考虑人群流动数据的COVID-19 传播模型

邓春燕, 郭 强, 傅家旗

（上海理工大学 管理学院，上海 200093）

对流行性传染病的实证数据进行建模分析，有助于深入研究传染病的传播规律，发现传染病的传播弱点和趋势，为采取有效的疫情防控手段、保持疫情防控成果提供重要科学支持[1-3]。新型冠状病毒肺炎（COVID-19）作为新型流行性传染病，由于大家缺乏对其传播规律和特性的了解，2020 年初在各地区迅速蔓延。根据国家卫生健康委员会官方网站公布的数据，全国累计确诊人数在2020 年2 月17 日达到最高峰，随后开始下降，疫情得到转变和稳定[4]。国家采取的区域封闭式管理和治疗措施在疫情管控上卓有成效，目前疫情也已经稳定，复工复产皆有序进行[5]。根据疫情前期爆发、中期管控下降、后期稳定的特点，全面研究COVID-19 的传播特性、传播弱点，为实施精准防控、防止少数潜伏或者确诊病例有可能带来的疫情反弹、保持疫情防控成果、实施疫情防控工作提供科学依据。

在COVID-19 突然爆发期间，关于COVID-19 传播的研究也有很多，为国家管理疫情提供了科学支持。除了预测COVID-19 持续时间[5-7]、估算高峰时期感染人数[8-9]、分析隔离对疫情管控的作用[10-11]等，研究工作还包括基于实时的疫情感染数据，利用经典传染病SI 和SEIR 等模型来分析COVID-19 的传播机制[12-13]。比如：利用经典传染病模型中的病例指数增长假设分析人群流动对COVID-19 传播的影响[14-15]；基于SI 模型构建复杂人流网络的COVID-19 传播模型，在未考虑传染病潜伏过程下分析不同省市的疫情传播特点[16]；利用疫情的动态变化数据建立SEIR 模型分析区域隔离的有效性[17]；通过构建分数阶SEIR 模型描述疫情的动态传播，利用微分方程残差幂级数求解来描绘感染过程，但是忽略区域人数流动总数的变化[18]；基于SEIR 模型建立考虑公共交通工具内部因素的疫情传播模型，分不同站点阶段刻画疫情扩散机制[18]；考虑离散时间内输入患者对特定地区的影响和风险分析的改进SEIQR 模型[20]；还有以传染病模型验证感染患者在发病症状不明显时期和未隔离时的扩散传染率[21]。这些研究成果都让人们对COVID-19 有了更多的认识，了解到COVID-19 的传播机制和隔离的重要性，为国家实施疫情管控工作提供了帮助。

通过已有的研究可以发现SI 或者SEIR 模型都能有效分析COVID-19 的传播过程，但这些工作并未全面考虑疫情由严重到稳定这一过程中COVID-19 传播效力的不同，人群流动和疫情稳定时的管控会使COVID-19 的传播规律发生变化。因此，本文尝试根据我国由严控至逐步复工复产（2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日）期间不同的COVID-19传播程度，构建考虑人群流动情况下，分析易感人群和潜伏人群的变化对确诊人群影响的疫情传播D-SEIR 模型，并以实证数据进行验证拟合，利用传播模型更加准确分析COVID-19 的传播规律。本文所有研究数据均来自于2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日这一时间段。

1 COVID-19 传播模型

经典SEIR 模型常适用于具有潜伏期的传染病传播研究，通过把人群划分为易感人群、潜伏人群、确诊人群、治愈人群来构建传播微分方程，并假设整体人数不变来求解微分方程中的传染率参数，再代入传播微分方程以此刻画传染病的传播过程[22-23]。其中：易感人群是指未感染传染病的健康人群；潜伏人群是指已经被传染病感染但未有发病症状的人群；确诊人群是指具有传染病发病症状并诊疗确诊的人群；治愈人群则是指经过隔离治疗治愈出院的患者人群。

