融合思政元素的线性代数翻转课堂教学设计——以矩阵乘法为例

朱艳丽，赵峰

（华南农业大学 数学与信息学院，广东 广州）

一 引言

习近平总书记在《高校思想政治工作质量提升工程实施纲要》中指出“大力推动以课程思政为目标的课堂教学改革，优化课程设置，修订专业教材，完善教学设计，加强教学管理，梳理各门专业课程所蕴含的思想政治教育元素和所承受的思想政治教育功能，融入课堂教学各环节，实现思想政治教育与知识体系教育的有机统一”。

近年来，与时俱进的学校教学改革对传统教学模式和思政教育进行积极探索与创新，比如，推广慕课与翻转课堂，推动多层面的“课程思政”的发展等。在学校精神的指导下，数学学科的专业课程教学也应紧跟脚步，充分挖掘和运用课程中蕴含的思想政治资源，传承中华民族优秀传统文化，积极培育社会主义核心价值观，厚植爱国主义情怀，使学生达到思想和专业知识的双重提升，为国家培养优秀的青年人才！

线性代数是高等院校本科各专业的一门重要的基础理论课程，课程主要讨论线性关系问题，其内容抽象，具有较强的逻辑性。特别是在“互联网+”时代的冲击下，用线性代数的方法解决实际问题已经渗透到自然科学、经济、工程技术等各个领域。将习近平总书记的思政进课堂理念与翻转课堂相结合，科学合理的设计思想政治教学内容，将思想政治教育元素有机融入线性代数的慕课视频和翻转课堂中，使线性代数课程与思想政治同向同行，形成协同效应，能在有限的课时中激发学生的内驱力，提高学生的学习兴趣，提升学生的学习效率，同时培养学生正确的世界观、人生观、价值观，形成社会主义的核心价值观和文化自信。本文以线性代数中的知识点矩阵乘法为例，在课前准备、课中教学和课后评价反思三个阶段分别进行教学设计，展示思政元素与翻转课堂教学模式的有机融合。

二 具体的教学设计过程

（一）课前准备工作

首先，在智慧树平台提前发布本次课程的预习要求：包括学习目标、重点与难点，需要用到的相关拓展资料，预习的目标检测题。让学生提前在慕课平台观看相关的课程视频，按照预习目标检测要求完成本次课程的预习要求。

1.教学目标

1.1知识层面

掌握矩阵乘法运算的概念，会计算两个矩阵的乘法；理解矩阵乘法的运算律以及与数的乘法运算的区别。

1.2能力层面

利用矩阵乘法的教学过程，培养学生分析问题、建立相关知识点的关联（向量内积与矩阵乘法的关系）、解决问题的能力；培养学生比较学习的能力（矩阵乘法与数的乘法的区别与联系），掌握举反例的学习方法（举例说明矩阵乘法不满足交换律，不满足消去律，两个非零矩阵相乘可以是零矩阵）；通过对知识点背景（矩阵的发展史，相关数学家凯莱的介绍）和知识点的实际应用的学习（矩阵乘法在数据处理中的应用），进一步提升学生全面看待问题的能力。

1.3思政层面

见图1。

图1 思政层面的教学目标

2.教学重难点

2.1掌握矩阵乘法运算的概念

2.2矩阵乘法运算与数的乘法运算的区别

3.预习目标检测题

4.知识点链接与思考

4.1查找矩阵的背景知识，了解矩阵的发展史；

4.2查找数学家凯莱的相关介绍；

4.3思考矩阵乘法运算与数的乘法运算的区别和联系；

4.4思考矩阵乘法在现实生活中的应用有哪些？

（二）课中进一步落实

加强知识发生过程教学，适时进行课程思政——培养求真、求实、求善、求美的态度和精神。首先介绍矩阵的发展史，让学生对矩阵产生的背景有所了解。英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创立者，他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。矩阵已经成为一种重要的数学工具，它的理论和方法在数学和其他科技领域（如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等）都有广泛应用。矩阵的发展史印证了人的认知规律：由未知到已知，由浅入深的发展过程，数学家们孜孜不倦、勇于探索的研究精神是同学们学习的榜样，从而实现数学文化，数学精神与人文素养的有机融合。

