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弄清等号的意义,让学生的代数思维更成熟

2021-03-24王小云

小学教学参考(数学) 2021年3期
关键词:加法启蒙数形结合

王小云

[摘 要]学生初学等号,了解它是用来连接两个等值的数,表示相等关系。在后续学习算术时,等号功能发生转变,作用变成标记计算结果。教学时要遵循学生认知的发展演变规律,选择时机来引导学生理解等号表示大小相等关系的功能。这样有利于学生理解代数关系式。

[关键词]代数关系式;加法;启蒙 ;数形结合

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068(2021)08-0022-02

义务教育阶段的数学知识的连贯性越来越强,小学算术与初中代数之间的“代沟”几乎弥合。新版小学教材中,一些带有“代数启蒙隐喻”的题目开始出现,如苏教版教材第一册第71页第9题(如图1)。

某位教师讲解这个问题时指导学生利用代数关系式“a+b=(a+1)+(b-1)”来解答第一个算式,但学生自主完成其他算式时状况频发:有的学生在填写第二个算式时想到6+1=7,于是在左端方框填入1,右端方框则随意填写;有的学生觉得一个等式中等号两边的方框里应填同一个数,左式是6+3,右式则是7+3;有的学生做对了,但他们是先自定左式的得数,再去推算右式中应填入什么数才得到这个得数。按照教师教授的方法做题且做对的学生仅有2名。

从上述情况来看,问题有二:其一,学生对等号意义的理解不透彻;其二,学生不理解代数关系式“a+b=(a+1)+(b-1)”。如何让学生在接触这道题前做好思想准备和知识铺垫?

一、多维度建构,理解等号的意义

在学生学习了“等号表示大小相等关系”之后进行巩固练习,让学生加深对等号这一功能的理解。如教学苏教版教材第一册第51页第5题(如图2):

师(出示图3):每个桃子一样重,要使天平平衡,右端可以放哪两盘中的桃子?

生1:1个桃子和4个桃子这两盘。

师:为什么?

生1:天平左端有5个桃子,右端也应放5个,天平左右两端桃子质量相等,才能平衡。

师:左端放有5个桃子用“5”表示,右端放4个桃子和1个桃子,怎么用数学算式表示?

生2:用“4+1”或者“1+4”表示。

师:此时,天平两端桃子的个数都是5,天平平衡,怎么用数学算式表示这种平衡关系?

生3:有两个算式可供参考,5=4+1或5=1+4。

师:真聪明!还有别的摆法吗?你们能够边摆桃子边解说吗?(学生上台演示并写出算式:5=2+3;5=3+2;5=5+0;5=0+5)

师:这些算式和以往学的算式有什么区别?

生4:以往学的算式,加法运算在左边,得数在右边,现在刚好颠倒过来。

师:你发现等号两边的算式和得数互换位置了。

生5:如果换回来还是和原来一样。

生6:就像天平两端的重物交换位置,天平仍然保持平衡。

师:联想到天平两端的重物交换位置,真棒。

(教师板书算式)

师:比较上面两组算式,它们有什么共同点?

生7:加法运算的计算结果都是5。

生8:中间都是用等号连接的。

生9:左边这组算式,数字5在左端,算式在右端,两边的值相等;右边这组算式,算式在左端,数字5在右端,两边的值相等。

师:以往我们习惯把算式写在等号左端,得数写在等号右端,现在算式和得数刚好调换位置,但是两边始终相等,所以中间一直用等号连接。

上述教学过程中,教师利用天平的平衡原理来类比等式的相等关系,并概括出等式,让学生把抽象的“等号的关系性质”融入具体的天平平衡中。在新旧算式的对比中,学生自觉应用“等式性质”改变原有对算式的狭隘认知,通过调换位置,把等号的功能从“表示计算结果”转向“表示相等关系”,加深对等号“表示相等关系”的理解。