由于COVID-19 具有一定潜伏期[24]，本文同样将COVID-19 传播中的人群分为：易感人群（S）、潜伏人群（E）、确诊人群（I）、治愈人群（R）。再构建考虑地区间人口流动和地区内部人口流动情况的疫情传播模型（简称D-SEIR 模型），综合考虑人口的流动数据、易感人群和潜伏人群的数量变化来预测染病人群的变化。构建模型的过程中为使模型更加有效，假设流动人群皆为易感人群和潜伏人群，确诊人群已经被隔离收治。另外由于疫情在由严重转至稳定期间的传播规律不同，而2 月17 日全国确诊人数出现下降趋势，疫情开始稳定，本文将构建的D-SEIR 模型分为两部分：第一部分是对疫情初始至稳定前的COVID-19 传播模型进行构建；第二部分是对构建的COVID-19 传播模型基于疫情稳定后的情况进行调整，让DSEIR 模型更加符合真实情况。

1.1 考虑人群流动的D-SEIR 模型

基于国家进行区域隔离的政策和疫情处于春节特殊时期的特点，本文将各地区构建为一个半封闭系统。半封闭系统是指该地区在特殊时期内没有人员流出，只有人员流入。因为疫情恰逢春节，有很多出门旅游和在外长期务工的人员回到他们所在家乡，各地区就有大量的人员流入，而后疫情爆发，政府采取隔离措施限制各地区人员的流出，所以将行政区域构建为一个半封闭系统。而这部分回到自身所属地区的人群可能是易感状态也可能是潜伏状态，他们对自己的感染情况并不知晓。基于此绘制出各地区人群流动的DSEIR 模型示意图，如图1 所示。图中：下标q 表示本地区，p 表示其他地区；Sp，Ep分别表示从其他地区p 流入的易感人群和潜伏人群； λ表示不同人群之间转化的调节参数； ε表示不同人群之间转化的误差常数。

图1 D-SEIR 模型示意图Fig.1 Schematic diagram of D-SEIR model

从图1 可以看出，易感人群Sp和潜伏人群Ep流入到q 地区，那么q 地区原本的易感人群和潜伏人群数量会增多，潜伏人群增多后转化为确诊人群，确诊人群的数量也会发生变化。基于此，定义q 地区t时刻的易感人群数为Sq(t)，潜伏人群数为Eq(t)， 确诊人群数为Iq(t)，治愈人群数为Rq(t)， 流入q 地区的易感人群数为Sp(t)，潜伏人群数为Ep(t)，构建考虑人口流动的D-SEIR 模型，模型动力学方程如式（1）所示。

式中： ΔSq(t)为t时刻易感人群数量相较于t-1 时刻的变化量； ΔEq(t)为t时刻潜伏人群数量相较于t-1 时刻的变化量； ΔIq(t)为t时刻确诊人群数量相较于t-1 时刻的变化量； ΔRq(t)则为t时刻治愈人群数量相较于t-1 时刻的变化量。因为各地区的流入人群只有易感人群Sp和 潜伏人群Ep，所以流入人群的Sp(t)和Ep(t)关 联 到 模 型（1）中 的Sq(t)，Eq(t)部分。

由于COVID-19 在疫情期间不断传播扩散，通过把病毒传染给易感人群，易感人群的数量减少并转化为潜伏人群，影响潜伏人群时刻变化量ΔEq(t)。然后，潜伏人群一旦有发病症状，经过确诊变为确诊人群，影响确诊人群时刻变化量ΔIq(t)，而确诊人群经过隔离治疗会转变为治愈人群，影响治愈人群时刻变化量 ΔRq(t)。因此，为准确反映各地区每天疫情的变化情况，t时刻易感人群 ΔSq(t)主 要由前一时刻的易感人群Sq(t-1)决定，潜伏人群 ΔEq(t)主要由前一时刻的易感人群Sq(t-1)决 定，确诊人群 ΔIq(t)主要由前一时刻的潜伏人群Eq(t-1)决 定，治愈人群 ΔRq(t)由前一时刻的确诊人群Iq(t-1)决定。据此，本文根据式（2）来确定易感人群的时刻变化量 ΔSq(t)、潜伏人群的时刻变化量 ΔEq(t)、 确诊人群的时刻变化量 ΔIq(t)和治愈人群的时刻变化量 ΔRq(t)。

