利用图像法巧解一类均匀带电双圆环问题

2021-03-25郑金

物理通报 2021年4期

郑金

(凌源市职教中心辽宁朝阳 122500)

对于单个均匀带电圆环在垂直于圆面的轴线上产生的电场，其场强变化具有一定的规律性.首先定性分析轴线上的场强变化特点，可大致画出圆环一侧轴线上的场强随距离变化的图像如图1所示.由于在圆心处场强为零，在无穷远处场强也为零，那么场强必然先增大后减小，因此在轴线上的场强存在最大值，其位置离圆环很近，由此可判断场强从零开始很快增大，然后缓慢减小.由于圆环两侧的场强方向相反，则在定义域内的整个图像关于原点对称，可根据对称性画出圆环另一侧轴线上的场强矢量随距离变化的图像，位于横轴的下方.

图1 均匀带电圆环一侧轴线上的场强分布

由图1可见，在原点O处的场强为零，其余各点处的场强均大于零，那么原点O关于场强最大值位置对称点c处的场强必大于零.由此推知，在点O与c之间，到场强最大值位置相等距离的任意两点a和b处的场强不相等，而是左侧a点处的场强小于右侧b点处的场强，即Ea

还可进行定量推导证明.设圆环半径为R，带电荷量为Q，在过圆心O垂直于圆环平面的轴线上有一点P，到圆心的距离为OP=x，利用对称性和微元法可推导出轴线上的场强随距离变化的关系式为[1]

为了证明Ea

利用数学公式和一定的数学技巧，通过大量的数学运算，可推出一个等价不等式

4l4+4R2l2-7R4<0

这是关于l2的一元二次不等式，利用抛物线的性质和求根公式可得

对有关两个相互平行而且正对的均匀带电圆环在轴线上产生电场的分布特点问题，若用定量推导的方法进行解答则很繁琐，而利用图像法进行解答，可化繁为简.下面利用单个圆环轴线上的场强随距离变化的图像来解答两道有关双圆环产生静电场的物理问题.

【例1】如图2所示[2]，两个相同圆环相隔一定距离同轴固定在竖直平面内，点O1和O2分别为两圆环的圆心，两圆环均匀分布有等量异种电荷.一个不计重力的带正电的粒子从无穷远处以某一初速度沿轴线穿过两圆环，则带电粒子在运动过程中( )

图2 例1题图

A.在点O1处粒子的加速度方向水平向左

B.从点O1到O2的过程中粒子电势能一直增加

C.轴线上O1点右侧存在一点，在该点粒子动能最小

D.轴线上O1点右侧，O2点左侧都存在场强为零的点，它们关于O1与O2连线中点对称

解析:对于选项A，需判断O1点处的场强方向.右侧圆环在O1点产生的场强为零，左侧圆环在O1点产生的场强方向向左，因此两个圆环共同在O1点产生的场强方向向左，那么带正电的粒子受到的电场力方向向左，所以粒子的加速度方向水平向左，选项A正确.对于选项B，需判断O1与O2之间的场强方向.由于两个点电荷在O1与O2之间产生的场强方向相同，都向左，因此合场强方向向左，所以在带电粒子从O1点运动到O2点的过程中，电场力始终做正功，则粒子的电势能一直减少，选项B错误.

对于选项D，需寻找轴线上合场强为零的点.对于轴线上的合场强分布特点，可用图像法来分析.以O2点为原点，以轴线为x轴建立直角坐标系，对圆环轴线的左右端而言，规定水平向左为空间场强的正方向，在同一坐标系中分别画出两个圆环在轴线上产生的场强随距离变化的图像如图3所示.

为了在轴线上寻找合场强为零的点，可在坐标系中画纵轴的平行线，分别与横轴上方和横轴下方的两个图像相交，只要两个交点到横轴的距离相等，那么纵向直线与横轴的交点就表示空间合场强为零的位置，由对称性可知，场强为零的位置共有两点F和G，故选项D正确.

图3 两均匀带等量异号电荷圆环轴线上的场强分布

对于选项C，需判断轴线上某点合场强是否为零，而且粒子是否先受阻力，后受动力.在O1点右侧的合场强为零的点F，在过该点的虚线的左侧，两个图像对应的纵坐标之和大于零，或者说由图像表示的合场强大于零，表明空间合场强的方向与规定的正方向相同，即水平向左，画一个小箭头来表示；在虚线的右侧，由图像表示的合场强小于零，表明空间合场强的方向与规定的正方向相反，即水平向右.由此可见，在轴线上的空间合场强为零的点是合场强的方向发生改变的位置，可知带正电粒子向左运动经过点F前后受到的电场力先为阻力，后为动力，那么带电粒子先减速运动后加速运动，因此带电粒子经过该点时的动能最小，故选项C正确.可以判断，当粒子经过点G时动能最大.