二、动手操作,初步感知

学生在解决图1中的问题时,要用到“a+b=(a+1)+(b-1)”这个代数关系式,所以必须深入理解它。在“代数思想启蒙”阶段,并不需要学生将题目中隐含的代数关系提炼出来,但是学生要对这个代数关系有一个初步感知、大致理解和简单应用的过程,能够用自己的方式来理解和运用它,形成代数关系的意识,这样才有可能运用上述的代数关系式来解题。

动手操作是学生理解运算符号意义的最佳手段,同时也是理解算式数量关系的最佳途径,学生对于“a+b=(a+1)+(b-1)”这个代数关系式的理解也应从动手操作开始。如教学苏教版教材第一册第13页第2题(如图4):

(讓学生先根据指定的数目给圆圈着色,然后观察结果,说说自己的发现)

生1:涂色圆圈的个数依次是2、3、4,空白圆圈的个数就是3、2、1。

生2:涂色圆圈每次增加1个。

生3:空白圆圈一个个减少。

生4:涂色圆圈每次增加1个,空白圆圈每次减少1个。

师:这是为什么?

生5:总共5个圆圈,涂色圆圈每增加1个,空白圆圈的数量自然就会相应减少1个。

师:没错。5个圆圈总数不变,涂色圆圈每增加1个,空白圆圈就会减少1个。

上述教学过程中,在涂色之后交流研究,学生的注意力从按照指定数量涂色,转移到涂色圆圈与剩下的空白圆圈之间的数量对应关系上,学生根据操作中的现象来描述这种数量变化关系,形成对“a+b=(a+1)+(b-1)”这个代数关系式的初步感知和印象。

三、数形结合,多元表征

在前面的学习中,学生对“a+b=(a+1)+(b-1)”这个代数关系式的认识和了解,是建立在动手操作和对数的分合上的。在后续学习中,学生还要通过对结果相等的加法算式的有序整理,归纳出算式形式与结果的变化规律,重新在加法运算意义上构建对原代数式的认知。如教学苏教版教材第一册第53页第6题(如图5)时,教师让学生在操作之后,依序呈现所有可能的情况(如图6),并且与得数是6的加法算式进行对应。

师:观察以上算式,大家有什么有趣的发现?

生1:它们的结果都是6。

生2:蜜蜂方阵被划分成两个三角形阵型,左边的三角形阵型从上到下不断增加,右边的三角形阵型从上到下不断减少。

生3:从上往下看这一列算式,被加数逐次加1,加数逐次减1,得数不变。

师:好眼力,你是从上往下看的。思考一下,得数不变,为什么前面加了1,后面刚好就减1呢?

生4:答案就在图中,总共有6只蜜蜂,分成两组,左边多了1只,右边自然就减少1只。

生5:如果从下往上看,左边每次减少1只蜜蜂,右边每次增加1只蜜蜂,总数不变。

师:其实不管沿着哪个方向看,它们的变化规律是恒定的。

生6:在一个加法算式里,一个加数增加1,另一个加数减少1,和不变。

师:想一想,以前见过这种现象吗?

生7:和圆圈涂色是一个道理,圆圈总数不变,涂色圆圈每增加1个,空白圆圈的个数就减少1。

生8:数的拆分与组合中也存在类似现象,总数不变,左端增加1,右端就减少1。

师:没错,这种算式的运算关系和涂色游戏、数字拆分游戏有着异曲同工之妙。

上述教学过程中,教师把操作的结果与算式对照展示,通过数形结合,让学生深入理解“a+b=(a+1)+(b-1)”这个代数关系式。教师通过让学生回想以往所学的相关知识,将对上述代数关系式的理解从运算意义、数的分与合这两个角度合二为一,加深理解,形成多元表征。

在小学“代数思想启蒙”阶段,教师务必要做到尊重学生的认知发展规律。一方面,教师要把握住每一个问题背后隐含的代数关系式,了解学生的认知结构,并补充完善;另一方面,在遇到可以用代数思维解决的问题时,允许部分学生先用算术方法解决,后期逐步优化。

(责编 吴美玲)

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