非线性麦克斯韦方程最优系统及精确解

郭增鑫,胡彦鑫,辛祥鹏

(聊城大学 数学科学学院,山东 聊城 252059)

0 引言

自然界很多现象如流体力学,电磁学,种群发展,量子力学等领域都可以用非线性偏微分方程表述。如今非线性偏微分方程已经成为构成当代数学和物理沟通的重要桥梁,近几十年已经有很多方法求解非线性偏微分方程,比如Lax方法[1,2],Bäcklund 变换法[3,4],Riccati方程法[5],反演散射法[6],Darbox变换法[7,8],双线性函数法[9,10],函数展开法[11],CK直接约化法[12],Painlevé检验方法[13,14],经典李群方法[15-17]，并得到了大量的结果。其中李群方法是构造精确解非常有效的方法,近年来很多优秀的成果都与李群方法相关。如文献[13]作者对Zakharov-Kuzentsov方程进行对称约化并求出其精确解,文献[15]作者求出2+1维广义浅水波方程的类孤子解与周期解,文献[18]作者求出一类Poisson方程的最优系统和群不变解。

本文研究一类二阶非线性麦克斯韦方程

(1)

其中u(x,t)为x,t的函数,c为由真空电介常量ε0和磁常数μ0所确定的正数。麦克斯韦方程作为电磁学理论的基础,其线性形式和非线性形式在物理及工程领域有着广泛的应用。线性的麦克斯韦理论已被大众所熟知,对于非线性麦克斯韦理论,目前大部分学者对该方程的数值解和误差分析做了一些研究,如文献[19]中作者提出了非线性麦克斯韦方程在满足齐次狄利克雷边界条件和给定初始值情况下,采用后向欧拉方法进行时域离散化的方法,对利普希茨连续 情形的误差进行了计算,并在适当的函数空间得到了误差估计。数值仿真表明,误差估计结果依赖于非线性特性,而且能快速收敛。文献[20]中作者用一种新的有限元法得到非线性麦克斯韦方程的数值解及误差估计,并提出了一个线性化的Crank-Nicolson全离散格式,并导出了在L2模意义下的误差估计,并建立了时间和空间离散系统,在适当的条件下导出了相应的误差结果。文献[21]中作者利用时间和空间上的有限差分对非线性麦克斯韦方程进行离散化,并给出适当的傅里叶基来求出方程的数值解,文献[22]中作者使用松弛近似的方法得到非线性麦克斯韦方程的初边值问题,并证明了Kerr-Debye模型的输入波条件解的极限是Kerr模型的解。也有部分学者对该方程行波解进行过讨论研究,如文献[23]中作者研究了柱面非线性麦克斯韦方程在具有任意非线性因子与幂律非均匀因子的非色散介质中传播的柱面电磁波的行波解,得到了电场分量正切函数形式的解,并讨论其物理意义。

本文由以下四个部分组成:第一部分利用李群方法得到方程(1)的对称群,并得到方程(1)的群不变解;第二部分利用一维最优化方法得到方程(1)的最优系统;第三部分利用最优系统将方程(1)转化为常微分方程,并求得方程(1)的精确解;最后一部分利用方程(1)的对称群和精确解构造出方程(1)的一组新解。

1 方程(1)的李对称

根据经典Lie群方法，首先考虑方程(1)的单参数Lie变换群具有下面形式

(2)

其中(x*,t*,u*)为(x,t,u)经过变换后的新变量，ε为变换下的参数。为了构造Lie变换，要求方程(1)在变换(2)下是不变的，即满足条件

(3)

把变换(2)在ε=0处展开，可以得到如下形式的无穷小变换，

(4)

其中X,T,U称为无穷小变量。为了求得上述变换，设方程(1)的向量场表示为

其中U,X,T为x,t,u的未知函数,即U=U(x,t,u),X=X(x,t,u),T=T(x,t,u)。 由于公式(4)仅是变量(x,t,u)的变换，方程(1)中还包含u的一阶和二阶导数项，为了求得这些导数项的变换，需要把向量场延拓到导数空间上，其二阶延拓记作pr(2)V，即

(5)

其中Ux,Ut表示ux,ut在变换下的无穷小量，Uxt,Uxx,Utt表示uxt,uxx,utt变换下的无穷小量。 用(5)作用到方程(1)得到

(6)

其中延拓向量场的无穷小量由如下公式决定[15]

(7)

关于U,X,T的决定方程组,求解得到

(8)

其中c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7为任意常数。由(8)式我们可以得到方程(1)有7个基本的向量场

(9)

为了构造变换群，对(9)中的7个向量分别求解下面初值问题

得到它们对应如下7个单参数变换群

即若u=f(x,t)为方程(1)的解,则

(10)