式中： λq为 调节常数； εq为误差常数。

另外在模型进行实证数据拟合前，先把q 地区的病例患者进行时刻状态分类统计。通过一名患者的发病时间和治愈时间，判断具体时刻患者的身体状态。在发病时间之前包括易感状态和潜伏状态，在发病时间和治愈时间之内为感染状态，治愈后则为治愈状态。由于国家卫健委发布的新冠病毒防控中宣布新冠病毒的潜伏期为1～14 d，通常为3～7 d[4]，为了让模型对疫情中COVID-19潜伏扩散的情况预估复现更为准确，在分析过程中包含大部分患者的真实染病潜伏情况。本文以发病时间的前7 d 内为界限判定患者的潜伏状态，发病前7 d 外为易感状态。从而统计出q 地区每一时刻的易感人群、潜伏人群、确诊人群、治愈人群数量，再计算q 地区每时刻处于不同状态的总人 群 数 量Sq(t)，Eq(t)，Iq(t)，Rq(t)，以 及不 同 状 态下 的人群 数 量时刻 变 化值 ΔSq(t) ， ΔEq(t) ， ΔIq(t)，ΔRq(t)。基于上述数据分类统计，分别代入式（2）进行拟合求解，将拟合参数结果代入便可求出模型的拟合变化值。以拟合求出的各时刻人群变化量为结果，各时刻人群变化量的真实数据为标准，作图对比2 月17 日前的COVID-19 的传播感染过程。

1.2 疫情稳定后的D-SEIR 模型调整

由于疫情确诊人数在2 月17 日后开始下降，疫情开始稳定，稳定后的感染人数传播效力、健康人员管控力度、治愈效果和前期相比都发生了变化。构建的初始D-SEIR 模型是以疫情严重时段的COVID-19 为基础建立的，用此模型求解结果直接预测稳定后的感染情况会有偏差。因此，将DSEIR 模型中加入调节参数，使模型对疫情后期的预测拟合更加符合实际情况。

在加入调节参数过程中，考虑到疫情后期的易感人群、潜伏人群、确诊人群、治愈人群变化趋势逐渐稳定，感染人数减少，治愈人数增多，疫情整体呈现好转趋势，将调节参数 γ针对易感人群、潜伏人群、确诊人群、治愈人群的不同时刻总数进行调整，通过对易感人群、潜伏人群、确诊人群、治愈人群的二次影响反映疫情稳定后的ΔSq(t)， ΔEq(t) ， ΔIq(t) 和 ΔRq(t)变 化 趋 势。结 合 式（2）对D-SEIR 模型进行参数修正，将参数修正指标 γq依次加入式（2）中，修正后的D-SEIR 预测模型如式（3）所示。

根据调整后的D-SEIR 模型式（3），便可计算出疫情严控至复工复产后的确诊人群变化情况ΔIq(t)和 易感人群变化情况 ΔSq(t)，以此分析模型调整后对于各地区疫情描绘的结果，并将预测趋势与实证数据的变化趋势进行对比，分析COVID-19 传染病在疫情后期的传播特性。

2 D-SEIR 模型评价标准

为了判断D-SEIR模型对新冠肺炎S，E，I，R人群时刻变化量的拟合准确度，本文以拟合优度r2为评价标准。r2经常被用来分析线性回归模型拟合结果的好坏[25]，取值在0～1 之间，值越靠近于1 表明模型对目标变量的刻画能力越强，模型拟合效果也越好。因此，本文以拟合优度r2来判断DSEIR 模型对S，E，I，R人群时刻变化量的刻画程度，计算公式如式（4）所示。

式中：y为实证数据不同人群的时刻变化量 ΔSq(t)，ΔEq(t) ， ΔIq(t) ， ΔRq(t)；为对实证数据不同人群时刻变化量均值的计算；则是通过式（2）拟合出的不同人群的时刻变化量。

