求联驱动：催化数学理解的自然进阶

陆泉萍

【摘要】数学的学习离不开数学理解，即对“经验性理解”“形式化理解”“结构化理解”和“文化感悟理解”层层深入发展.在数学理解的过程中，要在学习内容、表征方式、思维层次和学科特征中求联，依托回归策略，在生活经验、基本模型、知识结构中驱动教学，使数学理解有“力”.借助多元表征方式，利用实验表征、图形表征、符号表征驱动教学，使数学理解有“径”.基于“联”，催化学生数学理解的自然进阶，实现发展学生数学素养的目标，使数学精神转化成学生终身发展的不竭动力.

【关键词】数学理解;求联;驱动式;教学

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：数学知识的教学应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联，学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化.[1]因此，数学学习离不开对数学知识的理解.唯物主义哲学观认为，任何事物都处于普遍的联系之中，小学数学教学也不例外.因此，我们要以求“联”的眼光促进学科内部、数学与其他方面之间的联结、联通，在求联驱动下催化小学生数学理解的自然进阶，探寻数学的本质意义.

一、探绎：从“数学理解”到“求联驱动”的内涵阐释

（一）数学理解

“理解”一词字面上的意思指顺着条理或者脉络进行剖析.数学理解，从名词的角度分析，主要指学生对数学知识技能、思想方法的理解;从动词的角度分析，主要描述一种“数学化地理解”.数学理解是一个层级跃迁的过程，诚如我国学者吕林海教授根据学习者理解水平层级，依次划分出“经验性理解”“形式化理解”“结构化理解”和“文化感悟与理解”四个层级.这些理解与学习者的数学知识经验产生双向作用，互相影响，促使学习者的知识经验不断规整与扩充.

（二）求联驱动式教学

顾名思义，“求联驱动式教学”即以“联”来推动数学教学的深入展开.深度学习理论认为对知识点的解释只是表层的理解，让学生明白知识之间的联系，构建知识网络才是真正的理解.同时，基于教育心理学家比格斯和科利斯的“SOLO”理论，可以发现在由低到高的五个层次中，处于无学习或者浅层次学习的“前结构”和“单一结构”中，并没有发现“联”的身影.而在“关联结构”和“抽象拓展结构”这两个层次中，学习者正在进行整合信息，建立联系，建构知识，解决问题以及抽象拓展，显然这两个层次已经达到了深度学习的范畴.因此，提出求联驱动式教学，能助推学生对问题进行全面思考，在数学化的过程中加深数学理解，实现深度学习.

（三）意义与价值

在大量的課堂观察中发现，当前学生的数学理解普遍存在缺失.学生的理解停留在浅层次，对新知的诠释往往浮于表面，在解决综合性问题时显现出对数学知识理解方式的单一化，因而无法灵活调取适切的方法解决实际问题.此外，学生对知识的理解呈现零散状，缺乏由点成线再成面的结构化理解.以上种种现象，无不透露出求联对于数学理解具有重要意义.

1.联动“数”与“形”，提升知识层面修养.以数解形，以形助数，数形结合作为小学数学的重要思想方法，它们的联动促进了学生对知识多元化的表征，获得知识本质的理解.

2.联通“同”与“异”，发展认知能力.通过比较数学知识概念、方法策略的异同，异中求同，寻找其中的“变”与“不变”，有助于学生建构合理的认知结构，体会思维策略的现实价值，形成良好的思维品质.

3.联结“理”与“境”，建立学科精神.从数学教学情境的体验到数学道理的感悟，从数学学科走向其他学科，走向生活，直接推动学生建立数学理性精神，提高核心素养.

二、寻绎：求联驱动的基本类型

在小学数学教学中，所指的“联”就是对影响数学学习的诸多因素进行联通，由点成线，由线成面，最后编织出网状认知结构.求联是促进数学理解的重要方式，求联的过程更是一个探寻数学本质追逐意义的过程.从不同学习因素的角度出发，求联驱动式教学主要包括以下四个方面.

（一）学习内容中的求联

数学各大领域内的教学知识都环环相扣、紧密联系在一起，犹如一条螺旋上升的线，不断攀爬生长.从一个学习内容出发，通过演变升华为与此内容相关的新学习内容，这些新旧内容之间存在一种衍生关系.因此，在数学教学中要引导学生探寻当下学习内容的前因后续，唯有找到“源头”方能品尝到“活水”.

