小学数学理学案的核心要素与编制原则

[摘 要]理学案是“至理数学”教学主张在课堂落地生根的有效载体，其核心要素包括学材分析、学情调研、理学目标、理学历程。理学案在编制时需要遵循一体化、一致性、易操作等原则。

[关键词]理学案;核心要素;编制原则

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）08-0001-04

一、理学案的内涵与结构

“至理数学”是一种坚持从儿童出发，坚守学科本质和素养本真的教学主张，理学案是该教学主张在课堂落地生根的有效载体。理学案是在深度学习和践行学历案的基础上发展而来的。理学案是教师站在学生的立场，通过深度挖掘与教材相关的知识本质、学科本质设计出一个或几个具有主题性的研究任务，促使学生自主学习，逐步达到“学会”和“理解”的教、学一体化方案。它从学习者的视角，以“学什么”“怎么学”“学得怎么样”来设计学习过程。一份完整的理学案包括学材分析、学情调研、理学目标、理学历程四个核心要素，其结构详见表1。

本文以小学数学理学案设计为切入点，结合苏教版教材五年级下册“圆的面积”一课（以下简称“圆的面积”），重点分析其四个核心部分。

二、理学案的核心要素

1.学材分析

“至理数学”教学主张下的学材分析不仅包括课程标准、教材相关内容分析，还可以对其他支持性学材进行分析。本文学材分析主要就前两者展开。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于“圆的面积”的表述极其简练——探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题，与之匹配的苏教版教材将“圆的面积”安排在五年级下册进行学习。虽然学生之前已经学过长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的基本特征及其周长、面积计算公式，对圆的特征、周长也有一定的认识，但因为“圆的面积”需将曲线图形转化成直线图形，且涉及极限思想，所以认知难度较大。为了帮助学生有效突破学习难点，教材安排了两个例题，例1是探索圆的面积与以它的半径为边长的正方形面积之间的近似关系，例2是将圆转化成已经学过的平行四边形和长方形来探索圆的面积公式。不难看出，教材希望从“数方格”开始，让学生先整体感知圆的面积和半径平方之间的关系，再通过操作对圆的面积公式进行推理和验证。

2.学情调研

学情调研是理学案的重要组成部分，它是设定理学目标、设计和实施主题研究任务的主要依据。作为一种教育技术手段，理学案的学情调研比一般的学情调研要求更加细致、深刻、灵活：在内容上，需要涉及学生原有的知识储备、生活经验，必要时学习习惯与学习品质也可涵盖其中;在形式上，一般采用问卷、访谈等形式进行了解，必要时也可通过资料研究、课堂观察等加以完善;在时间上，可以根据需要放在课前、课中或是课后进行，课前测试便于了解真实起点，课中观察便于把握学习状态，课后测试便于检验学习效果;从对象上，可以面向全体施教学生，也可选择不同层次的学生代表;从结论上，需要点、面结合，既要对全班学生进行整体分析，也要对学生个体精准把握，以形成“面向全体、关注差异”的教学策略和矫正措施。