以线性代数问题为先导，通过“问题解决”进行课程思政——学生实现知识的自主建构和能力的提升。首先由超市购物商品的价格计算引入向量乘法概念，贴近现实生活的例子更加吸引学生的学习兴趣；接着引导学生回忆向量的内积运算，分析向量乘法与矩阵乘法的关系，让学生通过知识点的链接更容易理解矩阵乘法概念；随之以问题为先导，让学生通过解决问题对矩阵乘法概念更加深入的理解：1.矩阵乘法与向量内积运算有什么关系？2.矩阵乘法为什么要求前矩阵的列数与后矩阵的行数相等？3.矩阵乘法和数的乘法有什么区别和联系？通过两个向量内积的运算分析矩阵乘法运算，乘积矩阵第i行j列的元素相当于前矩阵的第i行行向量和后矩阵第j列的列向量做内积运算得到，所以前矩阵的列数和后矩阵的行数必须一样多才可以做乘法运算。最后举具体的例子说明矩阵乘法与数的乘法的区别：1.矩阵乘法不满足交换律。例1：两个矩阵A、B，AB有意义，BA未必有意义。如矩阵A2×3与矩阵B3×4相乘可以得到两行四列的乘积矩阵C2×4，但是矩阵B3×4与矩阵A2×3就不可以做乘法运算，因为前矩阵的列数与后矩阵的行数不相等。例2：两个矩阵A、B，AB与BA都有意义，但是AB与BA不一定是同型矩阵。如矩阵A2×3与矩阵B3×2，A2×3B3×4为二乘二的矩阵，但B3×2A2×3是三乘三的矩阵。例3：两个矩阵A、B，AB与BA是同型矩阵，但是不一定相等。如矩阵，矩阵矩阵，。通过层层递进的例子剖析，让学生更加清楚地理解矩阵乘法不满足交换律。2.两个非零矩阵相乘可以是零矩阵，所以矩阵乘法不满足消去律。在例3可以看到两个矩阵A、B都是非零矩阵，但是，也随即得出矩阵乘法不满足消去律。问题为先导的教学模式有助于培养学生自主思考问题，解决问题的能力，相关知识点的关联学习有助于学生建立知识点的桥梁，达到融会贯通，举反例的数学方法的应用有助于帮助学生更加具体且深刻的理解知识点，培养严谨的数学思维。

结合具体案例分析进行课程思政——提升学生对社会现实生活的关注，培养民族责任感和自豪感。引入超市购买商品的实例，例：现在有A,B两家超市，销售酸奶的单价分别是5元，6元，销售面包的单价分别是9元，8元，小明需要购买6瓶酸奶，3块面包，问小明应该选取哪家超市购买更划算？这是一道普通的乘法和加法的运算问题，小明只需要用购买商品的数量与两家超市的商品单价做乘积运算再相加，和最小的即为最划算的，即在A超市需要5×6+9×3=57元，B超市需要6×6+8×3=60元，显然在A超市购买划算。这个简单的应用可以使用矩阵乘法处理，将A,B两家超市的两种商品的单价做成一个二阶矩阵，小明购买的商品数量写成一个两行一列的矩阵，这时候两个矩阵相乘就可以通过乘积矩阵很清楚地看到在超市A购买更划算，即：。在日常生活中超市的产品成千上万，顾客人数也是一个庞大的数量，这时候我们可以通过计算机处理大型矩阵的乘法，常用的是Physon中的Numpy来计算矩阵乘法。下面是使用计算机完成对上述例子里面的矩阵乘法计算，可以看到结果一致。在人工智能蓬勃发展的今天，语音识别，大数据，人脸识别随处可见。尤其是疫情期间，行程记录，人脸识别起到了非常重要的作用，这些都跟矩阵的知识息息相关。让学生了解矩阵知识在现实生活中的应用，可以提升学生的学习兴趣，提高他们的学习动力；再结合社会热点，评美国制裁中兴、华为等事件之痛，可以激发学生科技报国的家国情怀和使命感。

（三）课后总结与反思

总结：本节课程的重点内容是讲述矩阵的乘法运算，辅以思政元素后让本节课程更加丰满，生动，深刻。学完本次课后，学生对矩阵的历史起源，矩阵的概念，矩阵的应用有了更加全面的认识。

反思：由于课程是与翻转课堂结合进行，需要学生在课前做好预习工作。对于自觉性差的同学来说预习效果不好，直接影响到上课质量，所以如何有效地监督学生进行预习非常的重要，解决这个问题除了提高学生自己的学习主动性外，也需要老师适当的监督提醒。再有思政元素的融入可以让学生参与，比如可以布置一些个性化作业，让学生真正参与到思政教学中去，可以通过漫画、手抄报、思维导图的方式进行。

三 结语

以往的大学教育对学生思政的培养都是依托学校开设的思想政治教育课程，虽然一直强调教书育人，但并未真正如此大力度地要求贯彻在每个课程的课堂教学中。将思政融入课堂教学的一次很好的尝试，也是在具有丰富的数学文化的数学学科中进行真正意义上的“育人”，从教学环节的思政融合设计到整个教学体系的构建，呈现了一个完整的课程思政蓝图。人文精神与科学精神的双结合，专业内容与思政“元素”的相融合，可以帮助学生在学习专业知识的同时，思想政治意识得到提升，从而树立社会主义的核心价值观，增强“四个自信”，使学生能够健康、快乐、积极成长。