3 实证数据分析

3.1 数据简介

考虑到地区感染情况的代表性和疫情期间人群流动的特点，首先以市级地区为例，本文选取人群流动多、传播情况复杂的一线城市深圳市为研究对象；然后以省份地区为例，选取沿海省份疫情感染程度在全国居中的山东省为研究对象。最终，本文以这两个地区的COVID-19 感染情况进行实验分析。其中，深圳市419 名病例，山东省558 名病例，数据包括每日病例报告时间、发病时间、发病原因、居住地、活动区域和治愈时间，数据统计时段为省市严控至复工复产的2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日。然后通过病例的居住地和活动区域，区分感染患者的地理区域，整理成省市流入人群和省市本地人群两大类，代入D-SEIR 模型中。经过统计，详细数据如表1所示。

其中，流入人群感染数是居住于外省市或者于外省市旅游，并在2020 年1 月19 日—2020 年3 月6 日来到统计地区的确诊人群总数。本地人群感染数是本地居住人群，并且未离开过本地区的被感染人群总数，本地人群主要通过与其他潜伏或者确诊人群接触而患病。

表1 实验统计数据Tab.1 Design parameters

然后进行时刻状态人群分类统计，根据发病时间、诊疗出院时间、潜伏时间7 d 来判断病例的时刻归属状态，即易感人群、潜伏人群、确诊人群和治愈人群中的一类，从而统计每一时刻的Sq(t)，Eq(t)，Iq(t)，Rq(t)数。同 时，为 了防 止 真 实数据在以1 d 为单位统计时可能出现延迟，减少模型对48 d 不同人群拟合带来的误差，本文实验确定时刻单位为2 d。基于疫情由严重至稳定的这一过程，将2 月17 日之前作为模型初始数据拟合，2 月17 日后作为模型调整数据拟合。

3.2 D-SEIR 模型拟合结果

以深圳市为例，将统计得到的时刻S，E，I，R数量和时刻变化量代入式（2），进行COVID-19 传播的D-SEIR 传播模型拟合。求解得到λq1=-0.249 2 ，εq1=-0.639 7， λq21=0.004 723， λq22=-0.789 6， εq2=-0.33， λq3=0.411 5， εq3=-14.05，λq4=0.061 57， εq4=-3.525。拟合结果如图2 所示，再根据式（3）求得拟合优度r2，在图2 中进行标注。

从图2 可看出 ΔSq(t) ， ΔEq(t)， ΔIq(t)的拟合结果（红色圆圈曲线）和实际数据（黑色方块曲线）贴合很近。在图2（a）中，从黑色方块曲线呈现的变化趋势来看，可以将 ΔSq的变化分为两个阶段。第1 阶段是从1 月21 日—2 月10 日， ΔSq曲线由负值开始上升直至0，对应于图中2 月10 日这个节点。因为 ΔSq(t)为t时刻易感人群相较于t-1 时刻的变化量，此时易感人群不断被感染， ΔSq(t)小于ΔSq(t-1)，所以第1 阶段为负值。第2 阶段是从2 月10 日—2 月17 日， ΔSq的值始终为0。因为在419 名人员中易感人群已经被全部感染，没有健康人员的存在，所以时刻变化量 ΔSq始终为0。从红色圆圈曲线来看，拟合结果对应了 ΔSq的两阶段变化趋势，在2 月10 日前曲线上升，2 月10 日后一直为0，对于易感人群各时刻的变化量ΔSq(t)拟合结果很准确， ΔSq的 拟合优度r2值达到0.966 1，与1 很相近，表明拟合效果优。在图2（b）中，黑色方块曲线的变化趋势也可分为2 阶段：第1 阶段为1 月21 日—1 月25 日，曲线 ΔEq迅速下降，并从正值变为负值，其中曲线最高节点1 月21 日为正值，此时疫情刚爆发，人群还在大范围流动，造成了病毒传播潜伏人群的增多，而后随着隔离，病毒传播被控制，潜伏人群也减少。第2 阶段为1 月25 日—2 月17 日， ΔEq开始呈现上升趋势，并向0 逐渐靠近，潜伏人群最终逐渐减少并最后稳定下来，但还是有少数未发现的潜伏病例在波动。红色圆圈曲线在 ΔEq的拟合上也很准确刻画潜伏人群变化量的走向，复现了1 月25 日前下降、后上升并稳定在0 的趋势，拟合优度r2值达到0.823 4，与1 相近，模型拟合效果较准确。

