用于混合储能系统平抑功率波动的小波变换方法

程 龙，张方华

（南京航空航天大学 自动化学院，江苏 南京211106）

0 引言

由锂电池和超级电容组成的混合储能系统（HESS）［1-2］弥补了单一储能系统特性的不足，被广泛地用于平抑可再生能源发电系统［3］、电动汽车电力系统［4］、多电飞机电力系统［5］的功率波动。锂电池具有高能量密度，被用于响应幅值低、波动慢的低频功率分量。超级电容具有高功率密度，被用于响应幅值高、波动快的高频功率分量。因此，只有根据储能介质自身的特性，才能更合理地分配波动功率。故本文提出量化储能介质频率特性的方法，将其作为负荷功率频率划分的参考。在HESS 中，负荷功率分解后的高、低频分量要与所对应的储能介质特性相匹配，这样才能充分发挥储能介质自身的特性。因此，功率分配方法是平抑功率波动的关键因素之一［6］。通常采用滤波的方法将负荷功率根据储能介质的频率特性进行高、低频分解。低通滤波方法因原理简单、易实现，在能量管理系统中被广泛应用［7］。但低通滤波器存在相位延迟，容易引起高、低频功率分量的频率划分不清晰，且易造成容量配置冗余度过大等问题［8］。

小波变换能够实现时域和频域的相互转换，同时具有局部化和多分辨率特性，适用于非平稳信号，因此得到广泛的关注［9-10］。小波变换的关键在于小波基和分解层数的优化，优化结果直接影响负荷功率的频率分配结果。文献［7］将用于电能质量分析的db4 小波基直接用于风电功率波动的分析，但是两者在时间尺度、波动幅值、能量等因素上存在较大的差异。文献［11］通过计算风电功率与小波变换滤波器组的低通滤波器系数之间的互相关系数，选取db6 为最优小波基。在小波变换中滤波系数长度与负荷功率信号的长度存在差异，且计算复杂。小波变换同时存在高、低频2 组分量，仅用低通滤波器系数无法全面评价所选小波基的滤波器组系数。文献［12］以收敛性和正则性为依据选取meyer 为最优小波基，但实际上具有这些特性的小波基有很多。文献［8，12］都是直接给出小波变换的分解层数，并未说明具体原因。文献［11］根据超级电容的响应频率确定小波变换的分解层数，但超级电容响应频率的划定缺乏客观理论依据。

为此，本文提出一种基于小波变换的负荷功率频域分配方法，主要用于解决小波变换中小波基的选取和分解层数的优化这2 个关键问题。要求经小波变换后的高、低频分量与储能介质的特性更接近，以充分发挥储能介质的自身优势。通过算例分析了储能介质频率特性与小波变换分解层数的合理性，同时采用HESS 的配置成本验证互相关系数之和的正确性。

1 储能介质频率特性

储能介质的等效时间TET［5］可表示储能介质单体的额定功率与所存储能量之间的关系，见式（1）。

其中，Es为储能介质单体的额定能量；Pr为储能介质单体的额定功率。

TET表征了储能介质单体以额定功率充／放额定能量所需要的时间。在储能介质单体的一个完整充放电周期内，所需要的时间TT为等效时间的2倍，即TT=2TET。因此，定义储能介质的响应频率fT为：

根据储能介质的相关参数，其响应频率范围如图1 所示。图中，fTD、fTC分别为等效时间最大、最小时锂电池单体的响应频率；fTB、fTA分别为等效时间最大、最小时超级电容单体的响应频率。由图1 可见，锂电池的响应频率范围大于超级电容的响应频率范围，即锂电池能够响应超级电容所能响应的频率分量。但响应高频分量会增加锂电池的充放电次数，缩短其使用寿命［4］。同时，超级电容的最低响应频率要大于锂电池的最高响应频率，超级电容无法响应低频分量。因此，本文利用锂电池响应低频分量，利用超级电容响应高频分量，这样可以发挥储能介质自身特性的优势。

图1 储能介质的响应频率范围Fig.1 Response frequency range of energy storage device

2 离散小波变换

2.1 基本原理

小波变换具有多分辨率分析能力，能够分辨信号中更多的细节信息，适用于非平稳信号。选用小波变换分析负荷功率信息，能够更好地分解负荷功率中的高、低频分量。

小波变换通常分为连续小波变换和离散小波变换［13］。连续小波变换中的伸缩、平移相互独立，小波函数间有一定的相似性，且其计算量大，存在信息冗余，通常用于理论分析。将连续小波变换中的伸缩系数、平移系数进行离散化，可得离散小波变换形式为：