从教师“教”的角度来说，教师本身要在教学中建立求联意识，理清对应教学内容的知识技能或思想方法的脉络.“T”字形备课便能较好地呈现这种求联.课题左边箭头指向与此教学内容相关的学生已有知识储备，右边箭头指向该教学内容的后续学习内容.此时教学内容不是孤立的一个知识点，而是由碎片走向整体的横向发展.接着，着眼于本课教学内容，由核心问题串层层深入教学的每一个环节，使教学向纵深发展.从外观上，这样的备课形似一个英文字母“T”，“T”字形备课能够引导教师有效地寻找教学内容的联系，横纵联结共同勾勒出优效的数学课堂.

从学生“学”的角度而言，不同学习阶段对于相似学习内容要有主动串联的眼光.例如，在教学“和差问题”时，无论学生选择“加”“减”或“移多补少”任何一种方法，其根本目的都在想办法使两个量变得“同样多”，再进行平均分，学生的学习依据直指低年段的平均分.

（二）表征方式中的求联

数学表征主要分为语言、符号、图像三种方式，多元化的表征方式丰富了学生的数学理解.对于一个数学概念，学生往往能用自己擅长的表征方式进行理解.但在教学实践中也存在这样的现象，学生把对于同一内容的不同表征方式互相割裂，当作不同的学习内容进行学习，使数学学习变得晦涩难懂.举个简单的例子，学生会用语言阐述乘法分配律，也能用字母去表征，但当乘法分配律与图形结合时，学生便不能建立起它们之间的联系.

因此，在不同的表征中寻找内在的本质联系，是教学任务中一项重要的部分.唯有如此，才能使表征多样化真正服务于学生的数学理解，而不是变成了额外的学习负担.例如，教学乘法口诀“三四十二”，教师引导学生发散思维，在多元表征中求得知识的联结.在不同的表征中，学生将直观形象的方式嫁接到抽象的符号理解，在可视化的过程中不断推进口诀的意义建构，使数学学习进入更高的层级.

（三）思维层级中的求联

由于学生思维水平的差异化，对于同一数学知识学生的理解水平也是不同的.正因为思维的层级性，教师在教学中更要注重联动不同思维的产物，利用不同形式的表达来构建同一问题的方法多样化，使学生多角度、多层次地融通知识.例如，在解决“甲、乙、丙、丁4人每两人之间握一次手，一共需要握几次手”这样一个数学问题时，学生呈现多种策略.

①列举法：甲—乙

甲—丙 乙—丙

甲—丁 乙—丁 丙—丁

②连线法： ③列表法：

④ 加法算式：3+2+1=6（次）

⑤ 乘法算式：3×4÷2=6（次）

以上五种方法呈现出不同的表达形式，从思维层级角度来看，学生经历了从直观化描述分析到抽象化关联推理的发展过程.在这里，无论是直观形象的方法，抑或抽象概括的方式，没有优劣之分，并不以此来区分高层次思维和低层次思维.学生在对比关联中可以感悟：“形”与“式”是相互相通、互相成全的.同一意义的表达，通过教师的引导求联能使学生意识到解法的多重性与发展性，思维的层级正是由于这些不同却又丰富的策略逐渐由浅层到深层漫溯.

（四）学科特征中的求联

日本学者米山国藏认为，一个人的数学知识很快便会忘却，但是那些数学思想方法、精神价值以及研究问题的着眼点会深深贮存在脑海中，使人终身受益.数学作为对客观世界的表达，闪耀着理性的光辉.数学的世界藏着严谨的科学美、绝妙的逻辑美、简洁的形式美、辩证的哲理美、悠久的历史美，这一切勾勒出其独特的学科特性.把握学科的特性，将它们进行关联，也是求联驱动的来源之一.除了可以从数学学科本身出发，还可以超越数学引导学生对不同学科特性进行求联.海阔凭鱼跃，凭借求联让学生在更广阔的天地间演化创造，这也许也是一种哲学启蒙的形式.

三、践行：催化数学理解的求联策略

在意识层面上，求联是教师“教”与学生“学”的一种主动思想倾向，带着这种意识探寻教学中求联的实施方法，在求联驱动式的教学中使教学达到自然融合，催化学生对数学理解的自然进阶，向着深度学习进发的同时落实核心素养目标.