仍为方程(1)的解,这样可以通过方程的解及(10)构造方程(1)的无穷多精确解。

2 李代数及最优系统

含有多个自变量的偏微分方程,对于其封闭李代数上的所有s(s

由第1部分可得方程(1)的李点对称(9),由李括号的运算定义[Vi,Vj]=ViVj-VjVi,得到李代数交换子表如表1所示。

表1 李代数交换子表

表2 李代数伴随表

再依次用Adexp(ε2V3),Adexp(ε3V7),Adexp(ε4V5)作用,并取ε2,ε3,ε4为适当的值,以此将V5,V7,V3消去,可得向量V等价于生成算子k1V1+k2V2+k4V4。

同理,可求出如下情形。

情形2a1≠0,a2≠0,a3≠0。此时用Adexp(ε5V4)作用到V上并取ε5为适当的值可以将V6消去,再用Adexp(ε6V3),Adexp(ε7V6)依次作用并取适当的ε6,ε7可将V5,V4消去,于是可得向量V和生成算子k1V1+k3V3+k7V7等价。

情形3a1≠0,a2=0,a3=0。此时用Adexp(ε8V4)作用到V上并取ε8为适当的值可以将V9消去,再用Adexp(ε9V3),Adexp(ε10V6)依次作用并取适当的ε9,ε10可将V5,V4消去,于是可得向量V和生成算子k1V1+k7V7等价。

情形4a1=0,a2≠0。此时用Adexp(ε11V4)作用到V上并取ε11为适当的值消去V4,再用Adexp(ε12V6),Adexp(ε13V1)依次作用,并取ε12,ε13为适当的值,可依次消去V6,V3。于是得到向量V和生成算子k2V2+k5V5+k7V7等价。

情形5a1=a2=0,a3≠0。此时用Adexp(ε14V4)作用到V上并取ε14为适当的值消去V7,再用Adexp(ε15V7)依次作用并取适当的ε16可将V4消去,于是可得向量V和生成算子k3V3+k5V5+k6V6等价。

情形6a1=a2=a3=0,a5≠0。此时用Adexp(ε17V7)作用到V上并取ε17为适当的值消去V6,再用Adexp(ε18V6)依次作用并取适当的ε18可将V7消去,于是可得向量V和生成算子k4V4+k5V5等价。

情形7a1=a2=a3=a5=0,a6≠0。此时用Adexp(ε19V5)作用到V上并取ε19为适当的值消去V7,可得向量V和生成算子k4V4+k6V6等价。

情形8a1=a2=a3=a5=a6=0。此时向量V和生成算子k4V4+k7V7等价。

综上所述,方程(1)的李代数的一维子代数的最优系统为

其中ki(i=1,...,7)均为任意常数,根据上述最优系统,我们可以得到方程(1)的对称约化。

3 方程(1)的对称约化及精确解

根据方程(1)的最优系统,取情形1-4进行对称约化,将方程(1)转化为常微分方程,并求出其精确解。

3.1 对于情形1,k1V1+k2V2+k4V4

(11)

3.2 对于情形2,k1V1+k3V3+k7V7

此时方程对称为σ=k1ctux+(k1x+k3u)ut-k3ct-k7,求其特征方程

同样为使计算简便,不妨取k1=0,可得方程(1)的群不变解为

(12)

3.3 对于情形3,k1V1+k7V7

(13)

2(f′)3θ-cf″θ-cf′=0,

(14)

求解得到方程(14)的解为

(15)

将得到的解(15)代入群不变解(13)可得方程(1)的精确解为

(16)

3.4 对于情形4,k2V2+k5V5+k7V7

此时方程对称为σ=(k2x+k5u)ux+k2tut-k2u+k5x-k7,求其特征方程

此时利用不变量约化的常微分方程相对比较复杂,为使计算简便,不妨取k2=0,可得方程(1)的群不变解为

(17)

(18)

其中μ=C5k5(C6+θ)。将该解代入群不变解(17)得到方程(1)的精确解为

其中μ1=C5k5(C6+t),C5,C6为任意常数。

特别的当C5=2c时,方程(1)有双曲余弦解

综上所述,由方程(1)的最优系统,可以得到以上四种类型的不变量及对应的精确解。

4 方程(1)新的精确解的构造

由方程(1)的单参数变换群可得,若u=f(x,t)是方程(1)的解,那么

(19)

下面对3中的4个精确解进行讨论。

也为方程(1)的精确解。

也为方程(1)的精确解。

为便于计算,不妨取k5=k7=1时的特解

也为方程(1)的精确解。

综上,根据方程(1)的李对称群及精确解可得到如下精确解

5 结论

本文运用经典李群方法研究了非线性麦克斯韦方程,得到了方程的Lie对称。由于对称中包含任意常数，因此包含了无穷多对称，但由于其中许多对称是等价的，因此找到一组不等价的对称就可以得到不同的约化方程。本文利用最优化方法构造了方程(1)的最优系统,即找到了一组不等价的对称，并利用最优系统对该方程进行约化，由于最优系统中也包含任意常数，为了方便求出约化后常微分方程的解，我们适当对参数做了一些约束条件，令其中的一些参数为特定常数，进而得到的精确解是在一定的约束条件下的解析解。最后用该方程的群不变解及单参数变换群构造出一些新的精确解。