其中，x(t)为待处理信号；j 为伸缩系数；k 为平移系数；ψ(t)为母小波；N为待处理信号的长度。

2.2 小波基的选取

小波基的选取直接影响负荷功率分解后的数据特征。通常选取与待处理信号波形相似的小波基进行小波变换分析［14］，这样能够更好地体现待测信号的特征。通常采用互相关系数进行小波基的选取［15］，其计算式为：

其中，ρx，y为互相关系数；x 为待测信号；y 为原始信号；cov(x，y)为2 个信号的协方差；δx、δy分别为信号x、y 的标准差；xi、yi分别为信号x、y 第i 个数据点的值；分别为信号x、y 的平均值；n 为待测信号数据点总数。

信号经小波变换分解后包含高、低频2 组分量，故负荷功率信号的互相关系数同样需要考虑高、低频2 组功率分量。为了能够同时体现高、低频功率分量的互相关系数与负荷功率的相关性，本文提出了互相关系数之和的概念，如式（5）所示。互相关系数之和越大，表明小波变换分解后高、低频功率整体与剩余功率更相似。因互相关系数的最大值为1，所以互相关系数之和的最大值为2。

2.3 分解层数优化

小波变换的分解层数直接影响负荷功率分解后的频率划分。对负荷功率进行频率划分的主要目的是发挥储能介质自身的特性。因此，本文基于超级电容的频率特性提出一种小波变换分解层数优化方法，负荷功率频率划分满足超级电容的频域特性。

Mallat 快速算法的提出使离散小波变换的应用变得简单且易实现。Mallat 快速算法主要包括分解、重构两部分，以3 层小波变换为例，其示意图见附录中图A1。图A1（a）进行3 层分解，其中，x(n)为待处理信号数据；g(n)为高通滤波器；h(n)为低通滤波器；↓2 表示下2 采样；D1为第1 层分解的细节部分，位于小波空间；A1为第1 层分解的平滑部分，位于尺度空间。第1 层分解的小波空间、尺度空间将待处理信号的频域f1+f2+f3+f4进行对半划分，小波空间为高频部分f1，尺度空间为低频部分f2+f3+f4。第2层分解对第1层分解后的尺度空间进行进一步分解，得到细节部分D2和平滑部分A2。第3 层分解对第2 层分解后的尺度空间进行进一步分解，得到细节部分D3和平滑部分A3。3层分解后小波空间中的细节部分为D1+D2+D3，尺度空间中的平滑部分为A3。小波空间、尺度空间满足直和关系。图A1（b）进行3 层分解的重构，↑2 表示上2 采样。将每层的细节部分、平滑部分进行上2 采样，并进行相应滤波可得到上一层的平滑部分，最终可得到原始信号。

Mallat 快速算法中小波空间、尺度空间的频率划分范围主要由小波变换的分解层数决定。根据香农采样定理，定义负荷功率的采样频率为fs，则负荷功率的频谱不能超过fs/2。离散小波变换的Mallat快速算法的分解层数与采样频率之间的关系见图2。第1 层分解的尺度空间、小波空间的频率范围分别为[0，fs/4]、( fs/4，fs/2]；第2 层分解是对第1 层的尺度空间频率进行划分，第2 层的尺度空间、小波空间的频率范围分别为[0，fs/8]、( fs/8，fs/4]。每层分解都是对上一层尺度空间的频率范围进行平均划分。

图2 分解层数与采样频率的关系Fig.2 Relationship between decomposition level and sampling frequency

超级电容用于响应负荷功率的高频分量，根据图1 可以确定超级电容响应负荷功率高频分量的最低频率。因此，以超级电容单体等效时间最大时的响应频率fTB为基准，与图2 中小波空间的频率进行匹配。第l 层分解的小波空间频率范围为( fs/2l+1，fs/2l]，实际分配的负荷功率频率不能小于超级电容的最低响应频率，即：

3 算例分析

以某一段飞机负荷功率Pload数据为例［5］进行算例仿真分析，具体相关参数见附录中表A1。发电机响应平均功率Pavg，HESS 响应剩余功率Pre。采用小波变换方法对负荷的剩余功率进行高、低频功率分配。小波变换的2个关键参数的优化流程见图3，主要包括基于互相关系数的小波基选取和基于储能介质频率特性的分解层数优化。

图3 小波变换关键参数的优化流程图Fig.3 Optimization flowchart of key parameters for wavelet transform

