中忽略电机转速的波动是合理的；当f由34 Hz增加到35 Hz时，由于频率的突然变化，转速出现波动，而当转速再次达到稳定时，电机的转速不是缓慢增加的，而是由约60 rad/s跳跃至70 rad/s，明显出现了非线性跳跃现象，再次说明了理论分析方法的正确性。电机转速由60 rad/s跳跃至70 rad/s，跳过共振点，机体响应的幅值迅速减小，如图4(b)所示。电机负载转矩与机体响应的变化是一致的，幅值的减小，电机的负载转矩的波动也相应的减小，如图4(c)所示。此外，从共振区跳跃至共振后，平均负载转矩也有所减小，因此，电机提供的电磁转矩也相应的减小。对比理论计算与仿真分析的结果可以充分说明所提出的理论计算方法是正确的。

图4 振动系统瞬时响应曲线(m1=1.3 kg)Fig.4 Transient responses curves of vibration system for m1=1.3 kg

3.2 参数影响

通过上面的分析可知，振动系统的运动状态是由电机所能提供的能量与系统运动所需的能量之间的相互关系决定的。当电机所能提供的电磁转矩不满足系统运动所需转矩时，系统出现Sommerfeld效应。下面，分析偏心质量与电机功率对系统运动状态的影响规律。

首先，分析偏心质量对系统运动状态的影响。当偏心质量较小时(m1=1 kg)，电机运动状态与系统响应如图5所示。由于偏心质量较小，系统振动对电机运动状态的影响较小，与η=0(即m1=0 kg)相比较，电机转速仅仅在共振区附近略有降低，不会出现Sommerfeld效应，如图5(a)所示。电机运动状态与系统响应相互作用，相互影响，系统响应同样不会出现跳跃现象，如图5(b)所示。图5(c)更清晰地表明，在不同的频率条件下，电机转速的值是唯一的且稳定的。当偏心质量较大时(m1=2 kg)，电机运动状态与系统响应如图6所示。由图6(a)可知：当f<36 Hz时，电机转速存在唯一稳定解；而当f>36 Hz时，电机转速存在三个不同的解，且有两个稳定解，根据图6(c)判断，其中一个稳定转速始终低于系统固有频率，而另外一个稳定转速大于系统固有频率且随着频率的增加迅速增大。振动系统的响应发生相应的变化，如图6(b)所示。由于偏心质量较大，系统通过共振区，需要更大的能量，电机功率略有不足，施加适当的条件，转速与系统响应将会直接跳过系统固有频率，即出现Sommerfeld效应。由图7可以看出，继续增加偏心质量(m1=3 kg)时，电机运动状态与系统响应随频率的变化规律与m1=2 kg时相似，仅仅是转速出现多解的频率有所增大，当频率大于多解所对应的临界频率时，系统有出现Sommerfeld效应的可能性。由上述结果可以推测，当偏心质量增大到一定值时，电机转速将始终低于固有频率，系统将不能通过共振区。当偏心质量增加到m1=6 kg时，电机功率完全不能满足系统通过共振区的要求，电机转速始终低于系统固有频率，如图8所示。

图5 振动系统非线性响应曲线(m1=1 kg)Fig.5 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=1 kg

图6 振动系统非线性响应曲线(m1=2 kg)Fig.6 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=2 kg

图7 振动系统非线性响应曲线(m1=3 kg)Fig.7 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=3 kg

图8 振动系统非线性响应曲线(m1=6 kg)Fig.8 Curves of nonlinear responses of vibration system for m1=6 kg

接下来，分析电机功率对振动系统运动状态的影响。选择偏心质量m1=6 kg，由图8可知，当P=0.2 kW时，电机转速将始终低于固有频率，系统将不能越过共振区。下面，分别选择P=0.75 kW,2 kW及4 kW的电机驱动系统，采用所提出的理论方法对其系统的运动状态进行分析。电机相关参数如表3所示。当电机额定功率为P=0.75 kW时，电机运动状态与系统响应随频率的变化曲线，如图9所示。可以看出，当f>40 Hz时，转速出现多解，系统出现Sommerfeld效应，转速可以越过固有频率，系统可工作于非共振状态。当电机额定功率P=2 kW时，转速出现多解所对应的频率减小至约35 Hz，如图10所示。但从上述两种工作状态可以看出，当频率大于临界频率时，电机转速存在两个稳定的解，系统既可以稳定工作于共振前，也可以稳工作于共振后。当电机额定功率增大到P=4 kW时，电机的供电频率大于34 Hz，系统将直接跳过共振区，随着频率的增大，系统将快速远离共振区，如图11所示。

图11 振动系统非线性响应曲线(P=4 kW)Fig.11 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=4 kW

图10 振动系统非线性响应曲线(P=2 kW)Fig.10 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=2 kW

图9 振动系统非线性响应曲线(P=0.75 kW)Fig.9 Curves of nonlinear responses of vibration system for P=0.75 kW

表3 三个不同功率三相异步电动机参数Tab.3 Parameters of three three-phase asynchronous motors with different powers

4 结 论

将三相异步电动机的模型引入振动系统，在充分地考虑三相异步电动机与振动系统相互作用的基础上，对非理想三相异步电动机驱动振动系统的动力学问题进行了研究。从工程实际出发，忽略电机转速的波动，采用解析方法，计算得到不同频率条件下的电机转速，并对其稳定性进行了分析。基于Matlab/Simulink进行仿真验证，充分说明了所采用理论分析方法的正确性。此外，对偏心质量以及电机功率对系统动力学特性的影响进行了分析。通过上述研究，得到以下结论：

(1)与理想振动系统相比较，三相异步电动机驱动振动系统出现了Sommerfeld效应，电机转速出现非线性跳跃现象，振动系统表现出硬式非线性现象。

(2)三相异步电动机驱动振动系统的动态特性是由电机所能提供的电磁转矩与振动系统所需转矩之间的关系决定的。当振动所需转矩较小时，振动系统响应对电机运动状态影响较小，系统不会出现Sommerfeld效应；当振动系统所需转矩较大时，电机所能提供的电磁转矩不能满足系统所需转矩要求，系统出现非线性跳跃现象，即Sommerfeld效应；当振动系统所需转矩完全超过电机所能提供的电磁转矩时，电机转速将始终低于系统共振频率，系统不能通过共振区。

(3)针对振动系统不能通过共振区的问题，可以采用两种方法来解决：ⓐ减小系统的幅值以减小电机负载转矩，最终使振动系统通过共振区；ⓑ选择更大功率的电机，满足系统通过共振区所需电磁转矩的要求。