基于物理观念 突出问题本质 强化科学思维——对一道物理复赛理论题解法的分析思考

陈鸿翔

(湖州市菱湖中学 浙江 湖州 313018)

1 问题呈现与命题分析

第35届全国中学生物理复赛理论题第2题呈现如下.

【原题】如图1所示，劲度系数为κ的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m的小球；弹簧水平，它处于自然状态时，小球位于坐标原点O；小球可在水平地面上滑动，它与地面之间的动摩擦因数为μ.小球初始速度为零，将此时小球相对于原长的伸长量记为-A0(A0>0,但A0并不是已知量).重力加速度大小为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.

(1)如果小球至多只能向右运动，求小球最终静止的位置和此种情形下A0应满足的条件；

(2)如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的位置和此种情形下A0应满足的条件；

(3)如果小球只能完成n次往返运动(向右经过原点，然后向左经过原点，算1次往返)，求小球最终静止的位置和此种情形下A0应满足的条件；

(4)如果小球只能完成n次往返运动，求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的总路程.

图1 原题题图

因此，要系统地解决该问题，必须要从振动的动力学本质出发，以运动和相互作用的物理观念为指导，运用矢量分析法，结合数学工具——振动的微分方程得出小球沿水平面做机械振动的运动学关系式，进而通过类比归纳的方式解决小球最终静止位置x与弹簧初始形变量A0的关系.故可构建解决问题的核心素养导向与要求的脉络图如图2所示.

图2 问题解决的核心素养脉络图

2 基于问题物理本质下的解法探讨与呈现

2.1 对小球静止位置x与A0所满足条件的求解

根据运动与相互作用观念指导下的解析要求，需对小球向右与向左运动过程进行受力分析与运动分析，其受力分析如图3所示.

(a)小球向右运动

(b)小球向左运动

根据受力分析与运动分析，取向右为小球运动的正方向，并结合牛顿第二定律可得小球向右运动时的动力学微分方程为

整理以后有

其中

因此可得小球运动学方程为

(1)

列出小球向左运动时的动力学微分方程

同理可得小球向左运动时的运动学方程为

(2)

对式(1)和式(2)关于时间t求导可得小球运动速度v随时间变化的关系式分别为

v=ωAcos (ωt+φ)v=ωBcos (ωt+φ)

(3)

可得

v=ωAcos (2nπ+φ)=ωAcosφ=0

由于小球仍能向右运动，故κAn>μmg,因此系数A<0,故cosφ=0，sinφ=1，因此小球开始第n+1次往返并向右运动时运动学方程满足

(4)

因此可得到小球此时向左返回时的运动学方程为

(5)

因此,通过类比归纳得出小球经n次往返运动到最左端时相对于O点的位移大小为

(6)

其中A0为小球运动初始时刻相对于O点的位移大小，即弹簧初始时刻的形变量大小，因此An也可理解为弹簧经小球n次往返后的形变量大小.

因此,小球开始第n+1次往返至右端的最大位移Bn的大小满足

(7)

根据以上分析可得到小球做机械振动的位移-时间图像如图4所示.

图4 小球做机械振动的位移-时间图像

根据图4并结合式(6)和式(7)可得到小球经n次往返运动后所静止的位置x及A0所满足的条件为

(1)若小球第n次往返中向左通过O点并不再向右返回，则

-An<0κAn≤μmg

故有

此时小球静止于

(2)若小球开始第n+1次往返并向右运动但未通过O点，则κAn>μmg，Bn≤0，故有

(3)若小球开始第n+1次往返向右通过O点，但不再向左运动，则Bn>0，κBn≤μmg，故有

此时小球静止于

(4)若小球在第n+1次往返中向左运动但未通过O点，则-An+1≥0，κBn>μmg，故有

此时小球静止于

点评：解决动力学问题，最能突出问题物理本质的求解方法是给出物体运动的动力学方程与运动学方程，并结合物体随时间变化的运动图像，从而能够在任意时刻描述物体的受力情况与运动情况.尽管在高中阶段的机械振动问题中引入运动的微分方程要求较高，但对于中学物理竞赛而言，适当的数学方法的应用与拓展有助于加深学生对物理模型建构与定量解析的认识，并加强学生的科学思维.

2.2 运用数列求和计算小球运动全过程的路程

从深化学生物理观念与深度培养学生科学思维的角度来说，最好的方法就是拓展问题已有的解法，从而在丰富问题本身物理涵义的基础上对答题的思路与角度加以延伸，使学生在观念上予以认同，思维上获得感知.

由于小球在运动过程中所受的摩擦阻力大小恒定不变且已知，因此,在求解路程的常规方法上选择能量守恒定律，即弹簧弹性势能的减少量等于小球克服摩擦力阻力的功，即

但由于小球往返运动中相对于O点向左与向右的位移满足随往返次数n呈现等差数列的变化规律，不妨利用等差数列求和公式来计算小球运动过程中的总路程s.

已知小球第n次运动到最右端时与O点的距离为

第n次返回最左端时与O点的距离为

根据上文中图4所示，并结合小球机械振动的往复性特点可知运动过程的总路程s满足

s=A0+(A1+…+An-1)×2+An+

(B0+B1+…+Bn-1)×2=

s=A0+(A1+…+An-1+An)×2+

(B0+B1+…+Bn-1)×2+Bn=

s=A0+(A1+…+An-1+An)×2+

An+1+(B0+B1+…+Bn-1+Bn)×2=

点评：对于有阻力作用下的机械振动其振幅逐渐减小，求解小球运动的总路程不仅需要考虑等差数列求和公式的应用，同时还需要考虑振动往复性与运动反向前后行进路程大小的对称性，故不能简单地对数列{An}与{Bn}求和.因此,该方法对机械振动的运动本质探讨更深入，虽然在模型的构建上与解析上有更高的要求，但对于学生思维与推理能力的锻炼能起到更好的作用与效果.