基于y=Asin(ωx+φ)模型的动态数学课堂
2021-03-29王文义朱惠英何男
王文义 朱惠英 何男
【摘 要】本文探究A、ω、φ对y=Asin(ωx+φ)函数图象的影响,提出在课堂教学设计时,以航天事业为导学背景让学生亲自构建y=Asin(ωx+φ)模型,体会数学乐趣,提升建模能力;运用皓骏动态数学软件将A、ω、φ对函数图象的影响逐一进行动态展示,以期让学生领会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法。
【关键词】数学模型 数学建模 图象变换 动态课堂
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889(2021)42-0075-03
本节课的内容选自人教A版高中第一册第五章第六节,包含两个知识点——匀速圆周运动的数学模型和函数y=Asin(ωx+φ)的图象,两个知识点属于递进关系。先通过数学建模引出函数y=Asin(ωx+φ),再研究函数图象及其性质,符合学生的认知规律。在教学之前,学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换,又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及。本节课是对一般函数图象变换内容的拓展,从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规律。
一、教学目标与教学重难点
(一)教学目标
1.知识与技能目标
观察、探索参数A、ω、φ对函数图象的影响,能够概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律;会用图象变换法画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
2.过程与方法目标
通过对y=sin x到y=Asin(ωx+φ)函数图象变换规律探索过程的体验,培养学生观察、探索的能力,领会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法,领悟数形结合的思想,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
3.情感态度、价值观目标
以中国航天事业为背景引入三角函数模型,激发学生探索宇宙的好奇心,弘扬伟大的航天精神;通过小组交流,形成合作意识;在解决问题的难点时,培养解决问题时抓主要矛盾的思想。
(二)教学重难点
1.教学重点
如何运用控制变量的方法来研究A、ω、φ对函数图象的影响,将y=sin x的图象变换为y=Asin(ωx+φ)的图象。
2.教学难点
对y=Asin(ωx+φ)函数图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。相对来说,A、φ对图象的影响较为直观,ω的变化引起图象伸缩变化,而学生第一次接触这种图象变化,不太会观察,形成认知难点。在教学中运用动态技术教学,使学生学会观察图象,掌握研究方法,理解图象变化的实质,是攻克这一难点的关键。
二、动态教学技术
教师在教学中要与时俱进,巧妙地运用动态几何软件,把图象的变换直观形象地呈现给学生,而掌握皓骏动态数学V3.0软件和几何画板应当成为数学教师必备的技术能力。本节课y=Asin(ωx+φ)函数表达式可以直接在皓骏动态教学V3.0软件中输入,对A、ω、φ分别输入相应的变化范围,得到三个变量尺;通过移动变量尺,就可以分别控制A、ω、φ的大小。例如,研究A对图象的影响时,将ω调到1,φ调到0,通过移动A变量尺从而控制图象的变化;也可以点击动画按钮,随着A的增大,图象自动不断地发生变化。动态数学既能增强趣味性,给课堂添加活力,又能直观地展示出图象的特征和性质。
三、教学过程
(一)航天精神,催人奋进
导学:同学们,知道我们国家为什么要建设自己的空间站吗?早在2011年美国就颁布了“沃尔夫条款”,禁止中美两国的双边航天合作。西方的阻挠和打压并没有浇灭我们的航天梦,中国航天人不畏艰险,自力更生,建设起了我们自己的太空家园。
设计意图:培养学生的爱国主义情怀。中国航天精神要想一代代传承下去,需要培养学生的爱国主义情怀;激发学生探索宇宙的兴趣,敢于挑战不可能。由于航空航天与数学息息相关,学生会更加重视数学学科的学习。
(二)创设情境,数学建模
1.创设情境,提出问题
“飞船的交汇对接技术是建设空间站的关键。如神舟十二号在交汇对接前,需要对‘天和’核心舱进行高精度的定位。同学们,你如果是地面测控人员,如何计算出核心舱的实时位置,将准确的坐标发送给聂海胜指令长呢?”
情景一:“天和”飞船绕地球一圈所用的时间为T,同学们能求出飞船的角速度吗?
情景二:已知飛船的角速度为ω。以地心为中心建立直角坐标系,根据飞船上的传感器测得飞船进入预定轨道时的初始角度为φ1,轨道半径为A,在预定轨道运行时间为t。同学们能表示出飞船坐标的实时位置吗?
2.数形结合,建立模型(见图1)
设计意图:采用分层作业的形式,在下节课请学生主动上讲台分享自己的解题思路和方法。
五、教学评价与教学反思
本节课通过中国航天知识来培养学生的数学建模能力,使其发现数学的奥妙,激发学生应用数学解决问题的兴趣。控制变量的研究方法能化难为易,化繁为简,无论是理科还是文科,都可以用它来思考问题。与其说它是一种研究方法,不如说它是一种逻辑思维。此外,在教学中运用数学动态技术软件绘制的图象更直观、更生动形象,教师应多学习一些动态制图软件应用方法,这样既能激发学生的兴趣,又能让学生更容易理解所学知识。
【参考文献】
[1]王康帅.整体把握 精巧设问 教授方法 培养能力:“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”的教学设计与反思[J].中学数学教学,2016(6).
[2]郝玉怀,薛红霞.“函数y=Asin(ωx+φ)的图像”教学实践与分析[J].中小学数学(高中版),2011(Z1).
[3]龚雪霜.数学实验在高中数学探究教学中的应用研究[D].重庆:重庆师范大学,2016.
【作者简介】王文义(1997— ),汉族,男,山东青岛人,在读硕士研究生,主要研究方向为数学教育;朱惠英(1999— ),汉族,女,广西贺州人,在读硕士研究生,主要研究方向为数学教育;何 男(1997— ),汉族,女,河南平顶山人,在读硕士研究生,主要研究方向为数学教育。
(责编 唐玉萍)