3.1 小波基和分解层数验证

图4 典型小波基与负荷功率的互相关系数Fig.4 Cross correlation coefficient between typical wavelet base and load power

负荷功率的采样频率fs=1 kHz，超级电容的最低响应频率fTB=0.021 Hz，最高响应频率fTA=0.045 Hz；锂电池的最低响应频率fTD=1.37×10−4Hz，最高响应频率fTC=6.71×10−4Hz［5］。根据式（6）可计算得到小波变换的分解层数l ≤14.5，故选取最优分解层数为14层。

3.2 仿真分析

3.2.1 频率特性

根据图1 所示储能介质的响应频率范围，分析不同分解层数下高、低频功率分量的频率特性是否符合储能介质的频率特性。为了充分发挥储能介质的自身优势，高频功率分量的频率主要位于超级电容的最低响应频率fTB以上，低频功率的频率要小于锂电池的最高响应频率fTC。

分解层数l为12—16层时小波变换后低频功率的频谱见图5。由图可见，分解层数越少，低频功率的高频分量越多，分解层数为12、13 层时低频功率中含有较多的高频分量。此时锂电池会响应较多的高频分量，不符合锂电池的频率特性。当分解层数越多时，低频功率分量的频率特性就越接近锂电池的频率特性。进行15、16 层分解时，低频功率频率特性更加符合锂电池的频率特性，可充分发挥锂电池的自身优势。

图5 不同分解层数的低频功率频谱Fig.5 Frequency spectrum of low frequency power with different decomposition levels

分解层数l为12—16层时小波变换后高频功率的频谱见图6。由图可知，分解层数越多，高频功率中含有较多的低频分量，分解层数为15、16 层时分解的高频功率中含有较多的低频分量，而频率小于fTB的分量越多，超级电容则需要响应更多的低频分量；分解层数为12、13 层时高频功率中含有少量的低频分量，高频功率特性与超级电容的频率特性更加一致，能够更好地发挥超级电容的频率特性。

图6 不同分解层数的高频功率频谱Fig.6 Frequency spectrum of high frequency power with different decomposition levels

对比图5 和图6 可知，分解层数为12、13 层时分解的高频功率中含有少量的低频分量，但在低频功率中含有较多的高频分量，这符合超级电容的频率特性，却不符合锂电池的频率特性；分解层数为15、16 层时分解的低频功率中含有较少的高频分量，但在高频功率中含有较多的低频分量，这符合锂电池的频率特性，却不符合超级电容的频率特性。综合上述分析，14层分解同时兼顾了高、低频功率分量与储能介质的频率特性，14 层分解的低频功率与锂电池频率特性一致，高频功率与超级电容频率特性一致。

3.2.2 互相关系数

3.3 配置成本验证

表1 HESS的配置结果Table 1 Configuration results of HESS

小波变换分解后高、低频功率分量的峰值功率和平均能量如表1所示，其结果直接影响储能介质的配置容量。HESS需同时考虑高、低频分量所需要储能介质的配置容量，而容量配置需同时满足功率约束和能量约束，以确定储能介质最终配置的容量大小。

对比表1 中不同小波基的小波变换功率和能量可发现，haar 小波基的峰值功率和平均能量均小于dmey 小波基的峰值功率和平均能量。因此，基于haar小波基的配置功率和能量也会小于基于dmey小波基的配置功率和能量。虽然rbio3.1小波基的高频需求能量最小，但由于需求功率非常大，在进行容量配置时，受功率约束限制，对应的超级电容配置能量也会随之增加。结合文献［1］中给出的锂电池单位能量成本为0.273$／（W·h），超级电容的单位功率成本为0.3$／W，可得表1 所示储能的配置成本，可见haar小波基下HESS的配置总成本最小，rbio3.1小波基下HESS 的配置总成本最高。上述结果验证了基于互相关系数之和选取小波基的有效性和正确性。

4 结论

（1）基于储能介质的等效时间，量化了储能介质的频率特性，解决了传统方法对储能介质频率特性主观判断不足的问题。

（2）根据Mallat 快速算法，建立了储能介质频率与离散小波变换分解层数之间的关系，实现了对储能介质响应功率频率的合理划分。

（3）互相关系数之和同时考虑了小波变换后高频功率、低频功率与原始负荷功率的相关性，为负荷功率选取合适的小波基提供了依据；通过比较HESS的配置成本，验证了基于互相关系数之和选取小波基的正确性。

附录见本刊网络版（http：//www.epae.cn）。