为了解学生的已有经验和学习起点，我们设计了前测题目：

1.忆一忆：你学过哪些平面图形？用字母写出它们的面积公式。

2.想一想：这些平面图形的面积公式是怎么得到的？选择一个，写出它的研究过程。

你选择的是（       ）形。

研究过程：

3.关于圆的面积：

（1）你知道圆的面积公式吗？（在括号内画“√”）  知道（    ） 不知道（    ）

如果知道，请写出面积公式：

（2）你知道圆的面积是怎么得到的吗？（在括号内画“√”）

知道（    ） 不知道（    ）

如果知道，请写出研究过程：

为了不加重师生负担，但又能确保调研结果的典型性和代表性，我们分别从授课班级中的 “中上”“中等”“中下”水平的学生中随机抽取各4人参与测试和访谈。前测数据显示，对于第1题（考查已学图形面积公式），80%以上的学生都能写出3种以上的图形名称及其面积公式，但大多不会使用字母表达，而直接写成如“长×宽”的形式，还有混淆面积和周长公式的情况。对于第2题（考查已学图形面积公式来源），半数以上的学生写出了“转化”，其余学生或留空，或文不对题;而在举例说明面积研究方法时，学生选择较多的是将平行四边形转化成长方形来研究面积，三角形次之，梯形最少，而用小正方形拼摆得到长方形面积，即“数格子”的方法，无人提及。对于第3题（考查新知），有4人知道圆的面积公式，但能写出研究过程的只有1人，他是把圆转化成近似平行四边形后进行推导，由访谈得知，其法为校外培训班所教。由上可知，多数学生对以前学习的平面图形面积公式尚有记忆，对四年级研究平行四边形面积所用的“转化”方法印象较深，对三年级研究长方形面积公式的“数格子”方法遗忘严重，对四年级所学的三角形、梯形面积公式来源遗忘程度次之;对于即将学习的新知，大部分学生缺乏技术储备。此次调研虽然程序简易，但深入和全面，能帮助教师精准判断学生“在哪里”和选择“何以学会”的最佳路径。

3.理学目标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面阐述教学目标。理学目标结合教学主张本质，从“讲清数学道理”“加深数学理解”“发展数学理性”三个维度与课程标准中的四个方面进行融合，刻画学生通过理学活动所能达成的学习效果。与一般的教學目标相比，理学目标的确定依据和语言表述有所不同。

首先，理学目标必须依据学材分析和学情调研而定。基于之前所述的“圆的面积”学材分析和学情调研，本节课的理学目标见表2。其次，理学目标的语言表达方式不同。一般教案中，教学目标的行为主体是教师，语言表述通常采用“使学生……”的形式，显然是站在教师的立场和视角来设定目标，而理学目标的行为主体是学生，目标中的数学活动需要学生亲力亲为，“以生为本”成为必然。

4.理学历程

“理学历程”是记录教师“怎么教”、学生“怎么学”的档案，包括“主题研究”和“实施要点”两个部分。“主题研究”是专供学生自主研究的学习单，它不仅要提供由理学目标分解、提炼而来的研究任务，而且要准确记录学生经历自主学习过程中的所思、所想、所为。“实施要点”是对教师如何组织学生开展主题研究的方法、策略的记录。因而，“理学历程”既是记录学生学习过程和结果的评价表，也是留存和传递教学方法的备课手册。由于“实施要点”是一般教案的主要内容，本文略过不谈，只结合表3讨论“主题研究”设计应注意的问题。

首先，“理学历程”中的主题研究任务要与理学目标具有一致性，要以理学目标为导向，并始终围绕如何实现理学目标展开，如表3中“研究1-1” “研究1-2”是为了实现理学目标“在探索的过程中整体感知平面图形面积的研究方法，体会‘转化的价值”而设计的学习导入;“研究2-1”不仅指向理学目标“运用转化策略，探索圆的面积公式”，而且能够实现理学目标之“能借助操作、观察、比较、想象、推理等数学活动，解释圆的面积公式由来”;“研究2-2”是对“能进行简单计算”和“根据圆的面积公式对圆和以半径为边长的正方形面积之间的关系做适度推想和关联”这两个理学目标的落实。

其次，在“理学历程”中，学习活动要有层次、有梯度，不同的主题研究任务，以及同一主題内的新知建构任务和关联运用任务，都必须遵循学生的认知规律，循序渐进、螺旋上升。例如表3中的4个主题研究任务按照“寻找方法”“尝试转化”“拓展应用”的思路由浅入深，层层推进，而在每一个主题研究内部，“寻本质·讲道理”栏目侧重新知的探索、建构，“会关联·能运用”更关注知识的关联、运用以及思维是否得到进阶。

三、理学案的编制原则

理学案编制时要遵循一体化原则、一致性原则、易操作原则。

1.一体化原则

理学案中的一体化主要是指教案、学案一体化。当下，教师常用的教学方案有两种，一种是从如何教的层面进行设计的传统教案，包括教学目标、教学重难点、教学过程等，其中教学过程最为重要，通常含有复习引入、教学新知、巩固练习、全课总结环节;另一种是导学案或学案，从如何引导学生自主学习的层面进行设计，呈现形式为学习单，内容多是学生课上（或课前）需要解决的任务、习题等。

