数学建模思想融入高等数学的教学研究

杨人子 王静

[摘 要]培养创新型人才是高等教育发展的必然要求。将建模思想融入高等数学的教学环节中，从课堂设计、课内互动和课后反馈方面给学生营造一个发现和研究知识的氛围，培养学生利用各种发散性思维方法去解决问题，将高等数学从“是什么”的知识型的教学转变为探究“为什么”的能力型的教学，从而激发学生的创新热情，提高学生的创新能力。

[关键词]数学建模;高等数学;教学方法

[中图分类号] G420 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）03-0103-04

从高校基础教学开始培养学生的创新精神和创新能力，是当前教学改革的一个重要研究方向。高校学生的大学阶段正是其人生思想最为活跃、最有激情的黄金时期，也是世界观逐步形成和逐渐走向成熟的重要时期，教师先进的教学理念和对教学内容传授的深度和广度，极大影响着学生对未来生活的创新热情和创新能力。数学建模思想，是将生活中的实际问题客观构建成相应数学模型的过程。将建模思想融入教学环节中，就是将传授知识的过程转化为带领学生参加研究和发现的过程。在这个过程中，学生的创新潜能得到激发，创新能力得到提高。在这样环境中成长起来的大学生，才有可能成为拔尖的创新型人才。本文结合自身的教学情况，从数学建模思想的角度，在高等数学的教学中，探究数学概念的渊源和应用，阐述数学思维的深度和广度，强调培养学生探究“为什么”的能力型的教学，而不仅仅着重“是什么”的知识型的学习，潜移默化地去激发学生的创新热情和提高学生的创新能力，进而培养创新型大学生。

一、融入数学建模思想的高等数学教学特点

所谓的建模思想，就是将生活中遇到的问题客观地构建出一个数学模型的过程。其主要就是把一个复杂的问题简单化、抽象化，确定变量和参数，转化为某种数学问题，运用数学解题方法寻找答案。建模思想的解题思维可以提高学生的想象力、观察力和创造力，这是一种将创造能力和解决实际问题融在一起的新思维。如果教学还是按照以前的传统教育模式开展，缺乏对学生的启发性，忽视对学生探索精神的鼓励，使学生只是在课堂上获得知识而没有实践验证，只是倾向于难题、偏题的做题训练，这是对学生创造性的扼杀，很难提高教育质量。随着教学的发展和社会需求，新的教育方式应该跟生活紧密联系在一起，融入建模思想的教学倡导让学生主动构建问题模型，而不是单纯做难题片面地提高成绩。高数教师是大学基础课程任课教师，若在教学中能对知识面的深度和广度上多做拓展，努力展现高等数学特有的活力和魅力，激励学生从基础学科开始就去创造性地分析问题和解决问题，逐步积累养成正确的学习习惯，这能够影响他们在其他方面的发展，也就可能培养出具有创新能力的领军式人才。

（一）把知识当成课题去研究

高等数学的一些概念，如极限、导数和积分等，学生已在高中学习，但学习内容仅限于把它们当成公式来计算使用，并未探讨这些知识概念的产生、发展和总结。现在让学生重新审视已学过的数学概念，将说历史、讲方法、论思想等内容有机渗透到教学环节中，改变其被动接受的学习现状，引导学生思考：概念的起源、数学形式的转化过程、现有方法的局限性、关键环节等问题。教师将课堂内容当成正在研究的课题，带领学生审视知识的发现和研究的全过程。学生以全新的方式重新学习学过的数学概念，不仅能领悟数学概念的本质，研究的过程又能让他们获得顽强探讨问题的勇气，也不会因为过程的挫折而感到沮丧。教师讲解定理证明严密的逻辑推理是必需的，但定理的发现、总结和归纳过程，更能引发学生对深入学习知识的积极探索欲望。

（二）强调科学思想方式

学生学习高等数学阶段，应牢记公式和结论，但要不断提醒他们注重数学的精神、思想和方法，绝不能“不知其所以然”。因为各种公式或理论会随着时间环境的推移，使人逐步地有所遗忘，而科学思想方法却可以保留下来，它让人思路开阔，善于联想。思维规范化将提高学习和工作效率，从而受益终生。在课堂中，对实际现象进行分析，从中找出因素关系，转化为抽象的符号表示，用各种实例反复归纳与演绎，并进行各种可能性讨论，最终得到公理化结论。这种经过抽象符号化、最优化决策和公理化总结等过程获得的数学知识，会有效地提高学生对问题的洞察力和敏感性，学生不仅学习了高数知识，更是学到了科学的思想方法，这也是信息時代对高等数学教学提出的要求。