图2 深圳市D-SEIR 模型拟合图Fig.2 Fitting diagram of Shenzhen D-SEIR model

在图2（c）中， ΔIq的黑色方块曲线则一直下降，但在1 月21 日—2 月4 日之间为正值，也就是在这期间每天感染人数的变化量都为正值，说明感染人数一直在增加，这也对应疫情刚爆发时感染人数迅速增多的实际情况。而在2 月4 日—2 月17 日之间， ΔIq则下降为负值并且绝对值越来越大，说明疫情管控和治疗开始有效，感染人数在不断减少并且每天减少的变化量越来越大。ΔIq拟合数据的红色圆圈曲线也从1 月21 日开始迅速下降，在2 月4 日后变为负值，与真实数据的变化趋势相近，拟合优度r2值达到0.847 4，与1 也相近，拟合效果较好。从图2（d）中来看， ΔRq的黑色方块曲线趋势则可分为2 阶段：第1 阶段为1 月21 日—2 月4 日，疫情前期治疗手段还不明确，治愈人数很少，治愈人群时刻变化量 ΔRq都在0 的周围波动。第2 阶段则为2 月4 日—2 月17 日，ΔRq出现明显的上升趋势，治疗手段的采取都开始起效， ΔRq为正值并大幅度上升。对比来看，ΔRq的红色圆圈拟合结果曲线则是先上升后下降的趋势，与实际数据贴合的结果则不是很好，拟合优度r2值为0.261 0，结果与1 较远。分析原因可能是治疗强度的外在因素，影响了感染患者单靠自身治愈的结果，使得 ΔRq不能单由Iq(t-1)准确拟合，因此r2的结果与1 相差较远。

再以COVID-19 在山东省的传播为例分析其传播规律，将详细数据处理得到的S，E，I，R人群时刻变化量，代入式（2），进行D-SEIR 传播模型拟合。求解得到 λq1=-0.178 1， εq1=-3.222， λq21=0.001 062，λq22=-0.293 6 ，εq2=-4.811，λq3=0.479 1，εq3=-34.56， λq4=0.073 73， εq4=0.444。拟合结果和拟合优度r2如图3 所示。

由 图3 可 看 出， ΔSq， ΔEq， ΔIq， ΔRq的 拟 合趋势（红色圆圈曲线）和实际数据（黑色方块曲线）贴合都很近。在图3（a）中，易感人群变化量 ΔSq的黑色方块曲线一直呈现上升趋势，将它分为2 阶段。第1 阶段为1 月24 日—2 月9 日， ΔSq曲线由负值开始上升直至到0，对应于图中的2 月9 日节点。第2 阶段为2 月9 日—2 月17 日， ΔSq曲线在0 附近小范围波动，此阶段疫情管控和治疗到位，新增被感染的易感人群也逐渐减少，停留在0 附近。从 ΔSq的模型拟合结果（红色圆圈曲线）来看，拟合结果也刻画了易感人群变化量的时间趋势，从1 月24 日开始曲线稳定上升，与黑色方块曲线趋势对应，小范围波动有偏离，拟合优度r2值为0.856 7，与1 较近，基本通过模型复现了 ΔSq的走势。由图3（b）可发现， ΔEq的黑色方块曲线的趋势并不稳定，两个数据点之间波动较大，但整体还是先下降后上升，也可分为2 阶段：第1 阶段为1 月21 日—2 月3 日，曲线趋势下降，从正值变为负值，1 月21 日为正值，潜伏人群增多后为负值，潜伏人群逐渐减少。第2 阶段为2 月3 日—2 月17 日， ΔEq曲线呈现上升趋势并最后停留在0 左右，病毒传播的潜伏人群基本已得到管控。红色圆圈曲线在 ΔEq的拟合上则描绘了潜伏人群变化量的走向，1 月21 日—2 月3 日下降、2 月3 日—2 月17 日上升并稳定在0，拟合优度r2值为0.410 4，虽然趋势得到复现，但因为真实数据的波动使得r2并不太佳。

