基于y＝Asin（ωx+φ）模型的动态数学课堂

王文义　朱惠英　何男

【摘 要】本文探究A、ω、φ对y=Asin（ωx+φ）函数图象的影响，提出在课堂教学设计时，以航天事业为导学背景让学生亲自构建y=Asin（ωx+φ）模型，体会数学乐趣，提升建模能力;运用皓骏动态数学软件将A、ω、φ对函数图象的影响逐一进行动态展示，以期让学生领会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法。

【关键词】数学模型 数学建模 图象变换 动态课堂

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）42-0075-03

本节课的内容选自人教A版高中第一册第五章第六节，包含两个知识点——匀速圆周运动的数学模型和函数y=Asin（ωx+φ）的图象，两个知识点属于递进关系。先通过数学建模引出函数y=Asin（ωx+φ），再研究函数图象及其性质，符合学生的认知规律。在教学之前，学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换，又在三角函数的图象和性质中对周期变换有所涉及。本节课是对一般函数图象变换内容的拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图象的变换规律。

一、教学目标与教学重难点

（一）教学目标

1.知识与技能目标

观察、探索参数A、ω、φ对函数图象的影响，能够概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律;会用图象变换法画出函数y=Asin（ωx+φ）的图象。

2.过程与方法目标

通过对y=sin x到y=Asin（ωx+φ）函数图象变换规律探索过程的体验，培养学生观察、探索的能力，领会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，领悟数形结合的思想，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

3.情感态度、价值观目标

以中国航天事业为背景引入三角函数模型，激发学生探索宇宙的好奇心，弘扬伟大的航天精神;通过小组交流，形成合作意识;在解决问题的难点时，培养解决问题时抓主要矛盾的思想。

（二）教学重难点

1.教学重点

如何运用控制变量的方法来研究A、ω、φ对函数图象的影响，将y=sin x的图象变换为y=Asin（ωx+φ）的图象。

2.教学难点

对y=Asin（ωx+φ）函数图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。相对来说，A、φ对图象的影响较为直观，ω的变化引起图象伸缩变化，而学生第一次接触这种图象变化，不太会观察，形成认知难点。在教学中运用动态技术教学，使学生学会观察图象，掌握研究方法，理解图象变化的实质，是攻克这一难点的关键。

二、动态教学技术

教师在教学中要与时俱进，巧妙地运用动态几何软件，把图象的变换直观形象地呈现给学生，而掌握皓骏动态数学V3.0软件和几何画板应当成为数学教师必备的技术能力。本节课y=Asin（ωx+φ）函数表达式可以直接在皓骏动态教学V3.0软件中输入，对A、ω、φ分别输入相应的变化范围，得到三个变量尺;通过移动变量尺，就可以分别控制A、ω、φ的大小。例如，研究A对图象的影响时，将ω调到1，φ调到0，通过移动A变量尺从而控制图象的变化;也可以点击动画按钮，随着A的增大，图象自动不断地发生变化。动态数学既能增强趣味性，给课堂添加活力，又能直观地展示出图象的特征和性质。

三、教学过程

（一）航天精神，催人奋进

导学：同学们，知道我们国家为什么要建设自己的空间站吗？早在2011年美国就颁布了“沃尔夫条款”，禁止中美两国的双边航天合作。西方的阻挠和打压并没有浇灭我们的航天梦，中国航天人不畏艰险，自力更生，建设起了我们自己的太空家园。

设计意图：培养学生的爱国主义情怀。中国航天精神要想一代代传承下去，需要培养学生的爱国主义情怀;激发学生探索宇宙的兴趣，敢于挑战不可能。由于航空航天与数学息息相关，学生会更加重视数学学科的学习。

（二）创设情境，数学建模

1.创设情境，提出问题

“飞船的交汇对接技术是建设空间站的关键。如神舟十二号在交汇对接前，需要对‘天和’核心舱进行高精度的定位。同学们，你如果是地面测控人员，如何计算出核心舱的实时位置，将准确的坐标发送给聂海胜指令长呢？”

情景一：“天和”飞船绕地球一圈所用的时间为T，同学们能求出飞船的角速度吗？

情景二：已知飛船的角速度为ω。以地心为中心建立直角坐标系，根据飞船上的传感器测得飞船进入预定轨道时的初始角度为φ1，轨道半径为A，在预定轨道运行时间为t。同学们能表示出飞船坐标的实时位置吗？

2.数形结合，建立模型（见图1）

设计意图：采用分层作业的形式，在下节课请学生主动上讲台分享自己的解题思路和方法。

五、教学评价与教学反思

本节课通过中国航天知识来培养学生的数学建模能力，使其发现数学的奥妙，激发学生应用数学解决问题的兴趣。控制变量的研究方法能化难为易，化繁为简，无论是理科还是文科，都可以用它来思考问题。与其说它是一种研究方法，不如说它是一种逻辑思维。此外，在教学中运用数学动态技术软件绘制的图象更直观、更生动形象，教师应多学习一些动态制图软件应用方法，这样既能激发学生的兴趣，又能让学生更容易理解所学知识。

【参考文献】

[1]王康帅.整体把握 精巧设问 教授方法 培养能力：“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”的教学设计与反思[J].中学数学教学，2016（6）.

[2]郝玉怀，薛红霞.“函数y=Asin（ωx+φ）的图像”教学实践与分析[J].中小学数学（高中版），2011（Z1）.

[3]龚雪霜.数学实验在高中数学探究教学中的应用研究[D].重庆：重庆师范大学，2016.

【作者简介】王文义（1997— ），汉族，男，山东青岛人，在读硕士研究生，主要研究方向为数学教育;朱惠英（1999— ），汉族，女，广西贺州人，在读硕士研究生，主要研究方向为数学教育;何 男（1997— ），汉族，女，河南平顶山人，在读硕士研究生，主要研究方向为数学教育。

（责编 唐玉萍）