（三）理论与实践多结合

高等数学的基础概念来源于历史上各种典型问题，剖析其过程，让学生更容易明白为什么学这些知识。在这个信息爆炸的时代，各门学科呈现相互交叉的趋势，数学已成为对各种专业学生都有吸引力的一门学科。重视实际性问题的讨论，让学生看到数学与自然科学、社会科学以及哲学的相互联系和促进，小到生活中的小事件，大到自然宇宙的大奥秘，数学在其他学科领域呈现的多样化，带给学生崭新的视角——数学就在我们身边，研究和发现的乐趣会推动学生产生对讨论问题的兴趣和勇气，实现实际问题与数学模型、数学模型与解读自然的交互模式。

（四）培养数学鉴赏力

数学学习讲究统一与和谐，具有简洁、对称和演变等特性。只有对事物有本质的深刻认识和正确萃取，才能将具有共同特点的不同事物和现象统一抽象为一体，用简洁的方式阐述内在的客观规律，并挖掘问题的对称性和演变性规律。这是数学理论的美妙之处。高等数学的概念和公式很多，经常对数学知识做比较和总结，鉴别好与坏、重要与不重要、基本与非基本，是学生学习过程中很重要的事情，也是培养数学鉴赏力的方法。具有数学鉴别力的学生懂得区分事物主次，能够抓住事物本质，自然高数也就学得好。

二、高等数学教学中建立数学建模思想的实践措施

在高等数学教学环节中，数学建模思想的融入对高数教师提出了更高的要求。教师除了对课本内容要有较好把握，还需要对数学文化和数学与各学科之间的交叉互融有所了解，同时需要介绍当代前沿科技，让学生感受数学在他们未来的学习生活中的重要性。下面从课堂设计、课内互动和课后反馈等四个方面介绍融入数学建模思想的高数教学实践措施。

（一）教师在课堂中多提“为什么”，引导学生主动投入新知识的研究中

基础课的学习，教师不仅要告诉学生“是什么，学什么”，更要告诉学生“为什么”。提出问题有时比解决问题更为重要，因为它会让一个复杂的问题以浅显的形式呈现出来，让人思考，从而带动学生自然地进入学习之中。如在学习高等数学的开篇时，让学生思考：微积分是怎么来的？为什么会有微积分这个理论？古时人们用微积分来解决什么样的问题？随着科技发展，力学和天文学以及更多的工业技术的发展，在造船、航海、建筑、机器制造，运河和堤坝的修建上，很多实际问题得不到解决，如变速运动的瞬时速度，曲线的切线，或者不规则图形的面积、弧长、体积是多少，在某一种条件下求最大最小值等等问题。这些问题单凭想象是解决不出来的，所以人们不断探讨就产生了微积分。再如均匀几何图形的质心，从一维空间线段的中点，到二维空间三角形三条中线的交点，再到三维空间四面体六个中面的交点，那么四维空间的单体是什么样子，质心如何求，进一步n维空间情况如何？人们借助类比，将直观的三维空间升级为四维空间、n维空间，也就产生了解析几何。解析几何使我们把几何性质变成代数性质，通过类比把代数性质移植到了高维空间。在高等数学的学习中，每一种理念有不同的历史背景，通过观察、操作、实验、归纳、猜想等手段，教师提出恰当的问题，如同画龙点睛，让学生领悟知识的本质，也让学生理解很多数学概念是从实际生活中抽象出来的，取于生活也用之于生活。在高数教学环节中，课时紧张的原因会让很多这种疑难杂题直接跳过不讲解，这就需要教师将数学建模思想融入平日的教学中，提出关键问题，引导学生把在课堂上学习的定理作为特定的模型，把定理条件作为模型的假设，举一反三解决问题。建立建模思想的教学模式，不仅让学生学到了知识，还推动了学习的积极性。如下是课堂教学中使用的一些图片和小视频，直观地呈现数学与生活的关系。