（一）倒退联结：让数学理解有“力”

人之所以对数学产生枯燥乏味、晦涩难懂的印象，原因之一便是脱离了实际.这里的“实际”不仅仅指向学生的原有知识、生活经验和认知发展水平，也包括数学基本概念、知识结构等方面.华罗庚曾说：复杂的问题要善于退，足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好数学的一个诀窍.因此，要敢于在倒退中求联.

1.退回生活经验

小学数学作为初等数学内容，每一个基本概念都来源于生活中的现实原型.概念的形成就是对现实原型的抽象与概括.因此，教师要以生活原型为抓手，从学生最熟悉的日常生活经验着手设计教学过程，通过联系原型让数学理解更有活力.以《认识千米》为例，基于学生思维正由前运算阶段向具体运算阶段发展，因此，教师设计数学实验，让学生到生活中感受千米.实验设计如下：

感受千米，体验生活

踩着春光去游玩！交通工具可选择步行、自行车、电动车、汽车等.

我从学校门口出发到 ，路程大约是1千米.选择的交通工具是 ，所花的时间是 ，平均速度是 .

我对1千米的感受是 .

我从 到 游玩，路程大约是 ，选择的交通工具是 ，所花的时间是 ，平均速度是 .

基于以上认识，我推测 到 ，如果采用 的方式，所花的时间是 ，平均速度是 .

在实验过程中，学生的学习热情被充分调动，结合自身感受与同伴经验相互交汇，共同对千米有了更深层次的概念建构.1千米有多长？选择步行的学生认为：“1千米是挺长的一段路，和爷爷一起走了15分钟左右.”“慢跑了约10分钟才到达，有些微微出汗了！”选择电动车、平衡车的同学觉得：“1千米没自己原来想象中的那么长，大约5分钟就到了呢！”选择乘车出行的同学感受到：“花了两三分钟就到了，中间还遇到一个红灯呢！”在交流中拓宽了教学的时间和空间，真正建构起“千米”的概念.

2.退到基本模型

随着学生数学知识的增加、能力的增长，需要针对数学问题灵活调取已有方法策略正确解决.此时，学生应该让错综复杂的数学问题回归到它的起点，从基本模型出发寻求线索与答案.例如，在《相遇问题》中，学生通过学习、思考感悟到，无论是“从两地同时出发相向而行最终相遇”，还是“从同地出发相背而行最后相距一段距离”，都能用相同的数量关系分析，因而算式结果是相同的.通过动态演示变直为曲，随即过渡到环形跑道问题，引导学生在变式中感悟本质.基于前面两种基本模型，学生受到启发：只要将环形跑道沿着起点或终点位置“剪开”，化曲为直，就能还原到之前两种最基本的相遇问题模型.

3.退接知识结构

学习数学是一个动态发展的过程，也是学生自己不断完善认知结构的建构过程.学生的学习不应是散点式的，因此，对于教学应从散点研究开始，逐渐走向线性研究，再形成结构性研究.唯有将一棵棵知识树培植于一片片知识林，数学知识才能真正对学生产生积极作用与影响.在退回知识结构的过程中，教师的引导作用必不可少，教师需要引领学生在建构过程中不断发展和完善认知结构.例如，在学习体积和容积单位之后组织学生对以下问题进行深度探讨.

（1）你学过哪些长度单位、面积单位以及体积单位？请分别举例分析你是如何测量长度、面积和体积.

（2）你认为长度、面积和体积单位之间有怎样的联系？

（3）把两点间的距离作为单位长度，请你表示出与之对应的面积单位和体积单位.

长度、面积、体积对应着线、面、体三个不同的概念，根据学生的空间思维发展水平和认知水平，这些教学内容被分布在不同年段逐一认识，被割裂成三个独立的板块.多数学生仅仅是学什么就认识什么，对这三部分无法建立起联系，无法从它们内在的关联出发灵活运用知识解决问题，发展空间观念.因此，教师要抓住教学中的核心问题，将知识梳理成线，形成知识网，引导学生不断自主建构知识结构，感受数学的本质.

（二）多元表征联通：让数学理解有“径”

布鲁纳认为外在刺激的程度决定儿童思维，促进儿童心智的发展.他将儿童的思维活动按不同的程度分为三种表征，即动作表征、形象表征以及符号表征.基于此，多元化的表征以及各种表征之间的联通让儿童的数学理解有迹可循，有路可走.