图3（c）中， ΔIq的黑色方块曲线趋势也可分为2 阶段：第1 阶段为1 月24 日—2 月7 日，感染人数变化量 ΔIq为正值并逐渐下降，也就是说感染人数在逐渐增加但是增加的人数逐渐减少；第2 阶段为2 月7 日—2 月17 日之间， ΔIq开始下降为负值且绝对值越来越大，感染人数逐渐减少并且减少的趋势越来越快。 ΔIq模型拟合数据（红色圆圈曲线）也显示在1 月24 日—2 月7 日为正值下降，2 月7 日后则为负值下降，与真实数据的变化趋势相近，拟合优度r2值也达到0.879 5，拟合效果不错。图3（d）中， ΔRq的黑色方块曲线趋势也可分为2 阶段：第1 阶段为1 月24 日—2 月1 日，曲线平缓值为0 左右，治愈人数尚少；第2 阶段则为2 月1 日—2 月17 日，ΔRq出现明显的上升趋势，治愈人数逐渐增多， ΔRq为正值并大幅度上升。对比来看， ΔRq的红色圆圈拟合结果曲线则是先上升后下降，与实际数据贴合的结果不是很好，拟合优度r2值为0.694 5，但是与真实数据的趋势还是有差别，贴合不好，因此 ΔRq由Iq(t-1)来刻画趋势显得还不太够。

图3 山东省D-SEIR 模型拟合图Fig.3 Fitting diagram of Shandong D-SEIR model

3.3 疫情稳定后D-SEIR 模型调整结果

基于疫情严重时期建立了D-SEIR 传播模型和式（3）的调整模型，本文将其运用于疫情后期COVID-19 传播拟合预测。由于疫情各个时间段的感染人数不同，传播效力也不一样，尤其是在疫情后期感染人数迅速减少，隔离和复工复产也有影响因素，因此通过式（3）调节参数的求解使模型更加符合COVID-19 的整体传播趋势，调节参数结果如表2 所示。再将表2 结果代入式（3）预测Iq，ΔSq， ΔIq，结 果 如 图4 所 示。同 时 通 过 式（3）求得拟合优度r2，如图4 所示。

从图4 中可以发现，调整后的模型对于深圳市和山东省的Iq， ΔSq， ΔIq的描绘曲线趋势都很贴合，真实数据（黑色方块曲线）与拟合数据（红色圆圈曲线）的变化趋势一致。以深圳市为例，图4（a）中Iq的黑色方块曲线与红色圆圈曲线趋势可分为3 个阶段。第1 阶段1 月19 日—2 月5 日Iq迅速上升，COVID-19 扩散感染情况越来越严重，确诊人群数量一直上升。第2 阶段2 月5 日—2 月17 日，Iq则出现下降趋势，确诊人数随着控制和治疗逐渐减少，疫情扩散得到控制。第3 阶段2 月17 日—3 月6 日，Iq下降并趋于平稳，在2 月25 日节点开始一直稳定，再无新增和减少，疫情已经完全得到控制，剩下部分人群是在接受治疗的确诊人群。拟合预测红色圆圈曲线在Iq上面的第一、二阶段趋势高度一致，除去第3 阶段的平稳有偏离。图4（b）中从 ΔSq的黑色曲线变化趋势来看，红色圆圈曲线在2 月9 日节点前稳定上升，2 月9 日节点后也稳定在0 左右，复现了真实数据 ΔSq黑色方块曲线的变化趋势，r2则比不加调节参数时高，为0.971 2，无调节参数时图2（a）中为0.966 1。再观察图4（c）中 ΔIq的变化趋势，黑色方块曲线与红色圆圈曲线皆呈现先下降后小幅上升的趋势，也是由正值逐渐下降为负值，确诊人群的数量由不断增加变为不断减少。在2 月17 日—3 月6 日阶段，因为黑色方块曲线 ΔIq由最低点上升后平稳，确诊人群数量在减少，调整过程为了平稳上升过程中的点波动，所以在这阶段曲线稍许偏离，对比图2（c）中 ΔIq的 拟合结果，r2虽有一些下降，由0.847 4 变为0.818 0，但是在稳定后的确诊人群的演化趋势上更贴合。

