数学教学中几何直观运用漫谈

李玉娟

[摘 要]数学课堂中，教师应根据具体的教学内容，适时运用几何直观引导学生探究，培养学生的空间思维和几何空间观念，提升学生的数学核心素养。

[关键词]几何直观;数学教学;运用

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）09-0032-02

数形结合，为学生探究、理解数学知识提供了有效的表象材料。其中，几何直观就是凭借几何图形来揭示数学原理，推断数量关系和几何位置。它借助形象直观的图形来代替复杂难解的数学语言，既与小学阶段学生的心理特征和认知规律相契合，又直指数学本质，是打开学生智慧大门的钥匙。那么，如何让几何直观在学生的数学学习中得以充分发挥作用呢？下面，笔者通过直线图、线段图、平面图、路线图，谈谈如何让几何直观在学生学习数学概念、数量关系、号码排序、位置方向等内容时大显神通。

一、直观演示时间的延续性

数学概念是揭示概括某种数学现象的规律性总结，而图形的直观性则能让这种规律外显化，从而降低理解的难度，使学生一目了然，引领学生逐渐触及数学概念的内涵。例如，教学《24时计时法》一课时，表盘上只有12个时间刻度，如何解释一天有24小时呢？如何从常用的12时计时法切换到较为陌生的24时计时法？由于三年级学生对24时计时法的认识还比较陌生，所以教师另辟蹊径，通过多媒体将围成圆周的24个整时刻度拉到一条直线上，等距排开，并在每条刻度线上依次标注0～24的数字。这样一条直线就将一天24小时全部串联起来，形象直观，有助于学生在观察中感知24时计时法。

为了深化学生对24时计时法的认识，教师让学生将直线图上的每个整点时刻换算成普通计时法的时刻并标注在直线下方，引导学生对比辨析，找出两者的区别。学生比较后明白：普通计时法一天有两个6时，即上午6时和下午6时;24时计时法一天只有一个6时，即上午6时是标准的6时，下午6时则转换成18时。也就是说，一天的时刻，24时计时法不分上午和下午。这样通过直线图进行教学，凸显了24时计时法的简洁性：直线可以前后无限延长，往前看，越过起点，今日的凌晨0时就是昨日的午夜24时;往后看，跨过终点，今日的午夜24时就是明日的凌晨0时，周而复始，循环往复。上述教学，教师通过直线无限延长的特点，将时间的延续性恰到好处地作了直观演示，使学生弄清每天的0时和24时就是今天与明天的分界线，从而对24时计时法的理解更加透彻。

二、图物合一演绎对应关系

数学课堂中，教师根据具体的教学内容，不妨将线段图与实际生活相接，这样可让图形和数量实现完美结合，通过图形直观性的特点使数量关系清晰明了。如“植树问题”分为三种情况，即“两端都栽”“只栽一端”“两端都不栽”，其中间隔数和植树棵数的对应关系不尽相同，如何揭示其奥秘呢？以“两端都栽”为例，如“在一条20米长的沥青路上一旁植树”，教师先画好标有可移动等分线（20条）的线段图，让学生自行确定植树的位置（间隔数），再自选喜欢的图案表示树，并数清楚植树棵数和间隔数。由于学生自定的间距不同，所以间隔数和植树棵数有差异，但两者的换算关系是守恒的，即间隔数+1=植树棵数（“两端都栽”）。通过在线段图上比画，学生发现植树棵数和间隔数之间的对应关系并思考：“到底为什么植树棵数会比间隔数多1呢？”教师再次引导学生从线段图中寻找答案，利用线段图上的植树和间隔线段的连接关系，即每一棵树后连接着一条线段，直至延伸到下一棵树，循环往复，最后一棵树成为端点，后面没有连接线段，公式里多出的1指的就是最后一棵树。因此，无论间隔多少条线段，无论植多少棵树，植树棵数总比间隔数多1。