1.实验操作表征

儿童的思维发展必须借助实物的操作活动来完成，因此，在数学学习中应提供形象的、可触摸的实物来帮助学生进行操作，表征自己的思维.在实际教学中，教师应不断开发实验材料、实验素材和实验活动，重视数学实验在教学中的作用，使学生的动手操作和思维发展达到融合统一.

例如，探寻三角形的三边关系，教师提供给学生两根长度精心设计过的吸管进行实验.

实验一：剪一根.

通过把其中一根吸管剪成两根，有的学生成功地围成了三角形，有的则不行.学生认为，“两根短的加起来比最长的要短”或“两条边加起来正好等于第三条边”不能围成三角形，因此得出“任意两边长度的和大于第三边”.此外，教师引导学生对实验进行回顾反思：“要想任意两边长度的和大于第三边，应该剪哪一根？”从这个有深度的实验思考中内化三边关系.

实验二：添一根.

通过该实验，不同层次的学生得到了不同的发展.有的学生以8厘米为最长边，确定第三边要大于5厘米.有的学生则想到，倘若以未知边为最长边，则最长要小于11厘米.通过实验探究，学生得出：第三边是5厘米和11厘米之间任意一个数值.

2.图形表征

根据学生的思维发展水平，能力的培养要逐渐从具体形象过渡到抽象概括阶段.图形表征是联结具体与抽象最好的表征方式，它源于具体形象的实物，而又具有抽象化.因此，依托图形求联加深数学理解是小学数学教学的必由之路.在图形表征求联中，“数”与“形”的结合作为一种重要的数学思想方法被重视.例如，在加法运算律中，试图让学生验证36+15=15+36，除了依托教材情境图中的具体情景分析，还可以用多种方法表示.有的通过计算验证，有的用结合加法的含义来解释，有的则借助图形或者线段图表征进行合理分析.

又如，在小数的初步认识中，教师鼓励学生用自己喜欢的方式表示出0.1元.学生根据元与角的十进制关系，立刻联想到可以将图形平均分成10份，这样的1份就是0.1.在这里，学生无论选择圆形纸片还是方形纸片，选择大一点的还是小一点的纸片，都不影响对0.1在图形上的意义表征.因势利导，由具体图形上的表征再引导到数线图上的表征，学生利用图形进一步建构一位小数与十进分数的联系.

3.符号表征

符号表征是高层次思维的表达，学生能从实物或图形中分离并进行抽象概括.数学符号的形成过程浸润着历史与文化因素.因此，在數学符号的表征中求得联络，能使学生感悟到超越数学知识以外的学科文化启示，感悟到数学的简约美、形式美、文化美.

关于等号，列·科尔德在《智慧的磨刀石》书中提道：“……世界上再也没有比两条等长而又平行的线段意义更相同了.”试想，教师在教学中始终本着一颗虔诚之心，珍视每一个数学符号，分享由符号引申出的数学历史、数学文化、数学内涵，还会怕有学生对数学符号产生陌生感与障碍感吗？动态演示

运算符号“+”“-”“×”“÷”生成的过程，比如：“+”的形成，每一笔画代表一部分，即把两部分合起来;“-”表示在“+”的基础上去掉一部分，得到剩下的另一部分;“×”由“+”旋转而来，表示几个相同加数的和;“÷”由“-”演化而来，去掉相同的一份，两个点表示每份同样多.

例如，在度量单位的教学中，无论是长度单位、面积单位，还是体积单位，都要通过具体的活动引发学生对统一单位的需求，将非标准单位顺利联结到标准单位的建立.要使学生感知到：任何单位的产生和确立都是伟大而漫长的过程.学生在经历由粗略到精确、由多样到统一的过程中，不仅理解了度量单位的现实意义，感悟度量的数学本质内涵，也似乎“快进”经历了一次次数学文化价值的历程.

未来的教育应该是联系的教育.我们通过求联催化学生数学理解的自然进阶，实现发展学生数学素养的课程目标，使数学精神转化为学生终身发展的不竭动力，创造更加美好的生活.

【参考文献】[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版集团，2011.

[2]黄彪.数学实验应把握的四个要点[J].教学与管理（小学版），2017（09）：30-32.

[3]张苾菁.“通”与“联”的视角：数学教学思考与实践[J].小学数学教育，2018（10）：65-68.

[4]张辉.思行相伴，让数学实验更有效：以“树叶中的比”教学为例[J].小学数学教育，2016（Z4）：25-27.