表2 调节参数结果表Tab.2 Adjustment parameter results

图4 深圳市D-SEIR 修正模型拟合图Fig.4 Fitting diagram of Shenzhen D-SEIR modified model

再观察D-SEIR 模型在疫情稳定后的调整模型对山东省的传播拟合结果，如图5 所示。从图5（a）中可发现中Iq的黑色方块曲线与红色圆圈曲线也共同呈现先上升后下降2 阶段趋势，第1 阶段1 月21 日—2 月9 日，感染人数不断上升，并在2 月9 日节点达到最高峰，山东省此时感染情况最严重。第2 阶段2 月9 日—3 月3 日，感染人群数量开始迅速下降，不过没有趋于平稳的趋势，但山东此时疫情也已经得到基本控制，修正后的模型曲线红色圆圈曲线在这期间也与黑色方块曲线十分贴近，复现了感染人群数量变化走势。图5（b）中则对模型修正后的易感人群变化量 ΔSq进行描绘，根据曲线趋势也可分为2 阶段，第1 阶段1 月23 日—2 月17 日， ΔSq为负值并一直上升，直至为0，易感人群被感染的变化量一直在减少，直至疫情稳定后在无易感人员被感染，变化量为0。第2 阶 段2 月7 日—3 月1 日， ΔSq一 直在0 左 右波动，被感染的易感人员在疫情稳定后就更少，只是少数被感染。从两阶段来看模型修正的拟合结果（红色圆圈曲线）与真实数据（黑色方块曲线）很贴近，拟合优度r2达到0.861 5，比图3（a）中的拟合优度r2值0.857 6 有提高，描绘结果更为准确。而图5（c）中确诊人群变化量 ΔIq在整体下降，也可分为2 阶段，第1 阶段1 月23 日—2 月7 日，ΔIq为正值并逐渐下降，确诊人群的增加变化量逐渐减少。第2 阶段2 月7 日—3 月1 日， ΔIq为负值并后期逐渐稳定，感染人数在下降并最后稳定在接受治疗的感染人群总数上，无新增感染人员。两阶段调整后的红色圆圈拟合趋势也更贴合黑色方块曲线的走向，拟合优度r2为0.912 2，比图3（c）中未调整前的r2值0.879 5 提高，刻画确诊人群变化情况更为准确。

图5 山东省D-SEIR 修正模型拟合图Fig.5 Fitting diagram of Shandong D-SEIR modified model

4 结束语

本文根据严控至逐步复工复产期间不同阶段的COVID-19 感染情况，提出一种考虑地区之间人口流动和地区内部人口流动状态的疫情传播D-SEIR 模型。通过综合考虑在人群流动之下，构建D-SEIR 模型利用易感人群被感染的变化量和潜伏人群的变化量，拟合预测疫情在严重至稳定期间的易感人群和确诊人群的演变趋势。经过深圳市和山东省的实证数据实验结果表明，提出的D-SEIR 模型能够准确预测COVID-19 传播过程中的易感人群和确诊人群演化趋势。根据疫情未转变稳定前的传播情况，深圳市对易感人群变化趋势和确诊人群变化趋势拟合优度r2可达0.966 1 和0.847 4，山东省的拟合优度r2可达0.857 6 和0.879 5。当疫情转变稳定后，深圳市对疫情整体期间的易感人群变化趋势和确诊人群变化趋势拟合优度r2可达0.972 0 和0.818 0，山东省的拟合优度r2则可达0.861 5 和0.912 2。由实验结果可发现本文模型对于COVID-19 在人群流动下的传播规律刻画准确，可为复工复产背景下不同城市和地区的风险预警提供决策依据。但同时本文的模型还可以更加完善，比如对于治愈人群和确诊人群的关系、治疗因素对疫情传播的抑制作用、流动人群中确诊人群的存在对疫情扩散的影响等，这些工作将在以后的研究中再作更细致的分析。