通过在线段图上的虚拟操作，学生对“两端都栽”中的植树棵数和间隔数的关系理解深刻，故对于“只栽一端”“两端都不栽”这两种情况也可以用此方法进行教学。有了几何直观的展示，轻易突破植树棵数和间隔数之间关系的教学难点，使学生理解透彻。同时，这样教学，几何直观尽显其能，将题中的数量关系展露无遗，有利于学生的思维发展，使教与学相得益彰。

三、简笔画勾勒排列顺序

低年级学生的理解力还较弱，遇到排序问题时思维常常容易混淆，因此除了实物演示这一方法外，画图推导也不失为一个妙法。实践表明，几何直观可以弥补实物演示法的不足。例如，教学《几和第几》后的一道练习题：“工厂复工前，员工们在排队做新冠核酸检测。顺数和倒数，小明都排在第6位，这队一共有几名员工？”有的学生一看到数字6，就马上答道“有6名员工”;有的学生看到“一共”，就先入为主地利用求和方法，即6+6，算出有12名员工。一年级学生解答这道题容易出现盲区和误区，即在分析“顺数和倒数，小明都排在第6位”这一信息中的数量关系时出现错误。教师若通过列队、实物演示等方法引导学生理解，虽然可行，但费时费力，且需要多人合作，颇费周折，如想简单、有效，几何直观是首选的方法。

课堂上，教师可先让学生独立思考，画一画平面图，再和同桌交流。有部分学生先画出1个五角星，前后各画5个圆圈，显然这五角星代表小明本人，前后圆圈代表其他员工，学生的这一简略图清晰地显示出排队情况。教师利用这一生成资源，進一步引导学生观察与反思：“检查一下，顺数时，小明是否排在第6位？倒数时呢？这队共有多少名员工？”有了平面图的帮助，学生争先恐后地发言，问题迎刃而解。这样教学，使学生明白在解决复杂的排序问题时，运用几何直观可以将题中的隐性条件揭示出来，将不易察觉的“陷阱”暴露出来，提高了解题的正确率。

四、逆行路线指明方向

学生灵活运用几何直观解决问题的能力不是一朝一夕可以形成的，需要教师注重培养，且要坚持不懈。如在解决有关方向的问题时，教师可引导学生画出带有路标的路线图，这样不仅有利于学生构建几何表象，还能培养学生的空间观念。例如，有这样一道关于位置与方向的思考题：“马芳从家去图书馆，要向东北方向走100米，再向北走200米。她借完书后，返家时应该怎么走？”这道题除了要考虑方位的相对性外，还要逆向推导行走路线，这对三年级学生而言绝非易事，如果没有几何直观做表象支架，学生就会找不到“回家的路”。而有一定几何直观意识和作图能力的学生就会动笔画图，先定一点代表马芳家，再以这一点为参照点，画出简易的直角坐标系，即从马芳家出发沿着东北方向画一条自定义长度的线段1（作为单位长度“1”），顺接线段1的末端，参照原坐标系的坐标线，往北的方向画一条线段，截取两个单位长度，标注为线段2，线段2的终点就是马芳家。同时，在线段图上标明数据和加注箭头，带箭头的线段就是马芳去图书馆的行走路线，借书后返回的路线仍是这条线段，只是方向逆转，将返回时的方向用不同颜色箭头标注，这样返回路线就生成了。因此，马芳返回时的路线就是先向南走200米，再向西南走100米。通过画路线图来解决方向问题，过程简洁明了、一目了然，体现了路线图的价值，培养了学生运用几何直观解决问题的意识和能力。

总之，几何直观，化作直线图可诠释概念，化抽象为形象;化作线段图则能梳理数量关系，化繁为简;化作平面图可理清顺序，化杂乱为工整;化作线路图则能指示方向，化模糊为清晰。数学课堂中，教师应根据具体的教学内容，适时运用几何直观引导学生探究，培养学生的空间思维和几何空间观念，提升学生的数学核心素养。

（责编 杜 华）