（二）在习题课、作业练习中，题目的趣味性有利于数学建模思想的培养

“学好高数就是刷题！”这似乎已成了大一新生对高等数学的普遍认识。学生疲于各种习题集的刷题，一些人在此过程中失去了对高数学习的兴趣。的确，高等数学中的极限计算、导数计算、积分计算等需要不断练习才能得以巩固，但是若让学生明白掌握了这些知识的思想方法，反反复复地做题并不无必要。因此课堂的例题和课后的练习题，除去必要的练习巩固目的，题目的趣味性是吸引学生不断学习的动力，一个又一个生动实际的例子，会让学生感受到数学的美妙，享受思维的乐趣和能力提高的愉悦，学习的兴趣也就保持高涨了。比如在导数的章节，警匪的追击问题转化为切线和弧长的讨论、丁字路口木棍的通过转化为求棍长的最小值、龟兔赛跑转化为相关变化率的求解、火箭发射脱离地球引力的速度转化为反常积分的计算，等等。一些竞赛的题目也可以拿来讨论，如机场出租车载客的最优策略、同心鼓项目使得连续颠球次数最多的数学模型、柴油机工作过程中压力和喷油量的函数关系、高温作业专业服装关键部位的最优厚度、物料加工作业流程的优化调度模型和求解算法，等等。这些实际问题都需要用数学建模的思想来解决，学生利用已掌握的数学理论知识，将其转化为数学模型进而解决，这也就做到把知识型问题转化为能力型问题，强化了学生的数学实践应用意识。如下为方向导数和积分的应用题目，无论学生能否求解出来，题目的趣味性都会吸引他去做探究。

（三）教学内容的大框架，会给学生提供广阔的思维发展空间

教学内容的大框架，是指教师对教学内容要有高屋建瓴的掌控能力。高等数学的包容性很强，是所有理工科专业课的基础，教学内容广度和深度的提高，会让教学更多些理性、多些必然和多些趣味，学生自然也就多些理解。如在讨论级数时，从函数空间线性分解的角度引入幂级数和傅里叶级数，可以引导学生进一步思考某区间上正交的多项式基;在三重积分中，球面坐标系的定限问题在高等数学的课本中通常未做阐述，只是举例说明，若引入坐标网格和坐标切片，不仅使球面坐标系，也使更多的n重积分一目了然;拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，引入利用集合、泛函和极值的思想方法解决，而这也是平面区域共形分类的黎曼定理的思想方法。数学与其他学科的交叉，使新专业和新发展趋势不断产生，信息技术、医学图像、特征识别、人工智能、数据应用等新工科领域中的应用，展现了数学的特有魅力。教师平日有意识收集前沿科学发展的信息，并能结合相应的数学知识在课堂教学中有所体现，这种对教学内容的宽广视野将带给学生更广阔的思维发展空间，让教学从句号式的教学转化为省略号式的教学。如下的截图为课后利用网络与学生交流的题目，有目的地提出问题，让学生自主寻找答案。

（四）借助计算机和网络教育资源，提高学习效率

计算机的应用给各种专业技术带来了高速的发展，其强大的计算能力能够准确地解决那些反复机械的计算问题。高等数学的学习显然离不开计算，但必须清楚计算机的作用是辅佐教学和学习，通过计算机的计算让学生更有效、更有说服力地思维，数学实验这门课程就发挥了这样的作用。实验课上，学习Mathematica软件，通过一些具体的实例的示范让学生品味各种数学概念的奥秘，直观地表示会让他们思维豁然开朗。如用数形结合的方法观察数列极限，随着n的无限增大，数列无限趋近于某个常数;泰勒多项式对于函数近似程度随着阶数的提高而提高，但是对于任意确定次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度;参数方程确定的函数和极坐標函数通过作图对其有真实全面的了解。再如一些积不出来的不定积分，可以利用软件编程确定;收敛性是极限与级数学习的基本问题，同样可以利用软件计算结果帮助我们预判。网络让教师和学生的交流更为便捷，平台上的各种知识资源可以及时地传送给学生和反馈给教师，一些考核方式也完全可以在网络平台上得到实现。如下的截图为利用Mathematica软件所做的一些数学概念的讨论图。

三、总结

古人云：“授之以鱼，不如授之以渔。”时代在发展，培养人才的模式在改变，高等教育方式也在不断创新改革。在高等数学的教学过程中，教师不要把知识当成教条，把知识的应用当成机械的模仿行为，而要转变教育观念，融入数学建模思想，探究数学概念的渊源和应用，阐述数学思维的深度和广度，潜移默化地去激发学生的创新热情和提高学生的创新能力，这样才能实现创新型人才的培养。

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[责任编辑：林志恒]