浅谈一道电容器与动生电动势的问题中电阻的忽略

岳凌月 琚 鑫 马朝华

(1. 北京师范大学附属中学，北京 100052； 2. 北京市海淀区教师进修学校，北京 100036)

1 问题的提出

图1

如图1所示,水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨,两导轨间距为L．在导轨之间接有电容为C的不带电的电容器,导体杆质量为m,并与导轨接触良好．整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．现用一水平恒力F向右拉动导体杆从静止开始运动,不考虑杆与轨道之间的摩擦和空气阻力,不考虑一切电阻．假设导轨长度足够长,磁场的范围也足够大,试证明该导体棒将做匀变速直线运动．

参考解答如下.

再对导体棒做受力分析,应用牛顿第二定律,有

F-BiL=ma.

联立上述两式,得到加速度为

(1)

可见加速度a为一个定值,结合题干信息可以判断,该导体棒将做初速度为0的匀加速直线运动．

在实际教学中,无论是教师,还是学生都可能对“导体棒两端电势差总等于电容器两端电势差”这个结论有很大的疑惑,如果上述结论成立,那么怎么会有充电电流呢?如果没有充电电流,那么电容器是如何带电的?也就是忽略所有电阻,真的合理吗?

图2

2 考虑电阻R的解析解

尝试先给出考虑电阻R的普遍情况,装置如图2所示,其余条件与图1均相同．设某时刻t时,导体棒的速度为v,回路中电流为i,电容器某一极板上所带电荷量为q,则根据基尔霍夫方程有

(2)

再根据牛顿第二定律,有

(3)

这就是我们解决这个问题的微分方程组．将电流的定义式i=dq/dt代入(2)式后,再对(2)式两端对时间t求导,得

(4)

将(3)式代入(4)式,整理后得

(5)

结合初始条件t=0时,电容器极板所带电荷量q(0)=0,电路中瞬时电流dq(0)/dt=0,于是得到上述二阶常微分方程的特解

(6)

将(6)式对时间t求导,得到电流i随时间的演化关系

(7)

将(7)式代入(3)式得

(8)

即得该导体棒的加速度为

(9)

下面对(9)式做如下讨论.

这与(1)式中的结果相同．说明导体棒会越来越趋于一个匀变速直线运动,这与忽略所有电阻时的结论是一致的．

(2) 如果直接取R=0,会导致(9)式中的e指数项中的系数“-(CB2L2+m)/mCR”这一项无意义,为了避免出现发散,不妨令R→0,这样就导致当t=0时,(9)式的第一项趋于无穷大,但随着t>0,这一项会迅速趋于0,即导体杆会迅速趋于匀加速直线运动．同样的情况也适用于(7)式,即i→∞,所以充电时间Δt→0,这就解释了为什么总有导体杆两端电势差总与电容器两端电势差相等．

图3

(3) 再来讨论电阻R的数值对结果的影响．从理论上讲,按照(9)式的结果,导体棒要用无限长的时间才能达到匀加速直线运动,但是就实际而言,它会在有限的时间内非常接近匀加速直线运动．如图3所示,分别为R的数值较大和较小时的情况,可以发现,当电阻R的数值较小时,加速度趋近于定值F/(m+CB2L2)所需要的时间越短．

3 教学建议

在实际教学中,应当正面回应教师与爱思考的学生所提的问题,即题目中要求忽略一切电阻是一种非常极端的情形,会存在一些物理上的小问题,但是题目的做法却是有依据的,即当回路中的电阻越小,导体杆加速度趋于稳定所需要的时间就越短,电容器每次充电提升电势差与导体杆两端电势差相同所用的时间Δt就越短.限于中学数学的水平,这种严格的情况中学阶段无法处理．但是，当忽略一切电阻时,这个时间Δt可以忽略不计,就可以在中学的数学范围内进行求解了．注意还要说清楚一个问题,那就是因为不考虑一切电阻这个极端情况,因此电容器的充电电流i为无穷大,充电时间Δt无穷小,但上述i和Δt还应该满足iΔt=有限值．