崔允漷教授提出的学历案是教案、学案一体化的代表，但其包含要素较多，且适用对象为中学生。考虑到小学生开展大单元、大容量主题化学习的能力有限，理学案在学历案的基础上做了适度调整：（1）将大单元设计分解成课时学习;（2）保留学习（理学）目标、学习过程（理学历程）等核心部分，将评价、检测等内容融入学习过程（理学历程），加大学情调研比重;（3）借鉴南京市“小学数学学历案”的设计理念和使用方法，将理学历程中的“主题研究”以学习单的形式发给学生课上使用;（4）为方便教师组织教学和供他人参考，理学案中增加“实施要点”栏目，记录“主题研究”的落实方法和步骤。以上几点在表4中皆有体现。

2.一致性原则

理学案编制的一致性原则包括三层含义：一是主题研究任务与理学目标的一致性;二是主题研究中“会关联·能应用”与“寻本质·讲道理”的一致性;三是理学案的设计理念与“至理数学”教学主张的关键特质的一致性。

理学案是一种基于“标准”的教学，理学目标需要借助主题研究任务加以实现，因此每一个研究任务的设计都来源或指向理学目标。而在每一个主题研究内部，主要通过“寻本质·讲道理”对新知进行建构，完成后立刻通过“会关联·能应用”对达成情况进行评价。由此可见，理学案中的所有学习过程都是按照理学目标有序推进，只有一个主题研究任务完成并且得到了及时的评价，方能进入下一个主题研究。如此设计也是教、学、评一致性的充分体现。

“至理数学”的关键特质是“回归本质”，即数学学习要坚守学科本质、儿童本位、素养本真。作为教学主张在课堂落地生根的有效载体，理学案设计理应处处彰显“回归本质”。在“圆的面积”理学案中，对课程标准、教材和其他与之相关的支持性学材的分析，对理学目标中“数学道理、数学理解、数学理性”的挖掘与提炼是对学科本质的坚守;在学情调研中，关注学生的年龄、心理特点和认知水平，对学生前测和后测情况进行分析，以及理学历程中所有的主题研究都需要学生主动参与，是“至理数学”教学主张中“儿童本位”的有力佐证。

3.易操作原则

易操作原则是指理学案设计要简约、可行，便于操作。特别是供小学生课上使用的“理学历程”， 字数不能太多，内容不能过细，要抓核心、拎重点。通常，高年级学生使用的“理学历程”篇幅不超过一张A4纸的正反两面，中低年级以A4纸的一面为宜，不论年级高低，每节课上的主题研究均不超过3个。每个主题研究中的任务语言表述要尽可能简洁、明确、通俗、活泼，杜绝冗长、含糊和抽象。为了便于记录思考过程和学习痕迹，“理学历程”要有留白，特别是有写一写、画一画，或是粘贴作品的环节，要留足够的时间和空间。易操作原则在“圆的面积”理学历程之“主题研究”中已有鲜明体现（见表3）。

当然，小学数学理学案设计需要关注的要素和原则还有很多，本文的阐述显然不够全面，尤其是理学案设计研究尚处于初始阶段，诸如“小学阶段的内容都适合用理学案进行学习吗？”“同课型的理学案设计结构一致吗？”等疑问和困惑还有很多，但我们相信，只要坚守学科本质和儿童本位，数学教学就会向着素养本真回归。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 张明红，刘娟娟.回归本质：“至理数学”教学主张的内涵解读[J].小学数学教师，2019（10）.

[2] 崔允漷.指向深度学习的学历案[J].人民教育，2017（20）.

[3] 刘娟娟.学历案：促进课堂中教—学—评的一致性[J].教学月刊小学版（数学），2018（Z1）.

[4] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

【本文系江苏省中小学教学研究第十三期重点自筹课题“以理学案为载体的‘至理数学课例群建设研究”（课题编号：2019JK13-ZB08）的研究成果。】

（责编 金 铃）